Sem budem písať, čo sme stihli na jednotlivých cvičeniach. (Môže byť užitočné, ak sa k tomu chcete vrátiť alebo ak ste chýbali na cviku.)
Tento topic by som chcel používať iba na tento účel. Takže ak budete mať otázky k niečomu, čo bolo na cviku, tak skúste v inom topicu. (Buď založiť nový alebo v nejako už existujúcom, ak nájdete taký, kde sa vaša otázka hodí.)
Síce cvičenia určite nebudú presne totožné ako v minulosti, ale budú do značnej miery podobné. Ak by ste sa chceli pozrieť, čo sa robilo po minulé roky:
viewtopic.php?t=1027
viewtopic.php?t=840
viewtopic.php?t=593
Cvičenia LS 2017/18
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5519
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2017/18
1. týždeň
Výberové cviko (20.2.):
Skalárne súčiny, ortogonálne projekcie. Z 00skal.pdf sme stihli úlohy 1e, 3, 4
Viacero úloh z tejto témy nájdete s riešeniami na fóre: viewtopic.php?t=993
Povinné cviko (22.2.):
Determinanty blokových matíc. Pozreli sme sa na to ako funguje súčin blokových matíc. To sme potom použili na odvodenie nejakých vecí o determinantoch.
Z 00deter.pdf sme sa pozreli na úlohy 6 a 7. Tiež sme si našli kontrapríklady, ktoré ukázali, že vo všeobecnosti sa dereminant $\det
\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D \\
\end{pmatrix}
$ nemusí rovnať $\det(A)\det(D)-\det(B)\det(C)$ ani $\det(AD-CB)$. Niečo o tom je aj: viewtopic.php?t=918
Dohodli sme sa, že budú týždeň bude malá písomka s témou: ortogonálny doplnok, ortogonálna projekcia matica projekcie - podobné veci ako sme riešili na utorkovom cviku. Túto písomku si ale napíšeme vo štvrtok.
Výberové cviko (20.2.):
Skalárne súčiny, ortogonálne projekcie. Z 00skal.pdf sme stihli úlohy 1e, 3, 4
Viacero úloh z tejto témy nájdete s riešeniami na fóre: viewtopic.php?t=993
Povinné cviko (22.2.):
Determinanty blokových matíc. Pozreli sme sa na to ako funguje súčin blokových matíc. To sme potom použili na odvodenie nejakých vecí o determinantoch.
Z 00deter.pdf sme sa pozreli na úlohy 6 a 7. Tiež sme si našli kontrapríklady, ktoré ukázali, že vo všeobecnosti sa dereminant $\det
\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D \\
\end{pmatrix}
$ nemusí rovnať $\det(A)\det(D)-\det(B)\det(C)$ ani $\det(AD-CB)$. Niečo o tom je aj: viewtopic.php?t=918
Dohodli sme sa, že budú týždeň bude malá písomka s témou: ortogonálny doplnok, ortogonálna projekcia matica projekcie - podobné veci ako sme riešili na utorkovom cviku. Túto písomku si ale napíšeme vo štvrtok.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5519
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2017/18
2. týždeň
Utorkové cviko: (27.2.)
Z 01afin.pdf sme sa pozreli na príklad 3 z časti o afinných priestoroch. Tiež sme sa pozreli na to, že tento jednudchý afinný priestor (riešenia jednej rovnice s tromi neznámymi) je izomorfný s $(\mathbb R^2,\mathbb R^2)$ a ukázali, že $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_2)$ v tomto prípade funguje ako izomorfizmus. Okrem toho sme sa stihli pozrieť na úlohu 2 z časti o afinných zobrazeniach - afinné zobrazenie je jednoznačne určené, ak vieme kam sa zobrazí bod a vektory určujúce afinný súradnicový systém.
Štvrtkové cviko: (1.3.)
Po písomke sme sa pozreli na detailné zdôvodenie toho, že ťažisko trojuholníka sa dá ako barycentrická kombinácia vyjadriť v tvare $\frac13A+\frac13B+\frac13C$.
