msleziak.com

9. prednáška (14.11.)
Definícia hodnosti matice. Pre RTM je hodnosť rovná počtu nenulových riadkov.
Pripomenuli sme veci z minulej prednášky - prešli sme aj príklad 5.2.16, ktorý ilustruje posledný dôkaz z minulej prednášky.
Ekvivalentné podmienky pre riadkovú ekvivalenciu matíc: Matice $A$, $B$ sú riadkovo ekvivalentné $\Leftrightarrow$ sú riadkovo ekvivalentné s tou istou redukovanou trojuholníkovou maticou $\Leftrightarrow$ $V_A=V_B$.
Lineárne zobrazenia. Definícia, príklady, ekvivalentné podmienky. Platí $f(\vec0)=\vec0$.
Lineárne zobrazenie je jednoznačne určené obrazmi bázových vektorov. (Základná veta o lineárnych zobrazeniach.)
Matica lineárneho zobrazenia. (V texte je aj vyriešený príklad na nájdenie matice lineárneho zobrazenia - úloha 5.3.1. Na prednáške sme taký príklad nerobili, budeme takéto niečo robiť na cvičení.)
Zloženie dvoch lineárnych zobrazení je opäť lineárne.
Na jednom konkrétnom príklade sme si ukázali, ako sa dá dostať matica zloženého zobrazenia. (Toto budeme chcieť nabudúce urobiť všeobecne - dostaneme sa takým spôsobom k definícii súčinu matíc.)

Ako jeden príklad lineárneho zobrazenia sme použili otočenie v rovine o uhol $\pi/2$.
Spomeniem aj to, že keby sme chceli predpis pre rotáciu v rovine o ľubovoľný uhol (nie iba $\frac\pi2$), tak ho vieme nájsť napríklad pomocou komplexných čísel - také niečo ste možno niektorí videli. A tiež že tento predpis budeme vedieť nájsť vcelku ľahko, keď už vieme základnú vetu o lineárnych zobrazeniach - viď. aj príklad 5.4.5 v poznámkach.

10. prednáška (21.11.)
Operácie s maticami. Matice sa dajú sčitovať, násobiť skalárom.
$M_{m,n}(F)$ s týmito operáciami tvorí vektorový priestor (dimenzie $mn$).
Definícia štvorcovej matice a jednotkovej matice.
Súčin matíc.
Ako vyzerá matica zloženého zobrazenia.
Definícia súčinu matíc a súvis so skladaním lineárnych zobrazení. Asociatívnosť a ďalšie vlastnosti (distributívnosť, násobenie jednotkovou maticou).
Vyjadrenie lineárneho zobrazenia ako $f(\vec\alpha)=\vec\alpha A_f$.

Nestihol som urobiť príklad týkajúci sa zloženia dvoch rotácií. (V texte na webe je to príklad 5.4.5.) V tomto príklade dostaneme súčtové vzorce pre kosínus a sínus.
Niečo podobné ste už možno videli pri komplexných číslach.
Nie je to náhoda - v skutočnosti sa komplexné čísla dajú zaviesť ako matice: viewtopic.php?t=571

Inverzná matica.
Zobrazenie $f^{-1}$ je lineárne, ak $f$ je lineárne a bijektívne.
Podmienky, kedy je lineárne zobrazenie injektívne, surjektívne, bijektívne. (Sformuloval som všetky tri podmienky, ale dokázať som zatiaľ stihol iba výsledok o injektívnych zobrazeniach.)

K tomu, čo ste sa pýtali na konci prednášky (pri dôkaze lemy 5.5.2): Ak vektory sú lineárne nezávislé, to ešte nemusí nutne znamenať, že tvoria bázu. V situácii z tejto lemy by sme takéto niečo dostali, ak by sme mali zadané, že $\dim(W)=n$.
Presne takýto typ úvahy neskôr použijeme - ak sa pozriete na dôsledok 5.5.4 v texte na stránke.

11. prednáška (28.11.)
Organizačné veci:
* Pripomenul som, že budúci týždeň je počas druhej polovice prednášky písomka: viewtopic.php?t=2014
* Ponúkol som možnosť "náhradnej prednášky" v pondelok 11. december od 14.00. (Nie je povinná - budem tam hovoriť o determinantoch a usporiadam si veci tak, aby sa bez problémov dala sledovať prednáška v štandardnom čase aj ak na túto prednášku neprídete.)
* Aj na "písomkovej poldprednáške" a aj na "náhradnej" resp. "doplnkovej" prednáške budem hovoriť o determinantoch - pričom z tejto témy od vás na skúške nebudem chcieť dôkazy. (Ale budem chcieť, aby ste vedeli definície a vety a vedeli počítať príklady.) A až potom na poslednej prednáške sa vrátim k veciam o sústavách.
* Stručne sme sa rozprávali o termínoch skúšok: viewtopic.php?t=2015; sľúbil som, že k termínom skúšok aj k priebehu skúšky ešte niečo poviem (a napíšem k tomu aj niečo na fórum).

