Cvičenia LS 2015/16 - 1PMA

[Martin Sleziak]

1. týždeň

Výberové cviko (16.2):
Determinanty. Prerátali sme príklady na determinanty z tejto sady. (Azda sa oplatí spomenúť, že jeden z determinantov, ktorý sme rátali, môže byť užitočný pri výpočte inverzného prvku v poli $\mathbb Q(\sqrt[3]2)$: viewtopic.php?t=349 )
Okrem toho sme sa ešte pozreli na determinant matice otočenia o uhol $\varphi$. V súvislosti s tým sme si povedali aj to, čo hovorí determinant o lineárnom zobrazení. (Vlastne hovorí o tom, koľkokrát sa zväčšuje plocha/objem nejakého útvaru pri zobrazení lineárnym zobrazením. Takéto veci budú pre vás užitočné, keď budete rátať integrály viac premenných - konkrétne sa tam vyskytnú ako Jacobiho determinant a.k.a. jakobián. Ešte pridám túto linku, lebo súvisí s touto témou a sú tam pekné obrázky.)
Ako posledný príklad sme stihli zrátať tento determinant:
$$\begin{vmatrix}
x^{2} & (x+1)^{2} &(x+2)^{2} \\
(x+1)^{2} &(x+2)^{2} & (x+3)^{2}\\
(x+2)^{2} & (x+3)^{2} & (x+4)^{2}
\end{vmatrix}=-8$$

Povinné cviko (18.2):
Ortogonálny doplnok, kolmý priemet, matica projekcie. Z týchto úloh sme stihli 1a, 8, 3, 4.
Viacero riešených úloh na výpočet kolmého priemetu a matice projekcie nájdete i na fóre:
viewtopic.php?t=824
viewtopic.php?t=574
viewtopic.php?t=575

[Martin Sleziak]

Výberové cviko (23.2.):
Z tejto sady úloh sme stihli: Úlohy 1 a 2 z časti o afinných priestoroch, úlohu 1 z časti o afinných zobrazeniach a úlohu 1a,1b z časti o afinných a barycentrických súradniciach. (A trochu som ešte potom hovoril niečo o tom, ako súvisí afinný izomorfizmus a priradenie súradníc v afinnej súradnicovej sústave. To nejako súvisí aj s úlohami 1c,1d.)
Budúci týždeň bude na výberovom cviku písomka zameraná na determinanty a priestory so skalárnym súčinom (z nich najmä veci súvisiace s ortogonalitou a kolmými priemetmi).

Povinné cviko (25.2.):
Dnes sme stihli prejsť prednáškové úlohy 1 a 2. Okrem toho sme sa ešte pozreli na úlohu z 01afin.pdf o zistení, či zadané body tvoria barycentrický súradnicový systém a vyjadrení zadaného bodu ako barycentrickej kombinácie. (Úloha 4 v časti o afinných a barycentrických súradniciach.)

Ešte pridám linku na úlohu o tom, že barycentrická kombinácia barycentrických kombinácií je opäť barycentrická kombinácia: viewtopic.php?t=617

[Martin Sleziak]

Výberové cviko (1.3.):
Po písomke sme ešte stihli prejsť príklady 6 a 7 z časti o afinných a barycentrických súradniciach v 01afin.pdf.

V http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/u3.pdf nájdete viaceré zaujímavé geometrické úlohy, ktoré sa týkajú uhlopriečok, ťažísk a podobne. V nich je dôležité si uvedomiť, že si môžeme vhodne zvoliť afinnú súradnicovú sústavu, v ktorej sa nám bude ľahšie počítať.

Posledná úloha je asi vcelku zaujímavá (asi aspoň pre ľudí, ktorých baví geometria), ale nie celkom jednoduchá. Ak si ju niekto chce vyskúšať, tak pridám niečo, čo môže pomôcť. (Ale možno nájdete aj úplne iné riešenia.) Skúste sa zamyslieť nad týmto: Mám trojuholník $ABC$ a vnútri tohoto trojuholníka mám bod $P$. Označme $S_1$, $S_2$, $S_3$ plochy trojuholníkov $PBC$, $APC$ a $ABP$. Potom tento bod môžeme zapísať ako barycentrickú kombináciu $\frac{S_1A+S_2B+S_3C}{S_1+S_2+S_3}$. (Aj keď na úplné riešenie tejto úlohy sa budete musieť asi zamyslieť aj nad tým, ako je to, keď $P$ nie je vo vnútri trojuhlínka.)