Potom sme sa trochu rozprávali o tom, čo vlastne znamenajú barycentrické súradnice. Videli sme napríklad, že ak sa pozeráme iba na nezáporné hodnoty, tak dostávame body ležiace na danej úsečke alebo vnútri daného trojuholníka. Tiež sme videli, že koeficienty barycentrickej kombinácie v takom prípade vyjadrujú pomer časti úsečky určenej týmto boom k celej úsečke, resp. pri troch bodoch pomer plochy trojuholníka určené stranou a bodom k celému trojuholníku.
Piatkové cviko: (2.3.)
Tento týždeň bolo cvičenie v piatok - niekoľko piatkov počas semestra má slúžiť ako náhrada za 1. a 8. máj.
Stále sme zostali pri Z 01afin.pdf
Riešili sme úlohu 1 z časti afinné a barycentrické súradnice. Táto úloha vlastne súvisí s tým, že afinný súradnicový systém pre n-rozmerný afinný priestor určuje afinný izomorfizmus medzi týmto priestorom a $(\mathbb R^n,\mathbb R^n)$.
Potom sme sa pozreli na úlohu 4 v tejto časti, kde bolo treba zistiť barycentrické súradnice daného bodu a tiež či zadané body tvoria barycentrický súradnicový systém.
Stručne sme si na konci povedali, že z matice sústavy, ktorá nám tam vyšla vlastne vieme zistiť, či zadané body ležia na jednej priamke (v dvojrozmernom prípade) v jednej rovine (v $\mathbb R^3$) a pod. Dostaneme tak kritérium z úlohy 7: Body $A\equiv(a_1,a_2)$, $B\equiv(b_1,b_2)$, $C\equiv(c_1,c_2)$ ležia na jednej priamke práve vtedy keď
$$\det
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{pmatrix}=0.
$$
Utorkové cviko: (27.2.)
Z 01afin.pdf sme sa pozreli na príklad 3 z časti o afinných priestoroch. Tiež sme sa pozreli na to, že tento jednudchý afinný priestor (riešenia jednej rovnice s tromi neznámymi) je izomorfný s $(\mathbb R^2,\mathbb R^2)$ a ukázali, že $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_2)$ v tomto prípade funguje ako izomorfizmus. Okrem toho sme sa stihli pozrieť na úlohu 2 z časti o afinných zobrazeniach - afinné zobrazenie je jednoznačne určené, ak vieme kam sa zobrazí bod a vektory určujúce afinný súradnicový systém.
Štvrtkové cviko: (1.3.)
Po písomke sme sa pozreli na detailné zdôvodenie toho, že ťažisko trojuholníka sa dá ako barycentrická kombinácia vyjadriť v tvare $\frac13A+\frac13B+\frac13C$.
Potom sme sa trochu rozprávali o tom, čo vlastne znamenajú barycentrické súradnice. Videli sme napríklad, že ak sa pozeráme iba na nezáporné hodnoty, tak dostávame body ležiace na danej úsečke alebo vnútri daného trojuholníka. Tiež sme videli, že koeficienty barycentrickej kombinácie v takom prípade vyjadrujú pomer časti úsečky určenej týmto boom k celej úsečke, resp. pri troch bodoch pomer plochy trojuholníka určené stranou a bodom k celému trojuholníku.
Piatkové cviko: (2.3.)
Tento týždeň bolo cvičenie v piatok - niekoľko piatkov počas semestra má slúžiť ako náhrada za 1. a 8. máj.
Stále sme zostali pri Z 01afin.pdf
Riešili sme úlohu 1 z časti afinné a barycentrické súradnice. Táto úloha vlastne súvisí s tým, že afinný súradnicový systém pre n-rozmerný afinný priestor určuje afinný izomorfizmus medzi týmto priestorom a $(\mathbb R^n,\mathbb R^n)$.
Potom sme sa pozreli na úlohu 4 v tejto časti, kde bolo treba zistiť barycentrické súradnice daného bodu a tiež či zadané body tvoria barycentrický súradnicový systém.
