msleziak.com

Úloha 6.4. Nájdite ortogonálnu maticu $P$ takú, že $PAP^T=D$ je diagonálna matica. $A= \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2 \\ 1 &-2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ $A$ je symetrická matica, teda je podobná s diagonálnou $D$, kde: $D= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 &am...

OPRAVA: Kvadratickú formu $x_1x_2 + x_2x_3$ upravíme na kanonický tvar: $(\frac{x_2+x_1+x_3}{2})^2 - (\frac{x_2-x_1-x_3}{2})^2$. Potom keď označíme $y_1 = \frac{x_2+x_1+x_3}{2}$, $y_2 = \frac{x_2-x_1-x_3}{2}$ a zavedieme novú premennú $y_3$. Možeme ekvivaletne prepísať kvadratickú formu ako $y_1 - y...

OPRAVA: Nenulové riešenie tejto sústavy je napríklad $\gamma_2 = (1, 1, -1, 1)$. Našli sme ortogonálnu bázu $S$ a to $\gamma_1 = (1, 0, 1, 1)$ a $\gamma_2 = (1, 1, -1, 1)$. Aby sme získali ortonormálnu bázu $\beta_1$, $\beta_2$, musíme vektory predeliť ich dĺžkou: $\beta_1 =\frac{ \gamma_1}{|\gamma_...

Úloha 2.2. Nájdite ortonormálnu bázu priestoru $S=[(2,1,1,3),(0,1,-1,1),(1,0,1,1)]$. (Pracujeme v $\mathbb R^4$ so štandardným skalárnym súčinom.) Najprv overíme, či sú vektory generujúce podpriestor $S$ lineárne nezávislé úpravou matice, s vektormi generujúcimi $S$ ako riadkami, na redukovaný troj...

Úloha 2.1. Nájdite bázu a dimenziu $S^\bot$ pre $S=[(1,2,3,1),(1,1,1,1),(1,2,3,2)]$. (Pracujeme v $\mathbb R^4$ so štandardným skalárnym súčinom.) Najprv overíme, či sú vektory generujúce podpriestor $S$ lineárne nezávislé úpravou matice, s vektormi generujúcimi $S$ ako riadkami, na redukovaný troj...

Úloha 3.1. Upravte na diagonálny (prípadne kanonický) tvar a nájdite príslušnú transformáciu premenných. Zapíšte aj maticové rovnosti, ktoré z výsledkov vyplývajú: $x_1x_2+x_2x_3$. Ako prvé nájdeme symetrickú maticu $A$ takú, že: $\vec x A \vec x^T = x_1x_2+x_2x_3$ $\begin{pmatrix} x_1 & x_2 &a...

Zistite, pre aké hodnoty parametra c sú dané vektory lineárne závislé
a) (−1, 0, −1), (2, 1, 2), (1, 1, c) v R^3;
b) (1, 1, 3), (2, 1, 2), (c, 0, −c) v R^3;
c) (2, 0, −1), (3, 2, 0), (1, −2, c) v R^3.

Nech matice A a B sú rovnakého typu. Dokážte, že potom (A+B)^T = A^T +B^T
a (A^T)^T = A. Čomu sa rovná (c1*A + c2*B)^T?