Sem budem písať, čo sme stihli na jednotlivých cvičeniach. (Môže byť užitočné, ak sa k tomu chcete vrátiť alebo ak ste chýbali na cviku.)
Tento topic by som chcel používať iba na tento účel. Takže ak budete mať otázky k niečomu, čo bolo na cviku, tak skúste v inom topicu. (Buď založiť nový alebo v nejako už existujúcom, ak nájdete taký, kde sa vaša otázka hodí.)
Cvičenia LS 2016/17 - 1MAT
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2016/17 - 1MAT
1. týždeň
Výberové cviko (21.2.):
Robili sme veci týkajúce sa skalárneho súčiny, orotogonálneho doplnku, kolmého priemetu.
Konkrétne sme z týchto úloh prešli 1f, 2a a 10.
V 2a sme zrátali aj maticu projekcie. Tiež sme videli, že ak sme mali ortonormálnu bázu pre podpriestor zloženú z vektorov $\vec u_1$, $\vec u_2$, tak sa táto matica dala vyjadriť ako $P=\vec u_1^T\vec u_1+\vec u_2^T\vec u_2$. Ako takú nepovinnú domácu úlohu ste dostali zamyslieť sa nad tým, prečo to funguje. (A plánujeme sa k tomu vrátiť na štvrtkovom cviku.)
Pripomeniem, že viacero úloh z tejto témy je vyriešených aj na fóre: viewtopic.php?f=29&t=993
Vrátili sme sa k nej preto, že pri viacerých veciach čo budeme preberať tento semester, bude treba vedieť nejaké veci o ortogonálnom doplnku, kolmom priemete ortonormálnej báze a pod.
Napíšem aj to, že v papieroch, ktoré som vám rozdal na dnešnom cviku bol preklep v 10-tej úlohe - namiesto $(U\cap V^\bot)$ má byť $(U\cap V)^\bot$. (V zadaniach, ktoré sú na webe, to už je opravené.)
Povinné cviko (23.2.):
Ešte sme sa vrátili k veciam o skalárnych súčinoch, konkrétne k úlohám na výpočet matice projekcie.
Spravili sme úlohu 4 viacerými spôsobmi. Povedali sme si, že ak je $S^\bot$ jednorozmerný podpriestor, tak sa môže výpočet výrazne zjednodušiť tým, že najprv rátame projekciu do $S^\bot$.
Pozreli sme sa na to, že prečo vlastne vieme maticu projekcie vyjadriť v tvare $P=u_1^Tu_1+u_2^Tu_2+\dots+u_k^Tu_k$, ak $u_1,\dots,u_k$ je ortonormálna báza daného podpriestoru. (Inak povedané, hovorí to vlastne, že to je súčet projekcií do smerov $\vec u_1,\vec u_2,\dots,\vec u_k$.)
Potom sme sa pozreli na determinanty blokových matíc - úloha 6 z 00deter.pdf.
V súvislosti s tým som sa vás snažil presvedčiť, že súčin blokových matíc "funguje tak ako má".
Pre istotu zdôrazním, že vo všeobecnosti nemôžem determinant blokovej matice vyrátať jednoducho z determinantov jednotlivých blokov - v úlohe 6 bolo skutočne dôležité, že sme tam mali jeden nulový blok: viewtopic.php?t=918
Ak ste si pozerali riešenie úlohy o inverze hornej trojuholníkovej matice, tak tam bolo ako jedno z riešení uvedené práve aj riešenie pomocou blokových matíc: viewtopic.php?t=1008
Výberové cviko (21.2.):
Robili sme veci týkajúce sa skalárneho súčiny, orotogonálneho doplnku, kolmého priemetu.
Konkrétne sme z týchto úloh prešli 1f, 2a a 10.
V 2a sme zrátali aj maticu projekcie. Tiež sme videli, že ak sme mali ortonormálnu bázu pre podpriestor zloženú z vektorov $\vec u_1$, $\vec u_2$, tak sa táto matica dala vyjadriť ako $P=\vec u_1^T\vec u_1+\vec u_2^T\vec u_2$. Ako takú nepovinnú domácu úlohu ste dostali zamyslieť sa nad tým, prečo to funguje. (A plánujeme sa k tomu vrátiť na štvrtkovom cviku.)
