Nejaké poznámky k veciam z konzultácií

[Martin Sleziak]

Ak budeme rozprávať o nejakých veciach na konzultáciách a bude sa mi zdať, že sa hodí doplniť niečo, čo som nepovedal, alebo že viem pridať linku súvisiacu s príkladmi, ktoré sme tam riešili, tak napíšem sem.

V utorok a vo štvrtok sme sa rozprávali o zobrazeniach. Najmä o injekciách, surjekciách a ich skladaní.

Padla tam aj otázka o tom, ako to je so zobrazeniami z prázdnej množiny do prázdnej množiny. Povedal som, že

• Pre ľubovoľnú množinu existuje jediné zobrazenie $\emptyset \to A$. (Kokrétne prázdne zobrazenie.)
• Ak $B$ je neprázdna množiny, tak neexistuje žiadne zobrazenie $B\to\emptyset$.

Ak treba, skúste sa nad tým, ešte zamyslieť. Jednu vec, ktorú si tam bolo treba uvedomiť, že ak mám výrok tvaru $(\forall x\in\emptyset)P(x)$ (pre každé $x$ z prázdne množiny platí $P(x)$) tak takýto výrok bude pravdivý bez ohľadu na to, čo presne je $P(x)$. Wikipédia: Vacuous truth.
Nejaké ďalšie linky:
* Wikipédia: Empty function
* Why is an empty function considered a function?
* Why is there no function with a nonempty domain and an empty range?

[Martin Sleziak]

Na dnešných konzultáciách sme sa rozprávali o okruhoch a poliach.

Pridám sem linku na príklad poľa, ktorý sme stihli prejsť, t.j. $F=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$ s obvyklým sčitovaním a násobením reálnych čísel: viewtopic.php?t=84

[Martin Sleziak]

Dnes padla otázka, či ste už niekde mali označenie $\operatorname{Im}(f)$ alebo nie.
Pretože sa prednáška dosť presne drží knihy LAG1, skôr by som tipoval, že áno:
* vyskytlo sa vo veta 4.15, kde sa hovorí, že $\operatorname{Im}f$ je podpriestor;
* vyskytlo sa vo vete o faktorovom izomorfizme pre vektorové priestory (veta 4.1.13), ktorá hovorí, že $V/\operatorname{Ker}f \cong \operatorname{Im}f$.

Každopádne v úlohe nájsť bázu a dimenziu obrazu lineárneho zobrazenia zadaného maticou nám stačí vedieť, že to je podpriestor a že je generovaný obrazmi bázových vektorov.

[Martin Sleziak]

Na dnešných konzultáciách sme rátali nejaký príklad, kde sme sa snažili nájsť strednú priečku pre nejakú priamku a rovinu (ktoré boli mimobežné). Stredná priečka je vyrátaná napríklad aj tu: viewtopic.php?t=628
Teraz som ešte pridal úlohu takéhoto typu sem: viewtopic.php?t=870

Rozprávali sme sa aj o tom, ako sa overí, či dané body tvoria barycentrický súradnicový systém. Pripomeniem, že príklad takého typu sa objavil aj na písomke na výberovom cviku:
viewtopic.php?t=858
viewtopic.php?t=621