Stručne sme si na konci povedali, že z matice sústavy, ktorá nám tam vyšla vlastne vieme zistiť, či zadané body ležia na jednej priamke (v dvojrozmernom prípade) v jednej rovine (v $\mathbb R^3$) a pod. Dostaneme tak kritérium z úlohy 7: Body $A\equiv(a_1,a_2)$, $B\equiv(b_1,b_2)$, $C\equiv(c_1,c_2)$ ležia na jednej priamke práve vtedy keď
$$\det
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{pmatrix}=0.
$$
-
Martin Sleziak
- Posts: 5519
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2017/18
3. týždeň
Utorkové cviko: (6.3.)
Prešli sme niektoré prednáškové úlohy, konkrétne:
* PU3/1: $(Y-X)+(X-Z)=Y-Z$; $X-X=\vec0$ a $(X+\vec{a})-(Y+\vec{b})=(X-Y)+\vec{a}-\vec{b}$
* PU1/4: Ak $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, tak $A$, $B$, $C$, $D$ ležia na jednej priamke alebo v jednej rovine (alebo sa rovnajú)
* PU2/4: Inverzné zobrazenie k afinnému izomorfizmu je opäť afinný izomorfizmus.
Popritom sme si pripomenuli obe definície afinného priestoru, pozreli sme sa na definíciu afinného podpriestoru. Tiež sme videli (aspoň na konkrétnom príklade), že ak poznám bodovú zložku afinného podpriestoru, tak vektorová zložka už je jednoznačne určená.
Štvrtkové cviko: (8.3.)
Riešili sme prednáškové úlohy. Konkrétne:
* PU3/5: Afinný izomorfizmus zobrazí barycentrický súradnicový systém na barycentrický súradnicový systém.
* PU4/2 O vyjadrení afinných súradníc z barycentrických.
* PU5/1 Vzájomná poloha dvoch zadaných rovín. Hoci to nebolo súčasťou úlohy, pozreli sme sa aj na to, ako z všeobecného vyjadrenia nájsť parametrické, ako z parametrického nájsť všeobecné. (Pre tento smer sme si ukázali dva spôsoby - jeden je vyjadrenie parametrov a dosadenie do ostatných rovníc, čo je v podstate postup z dôkazu z prednášky. Druhý je taký, že najprv hľadáme homogénny systém, ktorého množina riešení je vektorová zložka a potom dopočítame pravé strany dosadením niektorého bodu.)
* PU4/3 Vyjadriť parametricky rovinu zadanú 3 bodmi, priamku zadanú 2 bodmi; nájsť ich prienik.
K úlohe o barycentrickej kombinácii barycentrických kombinácií: viewtopic.php?t=617
Utorkové cviko: (6.3.)
Prešli sme niektoré prednáškové úlohy, konkrétne:
* PU3/1: $(Y-X)+(X-Z)=Y-Z$; $X-X=\vec0$ a $(X+\vec{a})-(Y+\vec{b})=(X-Y)+\vec{a}-\vec{b}$
* PU1/4: Ak $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, tak $A$, $B$, $C$, $D$ ležia na jednej priamke alebo v jednej rovine (alebo sa rovnajú)
* PU2/4: Inverzné zobrazenie k afinnému izomorfizmu je opäť afinný izomorfizmus.
Popritom sme si pripomenuli obe definície afinného priestoru, pozreli sme sa na definíciu afinného podpriestoru. Tiež sme videli (aspoň na konkrétnom príklade), že ak poznám bodovú zložku afinného podpriestoru, tak vektorová zložka už je jednoznačne určená.
Štvrtkové cviko: (8.3.)
Riešili sme prednáškové úlohy. Konkrétne:
* PU3/5: Afinný izomorfizmus zobrazí barycentrický súradnicový systém na barycentrický súradnicový systém.
* PU4/2 O vyjadrení afinných súradníc z barycentrických.
* PU5/1 Vzájomná poloha dvoch zadaných rovín. Hoci to nebolo súčasťou úlohy, pozreli sme sa aj na to, ako z všeobecného vyjadrenia nájsť parametrické, ako z parametrického nájsť všeobecné. (Pre tento smer sme si ukázali dva spôsoby - jeden je vyjadrenie parametrov a dosadenie do ostatných rovníc, čo je v podstate postup z dôkazu z prednášky. Druhý je taký, že najprv hľadáme homogénny systém, ktorého množina riešení je vektorová zložka a potom dopočítame pravé strany dosadením niektorého bodu.)