Pripomeniem, že viacero úloh z tejto témy je vyriešených aj na fóre: viewtopic.php?f=29&t=993
Vrátili sme sa k nej preto, že pri viacerých veciach čo budeme preberať tento semester, bude treba vedieť nejaké veci o ortogonálnom doplnku, kolmom priemete ortonormálnej báze a pod.
Napíšem aj to, že v papieroch, ktoré som vám rozdal na dnešnom cviku bol preklep v 10-tej úlohe - namiesto $(U\cap V^\bot)$ má byť $(U\cap V)^\bot$. (V zadaniach, ktoré sú na webe, to už je opravené.)
Povinné cviko (23.2.):
Ešte sme sa vrátili k veciam o skalárnych súčinoch, konkrétne k úlohám na výpočet matice projekcie.
Spravili sme úlohu 4 viacerými spôsobmi. Povedali sme si, že ak je $S^\bot$ jednorozmerný podpriestor, tak sa môže výpočet výrazne zjednodušiť tým, že najprv rátame projekciu do $S^\bot$.
Pozreli sme sa na to, že prečo vlastne vieme maticu projekcie vyjadriť v tvare $P=u_1^Tu_1+u_2^Tu_2+\dots+u_k^Tu_k$, ak $u_1,\dots,u_k$ je ortonormálna báza daného podpriestoru. (Inak povedané, hovorí to vlastne, že to je súčet projekcií do smerov $\vec u_1,\vec u_2,\dots,\vec u_k$.)
Potom sme sa pozreli na determinanty blokových matíc - úloha 6 z 00deter.pdf.
V súvislosti s tým som sa vás snažil presvedčiť, že súčin blokových matíc "funguje tak ako má".
Pre istotu zdôrazním, že vo všeobecnosti nemôžem determinant blokovej matice vyrátať jednoducho z determinantov jednotlivých blokov - v úlohe 6 bolo skutočne dôležité, že sme tam mali jeden nulový blok: viewtopic.php?t=918
Ak ste si pozerali riešenie úlohy o inverze hornej trojuholníkovej matice, tak tam bolo ako jedno z riešení uvedené práve aj riešenie pomocou blokových matíc: viewtopic.php?t=1008
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2016/17 - 1MAT
Výberové cviko (27.2.):
Pozreli sme sa na nejaké úlohy o afinných priestoroch.
Konkrétne z časti afinné priestory sme spravili 1 a 2. Z časti o afinných a barycentrických súradniciach sme spravili 1a,b.
Veľmi stručne sme sa porozprávali o tom, že ak máme afinný súradnicový systém, tak nám to vlastne dáva afinný izomorfizmus s priestorom $(\mathbb R^n,\mathbb R^n)$. Predpokladám, že trochu viac o tom ešte budete počuť na prednáške.
Povinné cviko (2.3.):
Riešili sme prednáškové úlohy 3 a 4.
Okrem toho sme ešte stihli úlohu 1a,b z časti o afinných a barycentrických súradniciach v 01afin.pdf.
Pozreli sme sa na nejaké úlohy o afinných priestoroch.
Konkrétne z časti afinné priestory sme spravili 1 a 2. Z časti o afinných a barycentrických súradniciach sme spravili 1a,b.
Veľmi stručne sme sa porozprávali o tom, že ak máme afinný súradnicový systém, tak nám to vlastne dáva afinný izomorfizmus s priestorom $(\mathbb R^n,\mathbb R^n)$. Predpokladám, že trochu viac o tom ešte budete počuť na prednáške.
Povinné cviko (2.3.):
Riešili sme prednáškové úlohy 3 a 4.
Okrem toho sme ešte stihli úlohu 1a,b z časti o afinných a barycentrických súradniciach v 01afin.pdf.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2016/17 - 1MAT
3. týždeň
Výberové cviko (6.3.):
Venovali sme sa časti o afinných a barycentrických súradniciach z 01afin.pdf.