Inverzná matica. Podmienky, kedy je lineárne zobrazenie injektívne, surjektívne, bijektívne. (Minule sme stihli dokázať časť o injektívnosti.)
Definícia inverznej matice. (Je to vlastne matica inverzného zobrazenia.)
Spomenul (ale nedokazoval) som, že pre štvorcové matice nám stačí vlastne ak je splnená jedna z podmienok uvedených v definícii: viewtopic.php?t=1368
K matici $A$ existuje inverzná matica práve vtedy, keď $A$ je regulárna matica.
Ešte som spomenul veci ako: $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$, $(A^{-1})^{-1}=A$, $(AB)^T=B^TA^T$, $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$. (Dokázali sme z nich iba prvú rovnosť.)

Izomorfizmus vektorových priestorov. Zadefinovali sme pojem izomorfizmu vektorových priestorov a ukázali sme, že každý konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom $F$ je izomorfný s $F^n$ pre nejaké $n$.
Chvíľu som hovoril niečo o tom, že izomorfizmus vlastne hovorí o tom, že dva vektorové priestory sú "v podstate rovnaké".
Niečo podobné si môžete prečítať tu: viewtopic.php?t=495
(Izomorfizmus sme pre grupy nedefinovali; ale princíp je podobný.)

Na prednáške nebudem robiť podkapitolu "elementárne riadkové operácie a súčin matíc". Nebudem z nej skúšať dôkazy - ale vedieť o súvise medzi súčinom a ERO sa oplatí. (A budete takéto niečo vidieť na cvičeniach. Je to užitočné jednak preto, že lepšie budete rozumieť súčinu matíc. A súčasne sa takéto veci budú dať použiť v niektorých príkladoch.)
Na tomto spomeniem aj to, že na súčin matíc sa dá pozerať aj takto: V matici $AB$ budú lineárne kombinácie riadkov matice $B$. Matica $A$ nám vlastne hovorí, aké koeficienty mám použiť v týchto lineárnych kombináciách.

Sústavy lineárnych rovníc. Zadefinovali sme základné pojmy a ukázali si maticový zápis sústavy. Množina riešení sa nemení pri elementárnych riadkových operáciách.
Homogénne sústavy. Množina riešení homogénnej sústavy tvorí podpriestor. Ukázali sme si, ako vyzerá báza priestoru riešení. (Zatiaľ som iba napísal ako vyzerá - ale ešte som neukázal, že to je naozaj báza. Na jej základe dostaneme to, že jeho dimenzia je $n-h(A)$; s tým začneme nabudúce.)

12. prednáška (5.12.)
Dnes bola cez druhú polovicu prednášky písomka - v prvej časti som povedal stručne niečo o determinantoch.
Stále platí, že najbližší pondelok je (nepovinná) prednáška o determinantoch.
Na fóre je stručne napísané niečo k forme a priebehu skúšky: viewtopic.php?t=2019
Determinanty.
Neskôr sa vrátim trochu detailnejšie ku geometrickému významu determinantu (až na znamienko to je plocha resp. objem) - ale začal som priamo definíciou.
Definícia determinantu (s tým súvisela definícia inverzie pre permutáciu). Pozreli sme sa na to, ako to vyjde pre matice $2\times2$ a $3\times3$. (Neskôr uvidíme, že sme dostali to isté, čo nám vyšlo pri výpočte plochy rovnobežníka resp. objemu rovnobežnostena.)
Ukázali sme si Sarrusovo pravidlo.
Transponovaná matica má rovnaký determinant ako pôvodná, t.j $|A|=|A^T|$.
Riadkové operácie a determinant.
Zatiaľ sme iba ukázali, že ak niektorý riadok matice vynásobíme konštantou $c$, tak aj determinant bude $c$-násobok.

