Riešenie úlohy 1.5: Skalárny súčin s integrálom

[Andrej_Skok]

Úloha 1.5 Ukážte, že v priestore C(0,2π) všetkých spojitých funkcií so skalárnym súčinom
$⟨f,g⟩=∫_0^{2π}f(t)g(t)dt$

sú ľubovoľné dva (navzájom rôzne) vektory z množiny {1,cosnx,sinmx;m,n∈ℕ} na seba kolmé.
(Len aby bolo zadanie úplne jasné: Pýtam sa, či sú kolmé 1 a cosnx; 1 a sinmx; cosnx a cosmx; cosnx a sinmx; sinnx a sinmx; a to pre ľubovoľné prirodzené čísla m, n.)

Riešenie:

Aby boli vektory na seba kolmé, musí byť ich skalárny súčin 0 pre ľubovolné m,n ∈ℕ.
Na výpočet určitého integrálu použijeme Newton-Leibnitzov vzorec: F(b)-F(a)= $ \int_a^b f(x) dx$

$\langle 1,\cos nx\rangle=\int_0^{2π} \cos(nx)\,dx = 1/n \int_0^{2π} \cos(u)\,du = ( \sin(nx)/n)|_0^{2π} = 0-0 =0$
lebo sin(2n*π)=0 pre ľubovolné n ∈ℕ.

$\langle1,\sin nx\rangle=\int_0^{2π} \sin(nx)\,dx = 1/n \int_0^{2π} \sin(u)\,du = ( -\cos(nx)/n)|_0^{2π} = -1-(-1) =0$
lebo cos(2n*π)=1 pre ľubovolné n ∈ℕ.

$\langle \cos nx,\sin mx\rangle=\int_0^{2π} (\sin((n+m)x)/2 +\sin((n-m)x)/2)\,dx = 1/2 (\int_0^{2π} \sin(n+m)\,dx +\int_0^{2π} \sin(n-m)x\,dx)=
-1/2 (\cos(n+m)x/(n+m) + \cos(n-m)x/(n-m) )|_0^{2π}=0 $
Tu si treba uvedomiť: cos(2k)x=1 , k∈Z.
V našom prípade nezáleží na hodnotách (n+m), (n-m) lebo x=2π ktore vždy vyrobí pri π párny koeficient, alebo x=0 ktoré nám dá cos(0)=1, tým pádom F(2π)=F(0) (lebo kosínusy ma'me vždy 1 a ostatné sú konštanty), teda N-L vzorec nám dá 0.

$\langle \cos nx,\cos mx\rangle=\int_0^{2π} (\cos((n-m)x)/2 +\cos((n+m)x)/2)\,dx = 1/2 (\int_0^{2π} \cos(n-m)\,dx +\int_0^{2π} \cos(n+m)x\,dx)=
1/2 (\sin(n-m)x/(n-m) + \sin(n+m)x/(n+m) )|_0^{2π}=0 $
Argument je rovnaký, s tým že: sin(2k)x=0 , k∈Z.
Keďže sin(0)=0 a sin(2(n +/- m)π)=0 tak aj F(2π)=F(0).

$\langle \sin nx,\sin mx\rangle=\int_0^{2π} (\cos((n-m)x)/2 -\cos((n+m)x)/2)\,dx = 1/2 (\int_0^{2π} cos(n-m)\,dx -\int_0^{2π} \cos(n+m)x\,dx)=
1/2 (\sin(n-m)x/(n-m) - \sin(n+m)x/(n+m) )|_0^{2π}=0 $
Do tretice rovnako: sin(2k)x=0 , k∈Z.
Keďže sin(0)=0 a sin(2(n +/- m)π)=0 tak aj F(2π)=F(0).

Vektory sú kolmé pre ľubovolné m,n∈N.

Pri akejkoľvek chybe píšte komentár, zabralo mi veľa casu kým som to tu ako-tak narval do toho príspevku, čím sa mohla vlúdiť chyba napriek tomu že som to kontroloval.

[Martin Sleziak]

Skúsil som trochu zeditovať post: pre skalárny súčin dať \langle \rangle, pre cos a sin dať \cos a \sin.
Myslím, že $\langle \cos nx,\sin mx\rangle$ sa číta o trochu lepšie ako $<cos nx, sin mx>$.