Konkrétne sme stihli úlohu 4 (overenie, či dané body tvoria barycentrický súradnicový systém).
Potom sme sa pozreli na nejaké geometrické úlohy. Najprv sme sa pozreli na to, že $T=\frac13A+\frac13B+\frac13C$ je skutočne vyjadrenie pre ťažisko trojuholníka.
Prešli sme úlohu 5, ktorá vlastne hovorí, že ťažisko trojuholníka minimalizuje súčet štvorcov vzdialeností od vrcholov. Wikipédia
Potom sme sa pozreli na úlohu 7, ktorú sme nedokončili. Pri nej sa nám hodí takýto fakt, ktorý sme si na cviku aj dokázali:
Body $A\equiv(a_1,a_2)$, $B\equiv(b_1,b_2)$, $C\equiv(c_1,c_2)$ ležia na jednej priamke práve vtedy keď
$$\det
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{pmatrix}=0.
$$
Oplatí sa všimnúť si, že sa to podobá na to, čo sme robili pri overovaní či body tvoria barycentrický súradnicový systém. A tiež sa môžete zamyslieť nad tým, že podobne by fungovalo kritérium či 4 body v 3-rozmernom priestore ležia v jednej rovine. (Alebo všeobecnejšie v n-rozmernom priestore by sme mali podobné kritérium pre nadrovinu.)
Pripomeniem, že budúci týždeň bude prvá malá písomka. Témy sú veci, čo sme robili prvý týždeň - ortogonálny doplnok, ortogonálna projekcia, matica projekcie a pod.
Povinné cviko (9.3.):
Z prednáškových úloh sme stihli 1,2,3,4 a 6 z PÚ3 a 2 z PÚ4.
Niektoré z úloh v PÚ3 sú sformulované ako vety v Korbaš-Gyurki. (Aj s dôkazmi. Možno sa oplatí na ne pozrieť. Prinajmenšom dôkaz základnej vety o afinných zobrazeniach je tam urobený výrazne jednoduchšie ako som ho robil ja na dnešnom cviku.)
K úlohe týkajúcej sa barycentrickej kombinácie barycentrických kombinácií nájdete niečo napísané tu: viewtopic.php?t=617
Výberové cviko (6.3.):
Venovali sme sa časti o afinných a barycentrických súradniciach z 01afin.pdf.
Konkrétne sme stihli úlohu 4 (overenie, či dané body tvoria barycentrický súradnicový systém).
Potom sme sa pozreli na nejaké geometrické úlohy. Najprv sme sa pozreli na to, že $T=\frac13A+\frac13B+\frac13C$ je skutočne vyjadrenie pre ťažisko trojuholníka.
Prešli sme úlohu 5, ktorá vlastne hovorí, že ťažisko trojuholníka minimalizuje súčet štvorcov vzdialeností od vrcholov. Wikipédia
Potom sme sa pozreli na úlohu 7, ktorú sme nedokončili. Pri nej sa nám hodí takýto fakt, ktorý sme si na cviku aj dokázali:
Body $A\equiv(a_1,a_2)$, $B\equiv(b_1,b_2)$, $C\equiv(c_1,c_2)$ ležia na jednej priamke práve vtedy keď
$$\det
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{pmatrix}=0.
$$
Oplatí sa všimnúť si, že sa to podobá na to, čo sme robili pri overovaní či body tvoria barycentrický súradnicový systém. A tiež sa môžete zamyslieť nad tým, že podobne by fungovalo kritérium či 4 body v 3-rozmernom priestore ležia v jednej rovine. (Alebo všeobecnejšie v n-rozmernom priestore by sme mali podobné kritérium pre nadrovinu.)
Pripomeniem, že budúci týždeň bude prvá malá písomka. Témy sú veci, čo sme robili prvý týždeň - ortogonálny doplnok, ortogonálna projekcia, matica projekcie a pod.
Povinné cviko (9.3.):
Z prednáškových úloh sme stihli 1,2,3,4 a 6 z PÚ3 a 2 z PÚ4.