Povinné cviko (3.3.):
Stihli sme prejsť prednáškové úlohy 3.

[Martin Sleziak]

4. týždeň

Výberové cviko (8.3):
Stihli sme príklady 1,2,4 a 7 z 02vzaj.pdf.

Dohodli sme sa, že budúci týždeň je na výberovom cviku písomka. Jeden príklad bude na vzájomné polohy afinných podpriestorov. Jeden príklad bude na niečo z vecí, čo sme doteraz mali o afinných podpriestoroch. (Čiže mali by ste vedieť niečo o afinných a barycentrických súradnicových systémoch, o afinných zobrazeniach a pod.)

Povinné cviko (10.3.):
Robili sme prednáškové úlohy 4,5,6. Stihli sme všetky okrem niekoľkých úloh týkajúcich sa vzájomných polôh - konkrétne 3 a 4 z PU5 a 1 z PU6.

[Martin Sleziak]

5. týždeň

Výberové cviko (15.3):
Po písomke sme sa stihli pozrieť na príklady 1b a 2b zo sady úloh na vzdialenosti afinných podpriestorov: http://msleziak.com/vyuka/2015/lag2/04vzdial.pdf
Nejaké riešené úlohy na vzdialenosti:
http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak ... ohyvzd.pdf
viewtopic.php?t=623
viewtopic.php?t=628

Povinné cviko (17.3): Prednáškové úlohy PU7, 8. (Príklad PU8/4 sme už nestihli celý vyriešiť, ale aspoň sme si povedali, akým spôsobom by sa dal vyrátať.)

[Martin Sleziak]

6. týždeň

Výberové cviko (22.3):
Rátali sme nejaké úlohy z http://msleziak.com/vyuka/2015/lag2/04vzdial.pdf
(Konkrétne úlohy 5 a 6 z časti o vzdialenostiach a úlohu 2 z časti o uhloch a kolmosti.)

Dohodli sme sa, že 11.apríla bude písomka. Dovtedy vám dám vedieť, čo sa týka miestnosti. (A niekedy pred písomkou sa skúsime dohodnúť aj na konzultáciách.)

Povinné cviko vo štvrtok odpadne - rektorské voľno: http://zona.fmph.uniba.sk/detail-novink ... e-volno-4/

[Martin Sleziak]

7. týždeň

Utorkové cviko odpadlo - dekanské voľno

Povinné cviko (31.3): Prednáškové úlohy 9 a 10. (Stihli sme v podstate všetky. Z PU10 sme úlohy 3 a 4 nerátali, len sme si povedali, ako sa dajú vypočítať.)

[Martin Sleziak]

8. týždeň

Výberové cviko (5.4.):
Najprv sme sa pozreli na to, že podobné matice majú rovnakú stopu a determinant. A tiež sme sa pozreli na to, ako stopa a determinant súvisia s koeficientami charakteristického polynómu: viewtopic.php?t=642
Potom sme sa pozreli na úlohu ako zistiť, či sú dané dve matice podobné. Stihli sme prvú úlohu z 05podob.pdf. Môžete sa pozrieť aj sem: viewtopic.php?t=655

Povinné cviko (7.4.):
Prešli sme prednáškové úlohy 11 a 12.
Trochu sme sa rozprávali aj o tom, že násobenie regulárnou maticou nemení hodnosť. (Keďže tento fakt sa dal použiť v jednej z úloh.) Ukázali sme si dôkaz pomocou riadkových operácií. Dá sa to dokázať aj veľa inými spôsobmi (môžete si skúsiť rozmyslieť; jedna z možností by bola využiť nerovnosti $h(AB)\le h(B)$ a $h(AB)\le h(A)$ viewtopic.php?t=828 ).
Stihli sme aj úlohu $5^*$ z PÚ 12. (Spomedzi hviezdičkových prednáškových úloh.)

Nech $A$ a $B$ sú reálne matice typu $n \times n$. Dokážte, že ak aspoň jedna z nich je regulárna, tak matice $AB$ a $BA$ sú podobné. Uveďte príklad dvoch singulárnych matíc $A$ a $B$, pre ktoré matice $AB$ a $BA$ nie sú podobné.

