msleziak.com

Dohodli sme sa, že by som mohol niekedy porozprávať pre 1MAT niečo o komplexných číslach (pre tých čo budú mať záujem).
Asi to bude užitočné najmä pre tých, ktorí komplexné čísla na strednej škole nemali - ale aj niekto, čo ich už ovláda, si môže veci o nich zopakovať.

Termín. Bolo by to cca na dve 90-minútové hodiny; možno o čosi kratšie.
Niekedy na diskrétnej matematike sa skúsime dohodnúť definitívne, ale zatiaľ sme sa rozprávali o tom, že:
* Urobili by sme to niekedy bo veľkonočných sviatkoch.
* Ako jeden rozumný termín nám zdal pondelok 18.10 - t.j. v čase cvičenia z DM2. Toto cvičenia býva raz za dva týždne - čiže v niektorých týždňoch, kde nebude cviko, by mohli byť komplexné čísla.
* Ako ďalšiu možnosť ste navrhli pondelok 9.50. (Zdá sa, že je vtedy voľných zopár akvárií - takže niektoré z nich by sme si rezervovali.)

Obsah. Komplexné čísla sú určite vec, ktorú by mal ovládať každý absolvent matfyzu. Na tej prednáške by som prebral zhruba to, čo je v dodatku venovanom komplexným číslam v texte s poznámkami k prednáške z Algebre 1 pre 1INF.

• Algebraický tvar komplexného čísla, počítanie s ním.
• Goniometrický tvar komplexného čísla, prevod medzi algebraickým a goniometrickým tvarom, počítanie s goniometrickým tvarom - Moivrova veta.
• Riešenie kvadratických rovníc (s reálnymi aj komplexným koeficientmi.)
• Riešenie binomických rovníc

Čiže je na vás pozrieť sa, či veci, ktoré tam sú ovládate a podľa toho sa rozhodnúť, či by takáto prednáška bola užitočná. To čo tam je, sa dá stihnúť za necelé dve prednášky.

Môžem to ale ešte aj stručne zhrnúť takto - ak viete riešiť úlohy takého typu aké tu vymenujem, tak sa tam asi nedozviete nič nové:

• $(1+\sqrt 3i)\cdot(\sqrt 3+i)=\ldots$?
• Nájdite goniometrický tvar čísla $(1+i)(1-i)$.
• Nájdite komplexné riešenia rovnice a) $x^2-4x+13=0$; b) $x^2-(1+2i)x-3+i=0$. (T.j. kvadratické rovnice s reálnymi a komplexnými koeficientmi.)
• Vyriešte rovnice: a) $z^2=\frac{1-3i}{1+3i}-\frac15+\frac35i$; b) $z^6=i$; c) $\frac{z^4}8+i\sqrt3=-1$; d) $z^4=1+i$. (T.j. rovnice tvaru $x^n=b$, kde $n$ je zadané prirodzené číslo a $b$ je zadané komplexné číslo.)
• Viete pomocou komplexných čísel dostať vzorec pre $\cos(x+y)$?

Samozrejme, tým že budete počúvať dve prednášky niečo o komplexných číslach si ich určite neosvojíte. Na to, aby si človek zvykol s nimi robiť a vedel ich používať, určite treba, aby si aspoň samostatne vyskúšal niečo s nimi vyrátať. (Nejaké cvičenia sú aj v texte k prednáške v časti o komplexných číslach.)

Na druhej strane je to určite tak, že na komplexné čísla na rôznych predmetoch občas narazíte (resp. už ste ich určite aj párkrát použili).

Keď už spomínam komplexné čísla tak napíšem aj to, že sa (aspoň podľa informačného listu) preberajú aj na predmete
1-EFM-512 Úvod do vysokoškolskej matematiky (2). (Predmety Úvod do vysokoškolskej matematiky 1 a 2 sú výberové na odboroch PMA a EFM; pokiaľ viem, tak občas si niektoré z týchto predmetov zapísali aj niektorí študenti 1MAT (ak im sadol do rozvrhu).

Tu sú nejaké materiály ku komplexným číslam z predmet Základy matematiky 2.

Dohodli sme sa, že komplexné čísla budú v pondelok 9.50 a spravíme to prvé dva pondelky po veľkonočných sviatkoch - t.j. 8. apríla a 15. apríla.
Mali by sme to v pohode stihnúť za tieto dve dvojhodinovky. (Od 11.30 mám ďalšiu výuku - takže asi skončíme o kúsoček skôr ako až 11.20.)
Rezervoval som v AISe akvárium M-IX.
Ak by sa dovtedy niečo zmenilo - či už čo sa týka termínu alebo miestnosti - tak samozrejme dám vedieť.

Čo sme stihli zatiaľ:
Zadefinovali sme komplexné čísla a ukázali, ako sa s nimi počíta (súčet, súčin, delenie). Ukázali sme si, že sčitovanie a násobenie komplexných čísel sa "správa rozumne" (t.j. že komplexné čísla tvoria pole).
Povedali sme si základné veci o komplexne združených číslach a absolútnej hodnote komplexného čísla.
Ukázali sme si goniometrický tvar komplexného čísla a tiež to, ako goniometrický tvar súvisí s násobení - teda Moivrovu vetu.
Ukázali sme si, že komplexné čísla môžu pomôcť odvodiť vzorec pre $\cos nx$ a $\sin nx$. (Aj keď sme to spravili len pre prípady $n=3$ a $n=4$, asi bolo jasné, že podobne to funguje pre ľubovoľné $n$.)
Dajú sa použiť pri veľa ďalších trigonometrických vzorcoch, toto bol len jeden príklad možného použitia. Iná vec čo by sa dala urobiť pomocou komplexných čísel je niečo takéto: How can we sum up $\sin$ and $\cos$ series when the angles are in arithmetic progression?

Zhruba som išiel podľa týchto poznámok a zašiel som vetu B.2.3.

Ukázali sme si, ako sa dajú riešiť binomické rovnice a kvadratické rovnice (s reálnymi koeficientmi resp. s komplexnými koeficientmi).
Spomenul som, že existuje exponenciálny zápis komplexného čísla.
A tiež to, že komplexné čísla sa nedajú "rozumne" usporiadať - takým spôsobom, že by sme dostali usporiadané pole.

O tomto som už nehovoril, ale spomeniem fakt, že v komplexných číslach má každý polynóm koreň. (Tomuto výsledku sa hovorí základná veta algebry. Dôkaz nie je jednoduchý.)