* PU4/3 Vyjadriť parametricky rovinu zadanú 3 bodmi, priamku zadanú 2 bodmi; nájsť ich prienik.
K úlohe o barycentrickej kombinácii barycentrických kombinácií: viewtopic.php?t=617
-
Martin Sleziak
- Posts: 5519
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2017/18
4. týždeň
Utorkové cviko: (13.3.)
Rátali sme nejaké úlohy na vzájomné polohy afinných podpriestorov, konkrétne úlohy 1b, 5, 7 z 02vzaj.pdf.
Budúci týždeň na tomto cviku bude malá písomka - príklady budú na témy afinné/barycentrické súradnice, parametrické/všeobecné vyjadrenie afinného podpriestoru.
Štvrtkové cviko: (15.3.)
Zopakovali sme nejaké veci o zmene súradníc a prerátali prednáškové úlohy, ktoré sa tykajú tejto témy (PÚ 6/2,3).
Urobili sme PÚ6/4 a zopakovali pri tom kedy je báza klane/záporne orientovaná.
Robili sme aj úlohu PÚ7/4, ktorú sme už nestihli poriadne dopočítať. (Môžeme si tiež všimnúť že stred medzi dvoma bodmi ktoré nám v tejto úlohe vyjdú je presne kolmý priemet.)
Utorkové cviko: (13.3.)
Rátali sme nejaké úlohy na vzájomné polohy afinných podpriestorov, konkrétne úlohy 1b, 5, 7 z 02vzaj.pdf.
Budúci týždeň na tomto cviku bude malá písomka - príklady budú na témy afinné/barycentrické súradnice, parametrické/všeobecné vyjadrenie afinného podpriestoru.
Štvrtkové cviko: (15.3.)
Zopakovali sme nejaké veci o zmene súradníc a prerátali prednáškové úlohy, ktoré sa tykajú tejto témy (PÚ 6/2,3).
Urobili sme PÚ6/4 a zopakovali pri tom kedy je báza klane/záporne orientovaná.
Robili sme aj úlohu PÚ7/4, ktorú sme už nestihli poriadne dopočítať. (Môžeme si tiež všimnúť že stred medzi dvoma bodmi ktoré nám v tejto úlohe vyjdú je presne kolmý priemet.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5519
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2017/18
5. týždeň
Utorkové cviko: (20.3.)
Pozreli sme sa na nejaké príklady na vzdialenosť - konkrétne 1, 2a, 2b z 04vzdial.pdf.
Napíšem aj sem, že keď budeme mať prerátané príklady na vzdialenosť, tak máme v podstate prebraté veci na prvú písomku z povinného cvika.
Viacero úloh na vzdialenosti sa dá nájsť vyriešených na fóre - napríklad:
viewtopic.php?t=623
viewtopic.php?t=628
viewtopic.php?t=870
viewtopic.php?t=1051
viewtopic.php?t=1076
Štvrtkové cviko: (22.3.)
Písali sme písomku, po nej sme sa stihli ešte pozrieť na nejaké prednáškové úlohy. Konkrétne PU8/4 (vzdialenosť bodu od roviny v 4-rozmernom priestore; túto úlohu sme zrátali dvoma spôsobmi - raz tak že sme našli kolmý priemet a raz tak že sme vyjadrili rovinu ako prienik normálovo kolmých nadrovín a zrátali vzdialenosti od nich) a PU8/2 (bod symetrický k danému bodu vzhľadom na danú nadrovinu; opäť jeden spôsob bol nájdenie kolmého priemetu, druhý bol vypočítanie vzdialenosti, čím sme zistili aký násobok normálového vektora treba pripočítať k zadanému bodu).
Piatkové cviko: (22.3.)
Bolo cvičenie aj v piatok (náhrada za 8. máj).
