Re: Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2022/23
Posted: Tue Dec 06, 2022 4:38 pm
12. týždeň (6.12.)
Počítali sme príklady z 10lzob.pdf.
Jadro a obraz. Pozreli sme sa na úlohu ako vypočítať pre danú maticu jadro a obraz príslušného lineárneho zobrazenia - úloha 4.1. Úloha takéhoto typu je na fóre vypočítané napríklad tu: viewtopic.php?t=795
Pritom sme pripomenuli, že pre lineárne zobrazenie $f\colon V\to W$ platí $\dim(\operatorname{Ker} f)+\dim(\operatorname{Im} f)=\dim(V)$.
Inverzná matica. Ukázali sme si, ako hľadať inverznú maticu (úloha 5.1). Videli sme, že pri výpočte inverznej matice sa dá skúška urobiť aj uprostred výpočtu: viewtopic.php?t=531
Vyrátali sme jeden príklad na výpočet inverznej matice pre maticu obsahujúca parameter (úloha 5.5): viewtopic.php?t=1020 - konkrétne pre maticu $
A=\begin{pmatrix}
a & 1 & 1 & 1 \\
1 & a & 1 & 1 \\
1 & 1 & a & 1 \\
1 & 1 & 1 & a \\
\end{pmatrix}
$.
Tu sme videli postup, pri ktorom sme inverznú maticu dostali z rovnosti $A^2+bA+cI=0$ pre vhodné koeficienty $b$, $c$; t.j. vlastne na základe toho, že nejaký polynomický výraz po "dosadení" matice $A$ dáva nulu. Tak som na tomto mieste spomenul, že budúci semester budeme vidieť Cayley-Hamiltonovu vetu, z ktorej vyplýva, že pre maticu rozmerov $n\times n$ existuje polynóm stupňa nanajvýš $n$, ktorý ju vynuluje. (S tým, čo ste sa naučili tento semester, by ste mali byť schopný zdôvodniť, že určite existuje taký polynóm stupňa nanajvýš $n^2$.)
Počítali sme príklady z 10lzob.pdf.
Jadro a obraz. Pozreli sme sa na úlohu ako vypočítať pre danú maticu jadro a obraz príslušného lineárneho zobrazenia - úloha 4.1. Úloha takéhoto typu je na fóre vypočítané napríklad tu: viewtopic.php?t=795
Pritom sme pripomenuli, že pre lineárne zobrazenie $f\colon V\to W$ platí $\dim(\operatorname{Ker} f)+\dim(\operatorname{Im} f)=\dim(V)$.
Inverzná matica. Ukázali sme si, ako hľadať inverznú maticu (úloha 5.1). Videli sme, že pri výpočte inverznej matice sa dá skúška urobiť aj uprostred výpočtu: viewtopic.php?t=531
Vyrátali sme jeden príklad na výpočet inverznej matice pre maticu obsahujúca parameter (úloha 5.5): viewtopic.php?t=1020 - konkrétne pre maticu $
A=\begin{pmatrix}
a & 1 & 1 & 1 \\
1 & a & 1 & 1 \\
1 & 1 & a & 1 \\
1 & 1 & 1 & a \\
\end{pmatrix}
$.
Tu sme videli postup, pri ktorom sme inverznú maticu dostali z rovnosti $A^2+bA+cI=0$ pre vhodné koeficienty $b$, $c$; t.j. vlastne na základe toho, že nejaký polynomický výraz po "dosadení" matice $A$ dáva nulu. Tak som na tomto mieste spomenul, že budúci semester budeme vidieť Cayley-Hamiltonovu vetu, z ktorej vyplýva, že pre maticu rozmerov $n\times n$ existuje polynóm stupňa nanajvýš $n$, ktorý ju vynuluje. (S tým, čo ste sa naučili tento semester, by ste mali byť schopný zdôvodniť, že určite existuje taký polynóm stupňa nanajvýš $n^2$.)