msleziak.com

$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
Vieme, že množina $G=(\mathbb R\setminus\{0\})\times\mathbb R$ s binárnou operáciou definovanou ako
$$(a,b)\ast(c,d)=(ac,bc+d)$$
tvorí grupu a táto grupa nie je komutatívna.
Vieme tiež, že neutrálny prvok je dvojica $(1,0)$ a inverzný prvok sa dá vyjadriť ako $(a,b)^{-1}=(\frac1a,-\frac ba)$.

V každej z nasledujúcich častí zistite, či daná podmnožina je podgrupa grupy $G$. Ak je to podgrupa, tak zistite aj to, či je táto podgrupa komutatívna. Jasne uveďte odpovede na obe otázky: Je to podgrupa? Je komutatívna? A uveďte aj zdôvodnenie, prečo to je tak.
a) $H_1=\{(a,b)\in G; a=1\}$
b) $H_2=\{(a,b)\in G; b=0\}$
c) $H_3=\{(a,b)\in G; a=b\}$

Vieme, že $G$ je naozaj grupa; bola to jedna z predchádzajúcich úloh - pre tých, ktorí ju neriešili, som v zadaní zosumarizoval nejaké veci.
Niečo k tejto grupe je napísané aj tu: viewtopic.php?t=963 a viewtopic.php?t=498.

Odpovede
Správne odpovede sú, že v a) aj b) sme dostali podgrupu a táto podgrupa je komutatívna.
Množina v časti c) nie je podgrupa.

Pripomenutie vecí o podgrupe.
Definícia podgrupy (na tomto predmete) je taká, že je to podmnožina, ktorá s tou istou operáciou tvorí grupu.
V skutočnosti však pri overovaní, či $H$ je podgrupa $G$ môžeme postupovať jednoduchšie než kontrolovať všetky podmienky z definície grupy.
Z prednášky vieme, že ak máme neprázdnu podmnožinu $H\subseteq G$, tak ide o podgrupu ak platí, niektorá z podmienok:
I. Pre ľubovoľné $x,y\in H$ platí aj $x*\inv y\in H$.
II. Pre ľubovoľné $x,y\in H$ platí aj $x*y\in H$ a $\inv y\in H$.
Vieme aj to, že každá podgrupa grupy $G$ musí obsahovať neutrálny prvok. (To je vec, na ktorú sa zvyčajne oplatí pozrieť ako na prvú; ak vidíme, že $H$ obsahuje neutrálny prvok, tak sme súčasne skontrolovali, že $H\ne\emptyset$. A ak neobsahuje neutrálny prvok, tak to nie je podgrupa - a už nemusíme overovať nič ďalšie.)

Zdôvodnenie
Časť c) vybavíme ľahko: Pretože $(1,0)\notin H_3$, táto množina neobsahuje neutrálny prvok a teda to nemôže byť podgrupa. (A teda nemá zmysel ani pýtať sa, či je to komutatívna grupa.)
Poďme sa teda pozrieť hlavne na časti a) a b).

a) Môžeme skontrolovať, či pre ľubovoľné dva prvky z $H_1$ aj ich súčin leží v $H_1$.
$$(1,b)*(1,d)=(1,b+d)$$
Dostali sme naozaj prvok, ktorý má na prvej súradnici jednotku a patrí do $H_1$.
Ešte chceme skontrolovať, či inverz k $(1,b)\in H_1$ je opäť z $H_1$.
$$\inv{(1,b)}=(1,-b)$$
Aj tu sme dostali prvok z $H_1$, je to teda naozaj podgrupa.

Táto podgrupa je komutatívna:
$$(1,b)*(1,d)=(1,b+d)=(1,d+b)=(1,d)*(1,b)$$

Môžeme si súčasne všimnúť, že
$$f\colon a\mapsto (1,a)$$
je izomorfizmus medzi $(\mathbb R,+)$ a $H_1$. Aj toto pozorovanie by sme mohli použiť na zdôvodnenie, že $(H_1,*)$ je grupa a teda je to podgrupa.
Keďže $(\mathbb R,+)$ je komutatívna a $H_1$ je s ňou izomorfná, tak aj $H_1$ je komutatívna.

b) Opäť robíme to isté: Vezmeme si dva prvky z $H_2$ a pozrieme sa, či aj ich súčin je v $H_2$. Máme
$$(a,0)\ast(c,0)=(ac,0),$$
pričom $ac\ne 0$. Je to teda prvok z $H_2$.
Ešte chceme skontrolovať uzavretosť množiny $H_2$ vzhľadom na inverzné prvky.
$$\inv{(a,0)}=(\frac1a,0)$$
Aj táto podmienka platí, $H_2$ je podgrupa.

Je to komutatívna podgrupa:
$$(a,0)*(c,0)=(ac,0)=(ca,0)=(c,0)*(a,0)$$

A aj v tomto prípade je $H_2$ izomorfná s grupou, ktorú dobre poznáme. Zobrazenie
$$g\colon a\mapsto (a,0)$$
nám dá izomorfizmus $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)\to H_2$. Opäť môžeme zopakovať presne to, čo vyššie: Existenciu izomorfizmu by sme tiež mohli použiť na zdôvodnenie toho, že $H_2$ je komutatívna grupa.

Súvisiace grupy
Vieme zo starších topicov, že táto grupa je izomorfná s grupou zobrazení tvaru
$$f_{a,b}(x)=ax+b.$$
(Pri hľadaní izomorfizmu si treba trochu dávať pozor na poradie.)

Pri takomto pohľade $H_1$ zodpovedá množine všetkých zobrazení tvaru $$x\mapsto x+b$$ pre $b\in\mathbb R$, čiže posunutiam. Nie je ťažké si uvedomiť, že takéto zobrazenia tvoria grupu, ktorá je izomorfná s $(\mathbb R,+)$.

Podgrupa $H_2$ zodpovedá množine zobrazení tvaru $$x\mapsto ax$$ pre $a\in\mathbb R\setminus\{0\}$, čiže škálovaniam. Opäť aj tu asi vidno súvis takejto grupy s grupou $(\mathbb R \setminus\{0\},\cdot)$.

Takisto som spomenul v staršom topicu aj pohľad cez matice. (Takže aj k tomuto sa dá vrátiť, keď sa naučíme niečo o maticiach.)
Dostali by sme v jednom prípade takúto množinu matíc
$$\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix}; b\in\mathbb R\setminus\{0\}\}.$$
V druhom prípade zasa túto množinu:
$$\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}; a\in\mathbb R\}.$$