Cvičenia LS 2015/16 - 1PMA

[Martin Sleziak]

11. týždeň

Výberové cviko (26.4.):
Stále sme sa venovali Jordanovmu tvaru. Konkrétne z http://msleziak.com/vyuka/2015/lag2/06jordan.pdf sme prešli úlohy 4, 5a, 1f.

Pri jednej z úloh sa nám hodilo vedieť o blokových maticiach, že pre determinanty platí:
$\begin{vmatrix}
A&0\\
B&C\end{vmatrix}=|A|\cdot|C|$
Takže sme nejaký čas strávili aj dôkazom tohoto tvrdenia.
Pridám aj nejaké linky:
* http://math.stackexchange.com/questions ... eterminant
* http://math.stackexchange.com/questions ... lar-matrix

Budúci týždeň bude na výberovom cviku písomka venovaná veciam súvisiacim s Jordanovým tvarom. (Zhruba povedané, môžete čakať príklady aké sa objavili v tejto sade úloh alebo medzi prednáškovými úlohami.)

Povinné cviko (26.4.):
Riešili sme PÚ 16, 17, 18. (T.j. ešte nejaké úlohy na Jordanov tvar, podobnosť, charakteristický polynóm. A dostali sme sa už aj ku kvadratickým formám.)
Z nich sme nestihli PÚ16/3 a PÚ18/3. (Môžeme sa k jednej z nich alebo aj k obom vrátiť na budúci týždeň.)
Nejaké príklady na kvadratické formy nájdete vyriešené aj tu na fóre:
viewtopic.php?t=677
viewtopic.php?t=678

[Martin Sleziak]

12. týždeň

Výberové cviko (3.5.): Po písomke sme sa pozreli na nejaké úlohy z 07kvadform.pdf. Prešli sme ešte jednu úlohu na nájdenie kanonického tvaru (a maticových rovností, ktoré z neho vyplývajú.) Pozreli sme sa na kladnú definitnosť (úlohy 3a a 6d).
Ešte som sa na konci chcel prejsť úlohu na ortogonálnu podobnosť (úloha 10) - ale keď som sa dostal k výpočtu vlastných hodnôt, tak som zistil, že som to celé začal rátať s maticou, ktorá nie je symetrická. K úlohe takéhoto typu sa ešte vrátime.

Povinné cviko (5.5.): Prešli sme PÚ 19 a 20. (A vrátili sme sa aj k úlohe o kvadratickej forme $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3$, ktorá bola v jednej zo starších sád, ale nestihli sme ju na cviku.) Pri jednej z úloh sme sa chvíľu zaoberali aj tým, aký je vzťah medzi vlastnými hodnotami matica $A$ a matice $A-aI$.

[Martin Sleziak]

13. týždeň

Výberové cviko (10.5.):
Porozprávali sme si dnes nejaké jednoduché veci o kužeľosečkách - 08kuzelosecky.pdf. (Pre niektorých z vás to bolo opakovanie zo strednej školy, ale niektorí z vás to vraj na strednej nemali.) V podstate sa dá povedať, že sme zatiaľ kreslili kužeľosečky, ktoré majú osi rovnobežné so súradnicovými osami. (Časom sa dostaneme aj k všeobecnejšiemu prípadu.)

Ak si o nich chcete prečítať viac, pridám linky na články na Wikipédii o elipse, hyperbole a parabole. Ešte pridám nejaké veci, ktoré sme spomínali na cviku: Keplerove zákony, šikmý vrh, parabola a reflektory/zrkadlá. V súvislosti s hyperbolou sú v texte, ktorý som vám dal, spomenuté i hyperbolické funkcie (na cviku sme však o nich nehovorili).

Dohodli sme sa, že budúci týždeň je na výberovom cviku krátka písomka - téma sú kvadratické formy. (Napríklad veci ako kanonický tvar, kladná definitnosť a pod.) V súvislosti s touto písomkou sme sa dohodli tiež, že na nej nebude príklad na ortogonálnu podobnosť. (Keďže na cviku som zatiaľ taký príklad prepočítať nestihol.)

Povinné cviko (12.5.):
Prešli sme PÚ 21 a 22. Začal som riešiť aj nejakú úlohu na kreslenie kužeľosečiek, ale už som ju nestihol dorátať.
Dal som nejaké veci týkajúce sa takéhoto typu úloh na fórum. (Ak si dobre pamätám, tak tá úloha s elipsou je presne tá, ktorú som začal rátať na cviku, ale nedorátal.
viewtopic.php?t=901
viewtopic.php?t=902
viewtopic.php?t=903
viewtopic.php?t=909
viewtopic.php?t=910

[Martin Sleziak]

14. týždeň

Výberové cviko (17.5.)
Po písomke sme stihli ešte prejsť príklad takého typu, kde sme sa snažili načrtnú obázok elipsy. Konkrétne sme robili 1a z 09krivky.pdf.
Popritom sme sa trochu porozprávali o tom, ako nájsť stred a tiež ako sa dá zapamätať, čo mi znamienko $\delta$ hovorí o type krivky.
Ak budete mať čas, azda sa oplatí pozrieť si príklady na kužeľosečky, ktoré som dal na fórum. (Linky som dal už v predošlom poste.)

Povinné cviko (19.5.)
Venovali sme sa kresleniu kriviek (PÚ 23/1,3) a ešte sme (dvoma spôsobmi) prešli jednu úlohu na duálne zobrazenie (PÚ 25/1).

Kvadratické formy a extrémy funkcií viac premenných
Asi sa na cviku nestihnem dostať k tomu, aby som vám porozprával o tom, ako súvisí kladná definitnosť s tým, či nejaká funkcia nadobúda v danom bode maximum/minimum. Z toho, čo ste sa naučili rátať tu, by ste to vedeli vypočítať aspoň pre funkciu, ktorá má priamo tvar kvadratickej formy. Keď sa naučíte niečo z analýzy viac premenných, tak budete podobné veci vedieť rátať pre diferencovateľné funkcie. Pridám aspoň linku na WIkipédiu, ak si o tom niekde chcete prečítať viac: Second partial derivative test.
Do značnej miery sa to podobá na to, čo už poznáte z analýzy funkcií jednej premennej. Tam hľadáte body, kde je $f'(x)=0$. A podľa toho, či je druhá derivácia kladná alebo záporná viete povedať, či ide o minimum alebo maximu. Pri funkciách viac premenných sa tu objaví matica (ktorú získate pomocou parciálnych derivácií) a o nej budete chcieť zistiť, či je kladne alebo záporne definitná.