Niektoré z úloh v PÚ3 sú sformulované ako vety v Korbaš-Gyurki. (Aj s dôkazmi. Možno sa oplatí na ne pozrieť. Prinajmenšom dôkaz základnej vety o afinných zobrazeniach je tam urobený výrazne jednoduchšie ako som ho robil ja na dnešnom cviku.)
K úlohe týkajúcej sa barycentrickej kombinácie barycentrických kombinácií nájdete niečo napísané tu: viewtopic.php?t=617
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2016/17 - 1MAT
4. týždeň
Výberové cviko (14.3.):
Po písomke sme sa pozreli na pár úloh z http://msleziak.com/vyuka/2016/lag2/02vzaj.pdf
Z časti o všeobecnom a paremetrickom vyjadrení sme stihli úlohu 2a.
Z úloh týkajúcich sa vzájomných polôh afinných podpriestorov sme stihli úlohu 1a.
Dohodli sme sa, že malá písomka bude najbližšie o dva týždne a bude sa týkať afinných a barycentrických vecí.
Povinné cviko (16.3.):
Prerátali sme prednáškové úlohy 5 a 6 (okrem hviezdičkových).
Keďže v poslednej úlohe vyšli rovnobežné podpriestory, tak sme rovno vyskúšali aj to, ako by sa pre ne dala vyrátať vzdialenosť: viewtopic.php?t=1051
K úlohám na vzdialenosti podpriestorov sa ešte len dostaneme, ale možno nezaškodí napísať už teraz, že nejaké riešené úlohy sa dajú nájsť aj na fóre:
viewtopic.php?t=623
viewtopic.php?t=628
viewtopic.php?t=870
Výberové cviko (14.3.):
Po písomke sme sa pozreli na pár úloh z http://msleziak.com/vyuka/2016/lag2/02vzaj.pdf
Z časti o všeobecnom a paremetrickom vyjadrení sme stihli úlohu 2a.
Z úloh týkajúcich sa vzájomných polôh afinných podpriestorov sme stihli úlohu 1a.
Dohodli sme sa, že malá písomka bude najbližšie o dva týždne a bude sa týkať afinných a barycentrických vecí.
Povinné cviko (16.3.):
Prerátali sme prednáškové úlohy 5 a 6 (okrem hviezdičkových).
Keďže v poslednej úlohe vyšli rovnobežné podpriestory, tak sme rovno vyskúšali aj to, ako by sa pre ne dala vyrátať vzdialenosť: viewtopic.php?t=1051
K úlohám na vzdialenosti podpriestorov sa ešte len dostaneme, ale možno nezaškodí napísať už teraz, že nejaké riešené úlohy sa dajú nájsť aj na fóre:
viewtopic.php?t=623
viewtopic.php?t=628
viewtopic.php?t=870
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2016/17 - 1MAT
5. týždeň
Výberové cviko (21.3.):
Z 02vzaj.pdf sme urobili úlohy 8 a 9. (V úlohe 8 sme videli, že v $\mathbb R^4$ sa môže stať to, že nenastane ani jedna z možností rovnobežné, rôznobežné, mimobežné.)
Z 04vzdial.pdf sme urobili prvé dve úlohy. Úlohu na určenie vzdialenosti bodu od priamky sme urobili viacerými spôsobmi. Úlohu tohoto typu nájdete aj vyriešenú na fóre: viewtopic.php?t=623
Na budúci týždeň bude ďalšia malá písomka. Očakáva sa od vás, že by ste mali vedieť základné veci o afinných priestoroch a afinných súradniciach, vedieť niečo o afinných zobrazeniach a tiež o barycentrických súradniciach.
Povinné cviko (24.3.):
Z prednáškových úloh 7 a 8 sme prešli všetky okrem PU8/4 a hviezdičkových.
Výberové cviko (21.3.):
Z 02vzaj.pdf sme urobili úlohy 8 a 9. (V úlohe 8 sme videli, že v $\mathbb R^4$ sa môže stať to, že nenastane ani jedna z možností rovnobežné, rôznobežné, mimobežné.)
