11. prednáška (28.11.)
Organizačné veci:
* Pripomenul som, že budúci týždeň je počas druhej polovice prednášky písomka:
viewtopic.php?t=2014
* Ponúkol som možnosť "náhradnej prednášky" v pondelok 11. december od 14.00. (Nie je povinná - budem tam hovoriť o determinantoch a usporiadam si veci tak, aby sa bez problémov dala sledovať prednáška v štandardnom čase aj ak na túto prednášku neprídete.)
* Aj na "písomkovej poldprednáške" a aj na "náhradnej" resp. "doplnkovej" prednáške budem hovoriť o determinantoch - pričom z tejto témy od vás na skúške nebudem chcieť dôkazy. (Ale budem chcieť, aby ste vedeli definície a vety a vedeli počítať príklady.) A až potom na poslednej prednáške sa vrátim k veciam o sústavách.
* Stručne sme sa rozprávali o termínoch skúšok:
viewtopic.php?t=2015; sľúbil som, že k termínom skúšok aj k priebehu skúšky ešte niečo poviem (a napíšem k tomu aj niečo na fórum).
Inverzná matica. Podmienky, kedy je lineárne zobrazenie injektívne, surjektívne, bijektívne. (Minule sme stihli dokázať časť o injektívnosti.)
Definícia inverznej matice. (Je to vlastne matica inverzného zobrazenia.)
Spomenul (ale nedokazoval) som, že pre štvorcové matice nám stačí vlastne ak je splnená jedna z podmienok uvedených v definícii:
viewtopic.php?t=1368
K matici $A$ existuje inverzná matica práve vtedy, keď $A$ je regulárna matica.
Ešte som spomenul veci ako: $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$, $(A^{-1})^{-1}=A$, $(AB)^T=B^TA^T$, $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$. (Dokázali sme z nich iba prvú rovnosť.)
Izomorfizmus vektorových priestorov. Zadefinovali sme pojem izomorfizmu vektorových priestorov a ukázali sme, že každý konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom $F$ je izomorfný s $F^n$ pre nejaké $n$.
Chvíľu som hovoril niečo o tom, že izomorfizmus vlastne hovorí o tom, že dva vektorové priestory sú "v podstate rovnaké".
Niečo podobné si môžete prečítať tu:
viewtopic.php?t=495
(Izomorfizmus sme pre grupy nedefinovali; ale princíp je podobný.)
Na prednáške nebudem robiť podkapitolu "elementárne riadkové operácie a súčin matíc". Nebudem z nej skúšať dôkazy - ale vedieť o súvise medzi súčinom a ERO sa oplatí. (A budete takéto niečo vidieť na cvičeniach. Je to užitočné jednak preto, že lepšie budete rozumieť súčinu matíc. A súčasne sa takéto veci budú dať použiť v niektorých príkladoch.)
Na tomto spomeniem aj to, že na súčin matíc sa dá pozerať aj takto: V matici $AB$ budú lineárne kombinácie riadkov matice $B$. Matica $A$ nám vlastne hovorí, aké koeficienty mám použiť v týchto lineárnych kombináciách.
Sústavy lineárnych rovníc. Zadefinovali sme základné pojmy a ukázali si maticový zápis sústavy. Množina riešení sa nemení pri elementárnych riadkových operáciách.
Homogénne sústavy. Množina riešení homogénnej sústavy tvorí podpriestor. Ukázali sme si, ako vyzerá báza priestoru riešení. (Zatiaľ som iba napísal ako vyzerá - ale ešte som neukázal, že to je naozaj báza. Na jej základe dostaneme to, že jeho dimenzia je $n-h(A)$; s tým začneme nabudúce.)