6. prednáška (28.3.)$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
Faktorová grupa. Definícia faktorovej grupy $G/H$ a dôkaz, že skutočne ide o grupu.
Tu bolo najpodstatnejšie ukázať, že daná operácia je dobre definovaná.
V poznámkach na webe je ukázané, že predpis $(aH)(bH)=(ab)H$ dáva to isté, ako keď sa pozrieme na tento súčin ako na súčin podmnožín.
Iná možnosť dôkazu: Ukázať, že ak $a_1H=a_2H$, $b_1H=b_2H$, tak sa budú rovnať ľavé triedy $(a_1b_1)H=(a_2b_2)H$.
Tam nám stačilo skontrolovať, že $\inv{(a_1b_1)}(a_2b_2)=\inv{b_1}\inv{a_1}a_2b_2=\inv{b_1}(\inv{a_1}a_2)b_1\inv{b_1}b_2$ patrí do $H$.
Zdôrazním, že tu bolo naozaj dôležité to, že $H$ je normálna podgrupa. Bez tohto predpokladu by to nefungovalo.
Uviedli sme nejaké príklady faktrorizácie a potom sme povedali, že je dobre mať nejaký "ľahký" nástroj, ako sa dá dokázať, že nejaká faktorová grupa je izomorfná s inou (povedzme nám už známou) grupou. To viedlo k prvej vete o izomorfnizme.
Veta o izomorfizme. Dokázali sme vetu o izomorfizme, t.j. že jadro homomorfizmu je vždy normálna podgrupa a vlastnú prvú vetu o izomorfizme: $G/\operatorname{Ker}f\cong \operatorname{Im}f$.
Na konci sme sa vrátili ku kanonickému homomorfizmu $\psi: G\to G/H$ (pre normálnu podgrupu $H$ grupy $G$). Tu súčasne vidíme, že normálne podgrupy sú presne tie podgrupy, ktoré sa dajú dostať ako jadrá homomorfizmov.
Pridávam aj linku na súbor, kde je vyriešených viacero príkladov týkajúcich sa faktorových grúp:
https://msleziak.com/vyuka/2020/lag/faktorove.pdf
V poznámkach sú aj ďalšie vety o izomorfizme. Tie som neprednášal a nebudem ich ani vyžadovať na skúške. (Samozrejme, ak niekoho zaujímajú, tak sa na ne môžete pozrieť. Hovorli som, že ak by sa vám niektoá z nich hodlila pri nejakých dôkazoch o faktorizácii, že ich môžete použiť - v takom prípade musíte rozumieť aspoň zneniu, predpokladom, záveru.)
Dal som vám za úlohu pozrieť si základné veci o okruhoch, ktoré sme sme robili minulý rok - v texte som vám ukázal zhruba pokiaľ (ide mi o to, aby ste sa zorientovali - okruh, podokruh, súčin okruhov, delitele nuly a súvis s krátením nenulovým prvkom, obor integrity, teleso, pole).
Nejaké ďalšie veci vám dám zopakovať neskôr.