Z 04vzdial.pdf sme urobili prvé dve úlohy. Úlohu na určenie vzdialenosti bodu od priamky sme urobili viacerými spôsobmi. Úlohu tohoto typu nájdete aj vyriešenú na fóre: viewtopic.php?t=623
Na budúci týždeň bude ďalšia malá písomka. Očakáva sa od vás, že by ste mali vedieť základné veci o afinných priestoroch a afinných súradniciach, vedieť niečo o afinných zobrazeniach a tiež o barycentrických súradniciach.
Povinné cviko (24.3.):
Z prednáškových úloh 7 a 8 sme prešli všetky okrem PU8/4 a hviezdičkových.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2016/17 - 1MAT
6. týždeň
Výberové cviko (28.3.): Po písomke sme sa stihli pozrieť na príklad 3a a 9a z 04vzdial.pdf. (Druhý sme nedorátali - len sme si povedali ako by sa dal dokončiť.)
V oboch prípadoch išlo o vzdialenosť mimobežných podpriestorov. V druhom prípade nám situáciu to, že súčet dimenzií je $n-1$. Nejaký príklad na vzdialenosť dvoch mimobežných podpriestorov je vyriešený aj tu: viewtopic.php?t=628
Povinné cviko. (31.3.) Ešte sme sa vrátili k úlohe z predošlej sady o dĺžke diagonály v n-rozmernej kocke. Potom sme riešili prednáškové úlohy 9 a 10. Ku všetkým sme sa dostali - aj keď pri niektorých sme iba stručne povedali ako by sa dali rátať.
Okrem toho sme sa dohodli aj na termíne písomky: viewtopic.php?t=1068
Výberové cviko (28.3.): Po písomke sme sa stihli pozrieť na príklad 3a a 9a z 04vzdial.pdf. (Druhý sme nedorátali - len sme si povedali ako by sa dal dokončiť.)
V oboch prípadoch išlo o vzdialenosť mimobežných podpriestorov. V druhom prípade nám situáciu to, že súčet dimenzií je $n-1$. Nejaký príklad na vzdialenosť dvoch mimobežných podpriestorov je vyriešený aj tu: viewtopic.php?t=628
Povinné cviko. (31.3.) Ešte sme sa vrátili k úlohe z predošlej sady o dĺžke diagonály v n-rozmernej kocke. Potom sme riešili prednáškové úlohy 9 a 10. Ku všetkým sme sa dostali - aj keď pri niektorých sme iba stručne povedali ako by sa dali rátať.
Okrem toho sme sa dohodli aj na termíne písomky: viewtopic.php?t=1068
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2016/17 - 1MAT
7. týždeň
Výberové cviko (3.4.): Riešili sme úlohy z 05podob.pdf.
Najprv sme sa pozreli na to, že podobné matice majú rovnakú hodnosť, stopu, determinant a charakteristický polynóm. S tým súvisí i vzťah medzi vlastnými číslami (=koreňmi charakteristického polynómu) a koeficientami charakteristického polynómu: viewtopic.php?t=642
Ešte sa pozreli na úlohu zistiť, či matice $2\times2$ sú navzájom podobné resp. či sú podobné diagonálnej matici. Nejaké takéto úlohy nájdete vyriešené aj tu: viewtopic.php?t=655
Budúci pondelok píšeme malú písomku, témou sú vzdialenosti a vzájomné polohy afinných podpriestorov.
Povinné cviko (6.4.): Robili sme prednáškové úlohy 11 a 12.
Výberové cviko (3.4.): Riešili sme úlohy z 05podob.pdf.
Najprv sme sa pozreli na to, že podobné matice majú rovnakú hodnosť, stopu, determinant a charakteristický polynóm. S tým súvisí i vzťah medzi vlastnými číslami (=koreňmi charakteristického polynómu) a koeficientami charakteristického polynómu: viewtopic.php?t=642
Ešte sa pozreli na úlohu zistiť, či matice $2\times2$ sú navzájom podobné resp. či sú podobné diagonálnej matici. Nejaké takéto úlohy nájdete vyriešené aj tu: viewtopic.php?t=655
Budúci pondelok píšeme malú písomku, témou sú vzdialenosti a vzájomné polohy afinných podpriestorov.