Nepovinná prednáška o determinantoch (11.12.)
Znovu pripomeniem, že túto časť budem skúšať bez dôkazov - ale azda aj tak nie je na škodu, že ste k niektorým veciam videli dôkaz.
Plocha a objem.
Pozreli sme sa na to, že so stredoškolskými vedomosťami (ak poznáme vektorový súčin) vieme vypočítať plochu rovnobežníka a objem rovnobežnostena. Zistili sme, že nám vyšli presne tie isté výrazy, ako dostaneme z definície determinantu pre matice $2\times2$ a $3\times3$. (A z vecí, ktoré si o determinantoch postupne povieme, by malo byť vidieť, že to nie je náhoda a aj to, že toto je v nejakom zmysle prirodzené zovšeobecnenie objemu pre $n$-rozmerný priestor.)
Niečo o geometrickom význame determinantu je napísané aj tu: viewtopic.php?t=555 a viewtopic.php?t=1621
Keď je reč o geometrickom význame determinantu, tak spomeniem toto pekné video: The determinant | Essence of linear algebra, chapter 6
Youtube kanál: 3Blue1Brown (Wikipédia: 3Blue1Brown) má veľa zaujímavých videí z rôznych oblastí matematiky, v súvislosti s týmto predmetom vás môže zaujímať playlist Essence of linear algebra.
Viaceré veci, ktoré sme preberali, sú tam pekne vizualizované - môže vám to pomôcť získať lepšiu geometrickú predstavu o týchto témach.
Determinant a ERO.
Videli sme, ako jednotlivé ERO (resp. ESO) menia determinant a ako sa to dá použiť na výpočet determinantov.
* Vynásobenie riadku konštantou $c$ znamená, že determinant bude $c$ násobný (dôkaz bol minule). Ako dôsledky dostaneme, ako to vyzerá pri vynásobení celej matice konštantou $c$ a tiež to, že nulový riadok znamená nulový determinant.
* Dva rovnaké riadky znamenajú nulový determinant (zatiaľ bez dôkazu - dá sa ukázať pomocou Laplaceovho rozvoja).
* Determinant, kde je v niektorom riadku súčet riadkov (multilineárnosť).
* Pripočítanie $c$-násobku riadka k inému nemení determinant.
* Výmena riadkov mení determinant na opačný.
* Determinant hornej trojuholníkovej matice je súčin diagonálnych prvkov.
Stručne sme spomenuli, že z týchto vecí tiež vidno, že determinant (až na znamienko) ráta plochu. (Aj bez toho, aby sme sa odvolávali na vektorový súčin.)

Determinant súčinu matíc.
Zdôvodnili sme, že $\det(AB)=\det(A)\det(B)$; ukázali sme si dôkaz používajúci matice elementárnych riadkových operácií.

Posledná prednáška (12.12.)
Organizačné veci, o ktorých sme dnes hovorili:
* Termíny: viewtopic.php?t=2015
* Priebeh skúšky: viewtopic.php?t=2019

Homogénne sústavy. Ukázali sme, že dimenzia priestoru riešení homogénnej sústavy je $n-h(A)$. (Nerobil som vetu 5.7.11, ktorá hovorí, že každý podpriestor $F^n$ je množinou riešení nejakej sústavy. Nebudem ju ani skúšať.)
Hodnosť transponovanej matice. Dokázali sme, že $h(A)=h(A^T)$.
Nehomogénne sústavy. Dokázali sme Frobeniovu vetu a vetu o súvise riešení homogénnej a nehomogénnej sústavy.

Jadro a obraz. Túto časť som na prednáške preskočil. Na skúške od vás budem chcieť aby ste z nej vedeli: Definíciu jadra a obrazu. Ako sa pomocou jadra a obrazu dá charakterizovať injektívnosť a surjektívnosť. (Tu sú dôkazy ľahké, takže tie si môžete pozrieť.) A bez dôkazu vetu o dimenzii jadra a obrazu, t.j. vetu ktorá hovorí, že pre lineárne zobrazenie $f\colon V\to W$ platí $\dim(V)=\dim(\operatorname{Ker}f)+\dim(\operatorname{Im}f)$.

Determinanty.
Vlastne som iba stručne povedal čo je Laplaceov rozvoj Laplaceov rozvoj.[ Zadefinovali sme algebraický doplnok a povedali, ako sa dá vyjadriť pomocou matice rozmerov $(n-1)\times(n-1)$. (Bez dôkazu - aj keď som povedal ako to dokážeme pre prípad $r=s=n$; všeobecný prípad som však už vynechal.) Z toho dostávame Laplaceov rozvoj podľa riadku/stĺpca.
Toto nám dáva jednu možnosť ako počítať determinanty vyšších rozmerov - výpočtovo je však efektívnejší postup používajúci ERO a ESO. (Laplaceov rozvoj nám pomôže najmä pri niektorých dôkazoch. Pri výpočtoch sa hodí napríklad vtedy, keď niektorý riadok alebo stĺpec obsahuje veľa núl.)

Pripomeniem, že na stránke je linka, kde je nejaký stručný prehľad o determinaotch a pár vyriešených úloh: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak ... iesdet.pdf
Pár vecí týkajúcich sa výpočtov determinantov je aj na fóre. viewtopic.php?t=1372
A niekoľko vyriešených príkladov tu nájdete, keď odkryjem študentské riešenia z predošlých rokov.

Pridám aj pár liniek na veci tu na fóre - ale v časti k inému predmetu - ktoré sa tiež týkajú determinantov:
viewtopic.php?t=1779
viewtopic.php?t=1497
viewtopic.php?t=853
viewtopic.php?t=826
viewtopic.php?t=603
viewtopic.php?t=577