Vzdialenosť

[Martin Sleziak]

Napíšem sem niečo k úlohe z písomky. Samozrejme, ak máte nejaké otázky, poznámky, návrhy na iné riešenia, tak neváhajte napísať sem na fórum.

Vo všetkých 4 skupinách bolo rovnaké zadanie, líšilo sa iba voľbou priamky $p$ a roviny $\alpha$.

Zistite vzdialenosť medzi afinnými podpriestormi $p$ a $\alpha$ priestoru $(\mathbb R^4,\mathbb R^4)$.
A: $p=\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1=1+t, x_2=-1-t, x_3=3+t, x_4=1; t\in\mathbb R\}$ a $\alpha=\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1+x_2+x_3=7, x_1-3x_2+x_3+4x_4=3\}$.
B: $p=\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1=2t, x_2=1+t, x_3=2+2t, x_4=1+t; t\in\mathbb R\}$ a $\alpha=\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1-2x_2+x_3=-2,x_1+x_2-x_3-x_4=2\}$.
C: $p=\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1=1+t, x_2=1+2t, x_3=3t, x_4=2-t; t\in\mathbb R\}$ a $\alpha=\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1-x_2+x_3-x_4=0,-x_1+2x_2-2x_3+x_4=-3\}$.
D: $p=\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1=-1+t, x_2=-t, x_3=1-t, x_4=1; t\in\mathbb R\}$ a $\alpha=\{(x_1,x_2,x_3,x_4); 2x_1+3x_2+x_3=7,2x_1+x_2+x_3-x_4=5\}$.

Výsledky

Vzdialenosti mali vyjsť takto:
A: $\sqrt7$
B: $2$
C: $\sqrt{10}$
D: $\sqrt7$

Napíšem aj ako vyjde stredná priečka, t.j. aké sú body $X\in p$ a $Y\in \alpha$ také, že úsečka $XY$ je kolmá na $p$ aj na $\alpha$.
A: $X=(1,-1,3,1)$, $Y=(2,1,4,0)$
B: $X=(0,1,2,1)$, $Y=(1,2,1,0)$
C: $X=(1,1,0,2)$, $Y=(0,-1,2,3)$
D: $X=(-1,0,1,1)$, $Y=(1,1,2,0)$

Riešenie

Na fóre je viacero riešených príkladov na vzdialenosti.
Mimobežné priestory viewtopic.php?t=628
Nájdenie strednej priečky (čo sa dá využiť pri hľadaní vzdialenosti): viewtopic.php?t=870

[Martin Sleziak]

Chyby, ktoré sa vyskytovali v riešeniach.

Niektorí ste používali normálové vektory roviny $\alpha$ (ktoré vieme vyčítať zo zadaných rovníc), ako keby to boli vektory patriace do $V_\alpha$.

Viacerí ste vyrátali priemet nejakého bodu $A\in p$ do roviny $\alpha$. Potom ste prehlásili, že vzdialenosť je presne rovná $|AA^\bot|$.
Táto hodnota však závisí od výberu bodu $A$ na priamke. (Vypočítali ste ste vlastne vzdialenosť bodu $A$ od roviny $\alpha$. Tá nie je pre každý bod priamky rovnaká. Vzdialenosť priamky a roviny dostaneme, keď by sme vybrali taký bod z $p$, ktorý je k rovine najbližšie.)
Zadanie som urobil tak, že bod vystupujúci v parametrickom vyjadrení priamky je ten bod priamky ktorý je najbližšie k rovine. Takže ak ste použili tento, tak vám vyšiel správny výsledok, hoci nesprávnym spôsobom. (Môžete si vyskúšať, že keď vyberiete iný bod z $p$, tak takýmto spôsobom dostanete inú hodnotu $|AA^\bot|$.)
Ak by ste najprv urobili pomocnú nadrovinu (ktorá obsahuje $\alpha$ a je rovnobežná s $p$) a hľadali kolmý priemet do nej, tak by takéto riešenie bolo úplne v poriadku. Nie však ak ste hľadali priemet do $\alpha$.