Apliktm - prednášky LS 2024/25

[Martin Sleziak]

Sem budem priebežne písať, čo sme stihli na jednotlivých prednáškach. Občas pridám aj nejaké linky na veci týkajúce sa toho, čo sme práve prebrali.

Toto vlákno by som chcel rezervovať naozaj iba na to, že tu budem písať obsah prednášok. Keď budete chcieť na fórum napísať nejakú vec k nejakej konkrétnej veci, ktorá bola na prednáške, založte na to nový topic.

Ak sa chcete pozrieť na to, čo som stihol prebrať po minulé roky:
viewtopic.php?t=1934
viewtopic.php?t=1639
viewtopic.php?t=1144
viewtopic.php?t=1026
viewtopic.php?t=594

[Martin Sleziak]

1. prednáška (16.2.):
Snažil som sa aspoň trochu na začiatku povedať niečo o tom, na aké veci sa Zornova lema a transfinitná indukcia dajú použiť. Ako príklad som použil Cauchyho funkcionálnu rovnicu.

Trochu som si pomáhal analógiou s tým, ako to funguje, keď sa človek začína učiť používať matematickú indukciu ako dôkazovú metódu. Keďže som medziiným spomenul Cauchyho indukciu, tak pridám linku na iný topic na fóre, kde sa takýto typ indukcie spomína: viewtopic.php?t=1642

Dám sem ešte linky na dva články z blogu Tima Gowersa, ktoré sa týkajú zhruba toho, kedy sa dá použiť Zornova lema (a je tam niečo aj o transfinitnej indukcii).

• How to use Zorn's Lemma: blog, tricki
• Just-do-it proofs: blog, tricki

K tomu, že som si ako úvodný príklad vybral práve Cauchyho rovnicu, ma inšpiroval práve tento blog.

Dobre usporiadané množiny. Definícia dobre usporiadanej množiny a to, že na nich funguje indukcia.
V dobre usporiadanej množine pre každý prvok (s výnimkou najväčšieho) existuje nasledovník. Nemusí ale existovať predchodca.
Ukázali sme si pár príkladov dobre usporiadaných množín. (Nerobil som lexikografický súčin dobre usporiadaných množín - ale niekedy sa k nemu asi vrátime.)

[Martin Sleziak]

2. prednáška (27.2.):
Ekvivalenty axiómy výberu. Prešli sme viacero podmienok, o ktorých je jednoduché ukázať, že sú ekvivalentné s axiómou výberu. (Dokázali sme existenciu selektora a jednostranný inverz k surjekcii. V texte je spomenutých ešte pár ďalších.)
Potom sme sformulovali viacero ďalších ekvivalentných tvrdení, ktoré sú tiež ekvivalentné s axiómou výberu, ale tu už budú dôkazy náročnejšie. Konkrétne sú to princíp dobrého usporiadania a Zornova lema a princíp maximality.
Ukázali sme, že z WO vyplýva AC. (To bol vcelku ľahký dôkaz.)
Tiež sme ukázali, že zo ZL vyplýva AC. (Čo bola vlastne prvá ukážka typického dôkazu pomocou Zornovej lemy, na ktorú sme narazili na tejto prednáške.)
Keďže dôkaz je iný ako v texte, tu je aspoň stručný sumár.

Spoiler:

$\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}$Pracovali sme s čiastočne usporiadanou množinou $(\mc P,\subseteq)$, kde
$$\mathcal P=\{A\subseteq\bigcup\mathcal S; (\forall S\in\mc S) |A\cap S|\le 1\},$$
t.j. s množinami, ktoré vyberajú jeden prvok aspoň z niektorých množín systému $\mathcal S$.

Overili sme, že pre každý reťazec $\mathcal R$ v $\mc P$ je jeho zjednotenie $\bigcup\mc R$ opäť prvkom $\mc P$. (Trochu som sa na tomto mieste snažil zdôrazniť, že sme naozaj v dôkaze využili, že $\mc R$ je reťazec.)
Tým sú overené predpoklady Zornovej lemy, a teda existuje nejaký maximálny prvok $V$ v čiastočne usporiadanej množine $(\mc P,\subseteq)$. Ukázali sme, že $V$ potom už musí byť výberová množina, t.j. má s každý $S\in\mc S$ jednoprvkový prienik. (Ukazovali sme to sporom. Ak by pre niektoré $S_0$ bol prienik prázdny, tak by sme vedeli dostať $V'=V\cup\{x_0\}$ také, že $V'\in\mc P$, čo je spor s maximalitou.)

Na konci sme hovorili niečo o tom, či sme v dôkazoch na mieste, kde sme si vybrali (značili) konkrétny prvok $x_0$ s nejakou vlastnosťou používali AC, alebo pri jednom výbere sa dá bez nej aj zaobísť: viewtopic.php?t=1948
(Aj keď o tomto sme hovorili naozaj iba veľmi stručne.)

[Martin Sleziak]

3. prednáška (6.3.):
Ekvivalenty axiómy výberu.
Zaoberali sme sa trochu tým, ako je to s AC, WO, ZL pre prázdnu množinu. (Poučenie, ktoré si treba odniesť: Pri používaní Zornovej lemy si treba dať pozor aj na to, či je neprázdna. Inými slovami, či aj prázdny reťazec má horné ohraničenie.)
Ukázali sme, že ZL $\Rightarrow$ WO. (Dôkaz, že z axiómy výberu vyplýva Zornova lema urobíme, keď budeme mať k dispozícii ordinály a transfinitnú indukciu.)
Dobre usporiadané množiny. Videli sme, že lexikografický súčin DUM je opäť DUM. (A spomenul som, že podobne by sa dal urobiť súčet dobre usporiadaných množín.)
Spomeniem tu aj text P. Zlatoš: O dobrom usporiadaní a axióme výberu (ktorý ste možno videli na inom predmete) - kde je tiež definovaná lexikografická suma.
Spomenul som, že du03 je taká, kde sa dá použiť Zornova lema (na dôkaz porovnateľnosti kardinalít ľubovoľných dvoch množín).