msleziak.com

Pre zadané podpriestory $S_1=[\vec a_1, \vec a_2, \vec a_3]$ a $S_2=[\vec b_1, \vec b_2, \vec b_3]$ priestoru $(\mathbb Z_7)^4$ zistite:
a) Či platí $S_1\subseteq S_2$.
b) Či platí $S_2\subseteq S_1$.
Uveďte aj zdôvodnenie a výpočty, ktorými ste sa dostali k svojej odpovedi.

Podpriestor $S_1$ je generovaný vektormi:
\begin{align*}
\vec a_1&=(2,1,4,5)\\
\vec a_2&=(1,3,0,5)\\
\vec a_3&=(3,5,6,4)
\end{align*}

Podpriestor $S_2$ je generovaný vektormi:
\begin{align*}
\vec b_1&=(1,2,5,3)\\
\vec b_2&=(4,3,3,2)\\
\vec b_3&=(2,3,1,0)
\end{align*}

Obe matice môžeme riadkovými úpravami upraviť na redukovaný tvar.

\begin{gather*}
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 4 & 5 \\
1 & 3 & 0 & 5 \\
3 & 5 & 6 & 4
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 2 & 6 \\
1 & 3 & 0 & 5 \\
1 & 4 & 2 & 6
\end{pmatrix}\sim\dots\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 5 & 3 \\
4 & 3 & 3 & 2 \\
2 & 3 & 1 & 0
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 5 & 3 \\
1 & 6 & 6 & 4 \\
1 & 5 & 4 & 0
\end{pmatrix}\sim\dots\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{gather*}

Tým sme zistili, že $\dim(S_1)=2$ a $\dim(S_2)=3$. Súčasne sme tieto priestory vyjadrili jednoduchším spôsobom:
\begin{align*}
S_1&=[(1,0,1,2),(0,1,2,1)]\\
S_2&=[(1,0,1,0),(0,1,2,0),(0,0,0,1)]
\end{align*}

To, že $S_2\nsubseteq S_1$ môžeme zdôvodniť aj na základe dimenzie; $\dim(S_2)=3>2=\dim(S_1)$. Alebo môžeme jednoducho skontrolovať, či vektory generujúce $S_1$ patria do $S_2$.

Inklúzia $S_1\subseteq S_2$ platí, ľahko skontrolujeme, že oba vektory generujúce $S_1$ sú lineárne kombinácie vektorov generujúcich $S_2$. (Vieme, že pri hľadaní koeficientov sa stačí pozrieť na tie miesta, v ktorých sú vedúce jednotky.)
\begin{align*}
(1,0,1,2)&=(1,0,1,0)+2\cdot(0,0,0,1)\\
(0,1,2,1)&=(0,1,2,0)+(0,0,0,1)
\end{align*}

Využijem túto úlohu aj na to, aby som pripomenul ako sme vedeli urobiť "polovičnú" skúšku správnosti pri úprave na redukovaný stupňovitý tvar.
Niečo k tomu je napísané aj tu: viewtopic.php?t=531

Napríkad ak sme vypočítali
$$A=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 4 & 5 \\
1 & 3 & 0 & 5 \\
3 & 5 & 6 & 4
\end{pmatrix}\sim\dots\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}=T$$
tak si vieme ľahko skontrolovať, či $S_A\subseteq S_T$; t.j. či všetky riadky matice $A$ ležia v riadkovom podpriestore určenom maticou $T$.

Napríklad ak pre prvý riadok $\vec a_1=(2,1,4,5)$ chceme overiť, či patrí do $S_T$, tak sa pýtame, či sa dá vyjadriť v tvare $c_1\vec r_1+c_2\vec r_2$, kde $\vec r_{1,2}$ sú nenulové riadky matice $T$.
Súčasne si pomerne ľahko uvedomíme, že koeficienty vieme vyčítať z tých súradníc vektore $\vec a_1$, kde matica $T$ má vedúce jednotky. T.j. pozeráme sa na prvú a druhú pozíciu a dostaneme $c_1=2$, $c_2=1$.
Urobiť skúšku pre všetky tri riadky teda znamená skontrolovať, či platia rovnosti
\begin{align*}
(2,1,4,5)&=2\cdot(1,0,1,2)+1\cdot(0,1,2,1)\\
(1,3,0,5)&=1\cdot(1,0,1,2)+3\cdot(0,1,2,1)\\
(3,5,6,4)&=3\cdot(1,0,1,2)+5\cdot(0,1,2,1)
\end{align*}

Opäť pripomeniem, že týmto sme skontrolovali iba $S_A\subseteq S_T$ (a nie $S_A=S_T$); čiže stále by bolo možné, že v postupe je niekde chyba. (To isté sme spomínali pri sústavách - ak urobím skúšku a zistím, že všetky "moje riešenia" vyhovujú zadanej rovnici, tak sa ešte stále mohlo stať, že sú aj nejaké ďalšie riešenia, na ktoré som v dôsledku nejakej chyby v mojom postupe zabudol.)

