Nájsť barycentrické súradnice bodov v $\mathbb R^3$

[Martin Sleziak]

Zistite, či zadané body $A_0,A_1,A_2,A_3\in\mathbb R^3$ tvoria barycentrický súradnicový systém:
\begin{align*}
A_0&=(1,1,1)\\
A_1&=(2,3,2)\\
A_2&=(1,2,4)\\
A_3&=(2,0,3)
\end{align*}
Nájdite barycentrické súradnice bodu $B=(2,2,4)$. Nájdite barycentrické súradnice bodu $C=\frac12A_0+\frac12B$.

Staršie úlohy na podobnú tému:
viewtopic.php?t=1231
viewtopic.php?t=1081
viewtopic.php?t=858
viewtopic.php?t=621

Riešenie$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}$

Súradnice bodu $B$ môžeme nájsť riešením sústavy, ktorú získame z rovností
\begin{align*}
\lambda_0+\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3&=1\\
\lambda_0A_0+\lambda_1A_1+\lambda_2A_2+\lambda_3A_3&=B
\end{align*}

$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 2 & 2 \\
1 & 3 & 2 & 0 & 2 \\
1 & 2 & 4 & 3 & 4
\end{array}\right)\sim\dots
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 &-\frac12 \\
0 & 1 & 0 & 0 & \frac12 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \frac12 \\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac12
\end{array}\right)
$

Spoiler:

$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 2 & 2 \\
1 & 3 & 2 & 0 & 2 \\
1 & 2 & 4 & 3 & 4
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 1 &-1 & 1 \\
0 & 1 & 3 & 2 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 &-3 &-1 \\
0 & 0 & 3 & 1 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 &-3 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 10& 5
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & \frac12 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \frac12 \\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac12
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 &-\frac12 \\
0 & 1 & 0 & 0 & \frac12 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \frac12 \\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac12
\end{array}\right)
$

$$B=-\frac12A_0+\frac12A_1+\frac12A_2+\frac12A_3$$

Súčasne vidíme, že táto sústava bude mať práve jedno riešenie pre ľubovoľný bod, a teda skutočne ide o barycentrický súradnicový systém.

*****

Iná možnosť je skúsiť najprv vypočítať afinné súradnice, t.j. vyjadriť $\vekt{A_0B}$ ako lineárnu kombináciu $\vekt{A_0A_1}$, $\vekt{A_0A_2}$ a $\vekt{A_0A_3}$.
\begin{align*}
\vekt{A_0A_1}&=(1,2,1)\\
\vekt{A_0A_2}&=(0,1,3)\\
\vekt{A_0A_3}&=(1,-1,2)\\
\vekt{A_0B}&=(1,1,3)
\end{align*}

$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 1 \\
2 & 1 &-1 & 1 \\
1 & 3 & 2 & 3
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & \frac12 \\
0 & 1 & 0 & \frac12 \\
0 & 0 & 1 & \frac12
\end{array}\right)
$

Spoiler:

\begin{align*}
\vekt{A_0A_1}&=(1,2,1)\\
\vekt{A_0A_2}&=(0,1,3)\\
\vekt{A_0A_3}&=(1,-1,2)\\
\vekt{A_0B}&=(1,1,3)
\end{align*}
$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 1 \\
2 & 1 &-1 & 1 \\
1 & 3 & 2 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 &-3 &-1 \\
0 & 3 & 1 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 &-3 &-1 \\
0 & 0 & 10& 5
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & \frac12 \\
0 & 1 & 0 & \frac12 \\
0 & 0 & 1 & \frac12
\end{array}\right)
$

Teda vidíme, že $\vekt{A_0A_1},\vekt{A_0A_2},\vekt{A_0A_3}$ tvoria afinný súradnicový systém. A tiež máme vyjadrenie
\begin{align*}
\vekt{A_0B}&=\frac12\vekt{A_0A_1}+\frac12\vekt{A_0A_2}+\frac12\vekt{A_0A_3}\\
&=-\frac12\vekt{A_0A_0}+\frac12\vekt{A_0A_1}+\frac12\vekt{A_0A_2}+\frac12\vekt{A_0A_3}
\end{align*}
(Koeficient pri vektore $\vekt{A_0A_0}=\vec0$ sme doplnili tak, aby súčet koeficientov dával nulu.)
Teda barycentrické súradnice sú $(-\frac12,\frac12,\frac12,\frac12)$.

To isté vieme odvodiť aj trochu inak. Dostali sme:
\begin{align*}
B-A_0&=\frac12(A_1-A_0)+\frac12(A_2-A_0)+\frac12(A_3-A_0)\\
B&=-\frac12A_0+\frac12A_1+\frac12A_2+\frac12A_3
\end{align*}


*****

Ak už máme vypočítané $B=-\frac12A_0+\frac12A_1+\frac12A_2+\frac12A_3$, tak pre bod $C$ dostaneme
\begin{align*}
C&=\frac12A_0+\frac12B\\
&=\frac12A_0+\frac12\left(-\frac12A_0+\frac12A_1+\frac12A_2+\frac12A_3\right)\\
&=\frac14A_0+\frac14A_1+\frac14A_2+\frac14A_3
\end{align*}
Bod $C$ je presne ťažisko štvorstena $A_0A_1A_2A_3$.

Samozrejme, mohli by sme postupovať aj tak, že vyčíslime bod $C=(\frac32,\frac32,\frac52)$ a potom riešime sústavu - podobne, ako sme to urobili pre bod $B$.

[Martin Sleziak]

Komentáre k niektorým riešeniam

Pracujeme s trojrozmerným priestorom. Ak sa rozprávame o afinných súradniciach, tak tam budú tri čísla. Pri barycentrických súradniciach potrebujeme štyri čísla. (Chceme daný bod vyjadriť ako barycentrickú kombináciu štyroch bodov.)

Ak ste nejakým spôsobom už skontrolovali, že ide o barycentrický súradnicový systém, tak pre každý bod (a špeciálne aj pre body $B$ a $C$) sú ich barycentrické súradnice jednoznačne určené. Nemôžete teda pre ne dostať viacero riešení.