Pole $\mathbb Q(\sqrt2)$

[Martin Sleziak]

Ukážte, že $F=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb{Q}\}$ s obvyklým sčitovaním a násobením tvorí pole.

Príklady podobného typu sme robili na cviku, niečo k nim je aj na fóre: viewtopic.php?t=505

[Martin Sleziak]

Príklady podobného typu sme robili na cviku, niečo k nim je aj na fóre: viewtopic.php?t=505

Nebudem písať kompletné riešenie, keďže podobné typy úloh ste už videli. Napíšem ale, aké chyby sa vyskytovali.

1) Veľa vecí sa "zdedí" z reálnych čísel. Vlastnosti ako asociatívnosť, komutatívnosť, distributívnosť sú vlastnosti typu "pre každé a,b,c z danej množiny platí takáto rovnosť". Ak takéto niečo platí pre každé a,b,c z väčšej množiny, tým skôr to platí pre každé a,b,c z menšej množiny. Do istej miery je to podobné s neutrálnym a inverzným prvkom, tu však treba skontrolovať, či neutrálny/inverzný prvok patrí do zadanej množiny $F$.

2) Viacerí z vás vôbec neoverovali, či ščitovanie/násobenie je binárna operácia na $F$. (T.j. či súčet/súčin čísel $F$ je opäť z $F$.)

3) Súčasťou definície poľa je aj to, že $F^*$ má byť uzavreté na násobenie. Tu sa to opäť dá zdôvodniť na základe toho, že aj vo väčšej množine $\mathbb R$ platí $ab=0 \Rightarrow a=0 \lor b=0$. Bolo to ale treba aspoň spomenúť.

4) Nestačí povedať, že inverzný prvok na násobenie je $\frac1{a+b\sqrt2}$, treba skontrolovať aj to, či tento prvok patrí do $F$.

5) Toto sú chyby, ktoré by sa už na tejto úrovni nemuseli vyskytovať, ale zjavne sa občas stanú, tak len upozorním na to, že
$\frac1{a+b\sqrt2}$ nie je to isté ako $\frac1a+\frac1{b\sqrt2}$;
$(a+b\sqrt2)^{-1}$ nie je to isté ako $a^{-1}+b^{-1}\sqrt2$.

6) Oplatí sa azda v riešení ukázať aj to, že pre $a,b\in\mathbb Q$ platí $a+b\sqrt2=0$ $\Leftrightarrow$ $a=b=0$.
Túto vec využívame pri hľadaní inverzného prvku, kde sa nám hodí vedieť, ako sú zapísané nenulové prvky poľa $F$. (Alebo namiesto tohoto treba zdôvodniť, či sme tam dostali nulu v menovateli.)

Spoiler:

Ak $a+b\sqrt2=0$ a $b\ne 0$, tak $\sqrt2=-\frac ab$, čo znamená, že $\sqrt2$ je racionálne a dostávame spor. Jediná možnosť je teda, že $b=0$; potom ale máme aj $a=-b\sqrt2=0$.