Podobne v druhej časti nám vyšlo:
$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 5 & 3 \\
4 & 3 & 3 & 2 \\
2 & 3 & 1 & 0
\end{pmatrix}\sim\dots\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$
Teraz máme vedúce jednotky v prvom, druhom a štvrtom stĺpci - čiže pozeráme sa teraz na tieto pozície.
Ak robím skúšku, tak vlastne kontrolujeme, či platí:
\begin{align*}
(1,2,5,3)&=1\cdot(1,0,1,0)+2\cdot(0,1,2,0)+3\cdot(0,0,0,1)\\
(4,3,3,2)&=4\cdot(1,0,1,0)+3\cdot(0,1,2,0)+2\cdot(0,0,0,1)\\
(2,3,1,0)&=2\cdot(1,0,1,0)+3\cdot(0,1,2,0)+0\cdot(0,0,0,1)
\end{align*}

Riadky či stĺpce

Veľa z príkladov, v ktorých rátame niečo s vektormi, sa dá rátať tak, že poukladáme zadané vektory napríklad do riadkov (a niekedy zasa do stĺpcov), upravujeme a z upraveného tvaru niečo vyčítame.
Samozrejme, je dobré aj rozumieť čo robíme a prečo to funguje.

Skúsim sem prepísať jedno riešenie, ktoré som dostal - s tým že vynechám úpravy. Jednak chcem napísať, prečo sa mi takéto riešenie nezdá v poriadku. A snáď niektoré poznámky, ktoré sem napíšem, sú veci, ktoré si nie je zlé uvedomiť.

Najprv k časti a):

Vektory zapíšeme do stĺpcov.
$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 \\
1 & 3 & 5 \\
4 & 0 & 6 \\
5 & 5 & 4
\end{pmatrix}\sim\dots\sim
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$

$
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 2 \\
2 & 3 & 3 \\
5 & 3 & 1 \\
3 & 2 & 0
\end{pmatrix}\sim\dots\sim
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 2 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$

Dostali sme, že $\dim(S_1)=2$ a $\dim(S_2)=3$
Pretože $\dim(S_1)<\dim(S_2)$ vidíme, že $S_2\nsubseteq S_1$.

Túto časť by som ešte bol ochotný akceptovať ako riešenie - ak by bolo vysvetlené prečo tieto veci niečo hovoria o dimenziách zadaných podpriestorov.
Konkrétne napríklad ak by tu bolo vysvetlenie, že využijeme fakt, že $h(A)=h(A^T)$ alebo to, že stĺpcové úpravy nemenia dimenziu - v takom prípade vidno, že počet nenulových riadkov mi povie, aká je dimenzia.
Alebo sme sa na uvedené matice mohli pozerať ako na matice homogénnej sústavy, ktorou zisťujeme, či sú dané vektory lineárne nezávislé. V prvom prípade sme dostali, že táto sústava má aj nenulové riešenie, teda zadané tri vektory sú závislé a $\dim(S_1)\le2$. Ak takto interpretujeme druhý výpočet, tak táto sústava má iba nulové riešenie, teda tieto tri vektory sú lineárne nezávislé a $\dim(S_2)=3$.

Teraz dáme tieto vektory do riadkov a dostaneme:

$\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$

$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
4 & 2 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}$

Z toho vidíme, že $S_1\subseteq S_2$.

Toto by bol naozaj postup ako pre matice, s ktorými sme začali, môžeme vypočítať či riadkový podpriestor jednej z nich leží v riadkovom podpriestore druhej.
Lenže týmto maticiam nezodpovedajú podpriestory $S_1$ a $S_2$. Nie sú tu v riadkoch pôvodne zadané vektory, ale vektory, ktoré z nich dostaneme stĺpcovými úpravami. Stĺpcové úpravy môžu zmeniť daný podpriestor.

Ak to pomôže, pozrieme sa na to, keby sme mali zadané:
\begin{align*}
T_1&=[(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)]\\
T_2&=[(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)]
\end{align*}
Asi ľahko vidno, že $T_1$ pozostáva presne z tých vektorov, ktoré majú štvrtú súradnicu nulovú. A podpriestor $T_2$ obsahuje presne tie vektory, kde je nulová tretia súradnica.
Teda $T_1\nsubseteq T_2$ a $T_2\nsubseteq T_1$.
Ak by sme však urobili taký postup, že najprv dáme vektory do stĺpcov a robíme riadkové úpravy, tak by sme v oboch prípadoch dostali tú istú maticu: $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$