Povinné cviko (6.4.): Robili sme prednáškové úlohy 11 a 12.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2016/17 - 1MAT
8. týždeň
Výberové cviko (10.4.):
Robili sme tieto úlohy (okrem jednej sú v 05podob.pdf).
Vo štvrtok je rektorské voľno, čo znamená že štvrtkové cvičenie odpadne.
Výberové cviko (10.4.):
Robili sme tieto úlohy (okrem jednej sú v 05podob.pdf).
- Dokážte, že ak $A$ a $B$ sú podobné, tak sú podobné aj matice $A-cI$ a $B-cI$ (pre ľubovoľné $c\in F$).
- Nech $A$ je matica $n\times n$ nad poľom $\mathbb C$ taká, že pre každú regulárnu maticu $n\times n$ platí $PAP^{-1}=A$. Ukážte, že potom $A=cI$ pre nejaké $c\in\mathbb C$. (Inak povedané, týmto sme charakterizujeme také matice, že $A$ je podobná sama so sebou a už so žiadnou inou maticou. T.j. trieda ekvivalencie tejto matice pri relácii \uv{podobnosť matíc} je jednoprvková.)
- Ukážte, že ak každý nenulový vektor $\vec x\in\mathbb R^n$ je vlastným vektorom matice $A$, tak $A=cI$ pre nejaké $c\in\mathbb R$.
Vo štvrtok je rektorské voľno, čo znamená že štvrtkové cvičenie odpadne.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2016/17 - 1MAT
9. týždeň
V pondelok bolo dekanské voľno.
Povinné cviko (20.4.): Riešili sme prednáškové úlohy 13 a 14.
Z nehviezdičkových úloh sme ako jedinú nestihli PÚ14/5. Pre zaujímavosť môžeme spomenúť, že matica v tejto úlohe je Hadamardova matica rozmeru 4. Takéto matice súvisia s Hadamardovou hypotézou, čo je pomerne známy otvorený problém.
V súvislosti s úlohou o podobnosti matíc sa môžete zamyslieť aj nad tým, či by sme ju vedeli vyriešiť aj bez vety o Jordanovom tvare. Niečo k tomu nájdete aj tu: viewtopic.php?t=655
Matica z úlohy PÚ14/1 je špeciálny prípad permutačnej matice. Že takéto matice naozaj súvisia s permutáciami sme videli - lineárne zobrazenie určené touto maticou iba nejakým spôsobom vymieňa súradnice.
Trochu sme sa rozprávali o tom, čo môže pomôcť pri výpočte koreňov charakteristického polynómu resp. pri hľadaní jeho koreňov: viewtopic.php?t=890
V pondelok bolo dekanské voľno.
Povinné cviko (20.4.): Riešili sme prednáškové úlohy 13 a 14.
Z nehviezdičkových úloh sme ako jedinú nestihli PÚ14/5. Pre zaujímavosť môžeme spomenúť, že matica v tejto úlohe je Hadamardova matica rozmeru 4. Takéto matice súvisia s Hadamardovou hypotézou, čo je pomerne známy otvorený problém.
V súvislosti s úlohou o podobnosti matíc sa môžete zamyslieť aj nad tým, či by sme ju vedeli vyriešiť aj bez vety o Jordanovom tvare. Niečo k tomu nájdete aj tu: viewtopic.php?t=655
Matica z úlohy PÚ14/1 je špeciálny prípad permutačnej matice. Že takéto matice naozaj súvisia s permutáciami sme videli - lineárne zobrazenie určené touto maticou iba nejakým spôsobom vymieňa súradnice.
Trochu sme sa rozprávali o tom, čo môže pomôcť pri výpočte koreňov charakteristického polynómu resp. pri hľadaní jeho koreňov: viewtopic.php?t=890