Na začiatku som ešte raz zopakoval, že ak mám afinné podpriestory zadané ako bod a vektorová zložka, t.j. $A_1+V_1$, $A_2+V_2$, tak si môžem zobrať podpriestor $V_1+V_2$ a rátať vzdialenosť je to isté ako rátať kolmý priemet vektora $\overrightarrow{V_1V_2}$ do $V^\bot$. Z toho vidno aj to, že je to isté ako vzdialenosť medzi rovnobežnými afinnými podpriestormi $A_1+V$ a $A_2+V$. A teda aj to isté ako vzdialenosť bodu $A_1$ od $A_2+V$.
Práve takýmto spôsobom sme vyrátali nejaké príklady na vzdialenosť, konkrétne PU9/1,2.
Potom sme sa pozreli na to aký afinný podpriestor nám vyjde ak hľadáme množinu bodov takých že $|AX|=|BX|$, kde $A$, $B$ sú zadané. Tu je linka na riešenie takejto úlohy na fóre: viewtopic.php?t=632
Ešte sme sa pozreli na predposlednú úlohu z 04vzdial.pdf, t.j. mali sme zadaný bod $P$ a roviny $\alpha$, $\beta$ v štvorrozmere. Úlohou bolo nájsť priamku $p$ takú že obsahuje $P$, je kolmá na $\alpha$ a pretína $\beta$.
Utorkové cviko: (20.3.)
Pozreli sme sa na nejaké príklady na vzdialenosť - konkrétne 1, 2a, 2b z 04vzdial.pdf.
Napíšem aj sem, že keď budeme mať prerátané príklady na vzdialenosť, tak máme v podstate prebraté veci na prvú písomku z povinného cvika.
Viacero úloh na vzdialenosti sa dá nájsť vyriešených na fóre - napríklad:
viewtopic.php?t=623
viewtopic.php?t=628
viewtopic.php?t=870
viewtopic.php?t=1051
viewtopic.php?t=1076
Štvrtkové cviko: (22.3.)
Písali sme písomku, po nej sme sa stihli ešte pozrieť na nejaké prednáškové úlohy. Konkrétne PU8/4 (vzdialenosť bodu od roviny v 4-rozmernom priestore; túto úlohu sme zrátali dvoma spôsobmi - raz tak že sme našli kolmý priemet a raz tak že sme vyjadrili rovinu ako prienik normálovo kolmých nadrovín a zrátali vzdialenosti od nich) a PU8/2 (bod symetrický k danému bodu vzhľadom na danú nadrovinu; opäť jeden spôsob bol nájdenie kolmého priemetu, druhý bol vypočítanie vzdialenosti, čím sme zistili aký násobok normálového vektora treba pripočítať k zadanému bodu).
Piatkové cviko: (22.3.)
Bolo cvičenie aj v piatok (náhrada za 8. máj).
Na začiatku som ešte raz zopakoval, že ak mám afinné podpriestory zadané ako bod a vektorová zložka, t.j. $A_1+V_1$, $A_2+V_2$, tak si môžem zobrať podpriestor $V_1+V_2$ a rátať vzdialenosť je to isté ako rátať kolmý priemet vektora $\overrightarrow{V_1V_2}$ do $V^\bot$. Z toho vidno aj to, že je to isté ako vzdialenosť medzi rovnobežnými afinnými podpriestormi $A_1+V$ a $A_2+V$. A teda aj to isté ako vzdialenosť bodu $A_1$ od $A_2+V$.
Práve takýmto spôsobom sme vyrátali nejaké príklady na vzdialenosť, konkrétne PU9/1,2.
Potom sme sa pozreli na to aký afinný podpriestor nám vyjde ak hľadáme množinu bodov takých že $|AX|=|BX|$, kde $A$, $B$ sú zadané. Tu je linka na riešenie takejto úlohy na fóre: viewtopic.php?t=632
Ešte sme sa pozreli na predposlednú úlohu z 04vzdial.pdf, t.j. mali sme zadaný bod $P$ a roviny $\alpha$, $\beta$ v štvorrozmere. Úlohou bolo nájsť priamku $p$ takú že obsahuje $P$, je kolmá na $\alpha$ a pretína $\beta$.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5519
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2017/18
6. týždeň
Utorkové cviko: (27.3.)