Ešte sme si na konci povedali, že podobné matice majú rovnaké vlastné hodnoty ale opačná implikácia neplatí. Návod na nájdenie kontrapríkladu bol pozrrieť sa na to aké matice sú podobné s jednotkovou maticou. A potom na to, či vieme nájsť aj nejakú inú maticu, ktorá má rovnaký charakteristický polynóm.

[Martin Sleziak]

9. týždeň

Výberové cviko (12.4.):
Ukázali sme na príklade, že matice, ktoré majú rovnaké charakteristické polynómy, ešte nemusia nutne byť podobné. (Matice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ a $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ nie sú podobné.
Z tejto sady úloh sme urobili úlohy 2, 4b, 4c. Úloha 2 je pomerne detailne vyriešená aj tu: viewtopic.php?t=655
Z tejto sady úloh sme urobili úlohu 2 a povedali sme si aj ako sa dá zovšeobecniť. Wikipédia: Companion matrix.

Na budúci týždeň bude na výberovom cviku písomka - mali by tam byť veci týkajúce sa podobnosti. (Mali by ste vedieť, ako je podobnosť definovaná, zistiť, či je matica podobná s diagonálnou, nájsť charakteristický polynóm, vlastné hodnoty, vlastné vektory, atď.)

Povinné cviko (12.4.):
Riešili sme úlohy z PÚ 13 a 14 - jediná, ktorú sme nestihli je PÚ14/5. Pre zaujímavosť môžeme spomenúť, že matica v tejto úlohe je Hadamardova matica rozmeru 4. Takéto matice súvisia s Hadamardovou hypotézou, čo je pomerne známy otvorený problém.
Matica z úlohy PÚ14/1 je špeciálny prípad permutačnej matice. Že takéto matice naozaj súvisa s permutáciami sme videli - lineárne zobrazenie určené touto maticou iba nejakým spôsobom vymieňa súradnice. Nejaké permutačné matice sú aj v prvej úlohe tu: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/u7.pdf

[Martin Sleziak]

10. týždeň

Výberové cviko (19.4.):
Písali sme písomku. (Ešte raz sa ospravedlňujem za chaos s miestnosťou a presúvanie počas písomky.)
Neskôr sme si niečo stručne povedali o príkladoch z písomky. A stihli sme 1 príklad na Jordanov tvar - konkrétne 1d z http://msleziak.com/vyuka/2015/lag2/06jordan.pdf
Zopár prepočítaných príkladov na Jordanov tvar: viewtopic.php?t=656

Povinné cviko (21.4.):
Prešli sme prednáškové úlohy 15. Okrem iného sme si popritom ukázali aj to, ako sa dá stopa a determinant vyjadriť pomocou vlastných hodnôt (ich súčet resp. súčin): viewtopic.php?t=642
Potom sme si na jednom konkrétnom príklade ukázali to, ako zistiť Jordanov tvar a aj ako nájsť maticu $P$ takú, že $PAP^{-1}=J$. Konkrétne sme riešili tento príklad: viewtopic.php?t=656
(Chcel som prejsť aspoň jeden príklad pre rozmery aspoň $4\times 4$, kde je viac možností ako môže vyzerať Jordanov tvar. Pri maticiach $3\times 3$ vlastne akonáhle poznám počty Jordanových blokov pre jednotlivé vlastné hodnoty, tak už viem povedať Jordanov tvar. Teda ak sme si chceli ukázať prípad, kde treba rátať aj niečo ďalšie, tak bolo treba rozmer aspoň $4$.)

Fibonacciho čísla
Ak sa chcete pozrieť na nejaký príklad toho, ako sa dajú použiť niektoré veci, ktoré ste sa tento semester naučili, môžete sa pozrieť na rôzne vlastnosti Fibonacciho čísel: viewtopic.php?t=640
Na prednáške ste poučili niečo o tom, ako súvisia vlastné hodnoty a vlastné čísla s nejakými jednoduchými obyčajnými diferenciálnymi rovnicami. Podobné veci sa dajú použiť aj pre lineárne rekurencie.
Tu som chcel ukázať nejaké príklady, kde vidno, že vlastné vektory sa v súvislosti s takýmito vecami objavujú vcelku prirodzene: viewtopic.php?t=639
Nejaké odkazy na ďalšie materiály o lineárnych rekurentných rovniciach môžete nájsť aj tu: viewtopic.php?t=658