Zatiaľ len k TeX-nickej stránke veci, neskôr si riešenie pozriem poriadnejšie a snáď napíšem aj niečo k matematickej stránke veci.

EDIT:
Ešte som si všimol, u mňa sa tie intergrály zobrazujú tak, že nevidím pravý koniec výpočtu. (Neviem, či sa to tak zobrazuje aj ostatným alebo je to OS/browser-dependent.) Každopádne momentálne to neviem rišeiť inak, iba tak, že to rozdelím na viac vzorcov.

$\langle \cos nx,\sin mx\rangle=\int_0^{2π} (\sin((n+m)x)/2 +\sin((n-m)x)/2)\,dx =$ $1/2 (\int_0^{2π} \sin(n+m)\,dx +\int_0^{2π} \sin(n-m)x\,dx)=$ $-1/2 (\cos(n+m)x/(n+m) + \cos(n-m)x/(n-m) )|_0^{2π}=0 $

$\langle \cos nx,\cos mx\rangle=\int_0^{2π} (\cos((n-m)x)/2 +\cos((n+m)x)/2)\,dx =$ $1/2 (\int_0^{2π} \cos(n-m)\,dx +\int_0^{2π} \cos(n+m)x\,dx)=$ $1/2 (\sin(n-m)x/(n-m) + \sin(n+m)x/(n+m) )|_0^{2π}=0 $

$\langle \sin nx,\sin mx\rangle=\int_0^{2π} (\cos((n-m)x)/2 -\cos((n+m)x)/2)\,dx =$ $1/2 (\int_0^{2π} cos(n-m)\,dx -\int_0^{2π} \cos(n+m)x\,dx)=$ $1/2 (\sin(n-m)x/(n-m) - \sin(n+m)x/(n+m) )|_0^{2π}=0 $

[Martin Sleziak]

Na výsledku to nič podstatné nezmení, ale pri výpočte tohoto prvého integrálu

$\langle \cos nx,\sin mx\rangle=\int_0^{2π} (\sin((n+m)x)/2 +\sin((n-m)x)/2)\,dx =$ $1/2 (\int_0^{2π} \sin(n+m)\,dx +\int_0^{2π} \sin(n-m)x\,dx)=$ $-1/2 (\cos(n+m)x/(n+m) + \cos(n-m)x/(n-m) )|_0^{2π}=0 $

by nemalo byť $\sin((m-n)x$? Ak som nič neprehliadol, tak $\sin((n+m)x)/2 +\sin((n-m)x)/2=\cos\color{red}mx\sin\color{red}nx$.

Asi je rozumné spomenúť (nemusí to byť každému jasné na prvý pohľad), že sa tu použili tieto goniometrické vzorce.

A ešte dodám, že ak si uvedomíme, že $\int_0^{2\pi} \cos nx \,\mathrm{d}x=\int_0^{2\pi} \sin mx \,\mathrm{d}x=0$ pre akékoľvek celočíselné hodnoty $m,n\in\mathbb Z$ (čo ste vyrátali na začiatku a vidno to aj z grafu funkcie; ten totiž pozostáva s presne rovnakých častí nad a pod x-ovou osou, ktoré dajú rovnaké integrály ale s opačnými znamienkami), tak ľahko vidno, že aj tie ďalšie integrály sú nulové. Napríklad ak dostanem integrál z nejakej lineárnej kombinácie funkcií $\sin((n+m)x)$ a $\sin((m-n)x$, tak obidve tieto funkcie dajú nulový integrál (lebo $m+n$ a $m-n$ sú tiež celé čísla), a teda bude nula aj integrál ich lineárnej kombinácie. (Tu využívame, že integrál je lineárna funkcia - čo ale viete z prvého ročníka z analýzy.)

Tento komentár, čo som napísal tu, je v podstate len inak povedané to isté riešenie, ktoré ste poslali vy, len som chcel napísať pár poznámok, ktoré by mohli pomôcť.

Každopádne toto riešenie je fajn a značím si zaň 1 bod.