Na začiatku sme sa pozreli na jeden príklad týkajúci sa sústavy rekurencií, z ktorého azda aspoň trochu vidno, že vlastné vektory a podobnosť matíc pri takomto type úloh nejako prirodzene vychádzajú: viewtopic.php?t=639
Z 05podob.pdf sme vyriešili úlohu 1a. Tu sa nám hodilo ukázať, že obe matice z tejto úlohy sú podobné s diagonálnou maticou - trochu sme sa pri tom pozreli na to, ako súvisí podobnosť s diagonálnou maticou s vlastnými vektormi.
Na prednáške ste si ukázali, že stopa a determinant sa vyskytujú v koeficientoch charakteristického polynómu: viewtopic.php?t=642 Z toho už vyplýva, že podobné matice majú rovnaký determinant a stopu. Skúsili sme ukázať priamo z definície, že $\det(PAP^{-1})=\det(A)$ a $\operatorname{Tr}(PAP^{-1})=\operatorname{Tr}(A)$. (To druhé sme už nestihli, ale ukázali sme aspoň $\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)$, z čoho by ste to už mali dostať pomerne ľahko.)
Vo štvrtok bolo rektorské voľno.
Utorkové cviko: (27.3.)
Na začiatku sme sa pozreli na jeden príklad týkajúci sa sústavy rekurencií, z ktorého azda aspoň trochu vidno, že vlastné vektory a podobnosť matíc pri takomto type úloh nejako prirodzene vychádzajú: viewtopic.php?t=639
Z 05podob.pdf sme vyriešili úlohu 1a. Tu sa nám hodilo ukázať, že obe matice z tejto úlohy sú podobné s diagonálnou maticou - trochu sme sa pri tom pozreli na to, ako súvisí podobnosť s diagonálnou maticou s vlastnými vektormi.
Na prednáške ste si ukázali, že stopa a determinant sa vyskytujú v koeficientoch charakteristického polynómu: viewtopic.php?t=642 Z toho už vyplýva, že podobné matice majú rovnaký determinant a stopu. Skúsili sme ukázať priamo z definície, že $\det(PAP^{-1})=\det(A)$ a $\operatorname{Tr}(PAP^{-1})=\operatorname{Tr}(A)$. (To druhé sme už nestihli, ale ukázali sme aspoň $\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)$, z čoho by ste to už mali dostať pomerne ľahko.)
Vo štvrtok bolo rektorské voľno.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5519
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2017/18
7. týždeň
V utorok bolo dekanské voľno.
Štvrtkové cviko (5.4.):
Riešili sme úlohy typu - zistiť pre dané matice či sú podobné. S tým súvisí aj to, aby sme vedeli zistiť či daná matica je podobná s diagonálnou maticou.
Pripomenuli sme, že podobné matica majú rovnakú stopu, determinant, charakteristický polynóm - obrátene to však platiť nemusí. (Matice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ a $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ nie sú podobné.)
Podobnosť s diagonálnou maticou niečo sa dala použiť napríklad v PU11/4. Pri tejto úlohe sme si pripomenuli aj to, že pre maticu rozmerov $2\times2$ viem charakteristický polynóm zistiť na základe stopy a determinantu: viewtopic.php?t=642
Ale ukázali sme si aj príklad, kde zadané matice boli podobné, hoci nie sú podobné s diagonálnou maticou - konkrétne PU12/3
http://thales.doa.fmph.uniba.sk/korbas/ ... 101112.pdf
Niečo k úlohám takéhoto typu sa dá nájsť aj tu: viewtopic.php?t=655 a viewtopic.php?t=1096
V utorok bolo dekanské voľno.
Štvrtkové cviko (5.4.):
Riešili sme úlohy typu - zistiť pre dané matice či sú podobné. S tým súvisí aj to, aby sme vedeli zistiť či daná matica je podobná s diagonálnou maticou.
Pripomenuli sme, že podobné matica majú rovnakú stopu, determinant, charakteristický polynóm - obrátene to však platiť nemusí. (Matice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ a $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ nie sú podobné.)
Podobnosť s diagonálnou maticou niečo sa dala použiť napríklad v PU11/4. Pri tejto úlohe sme si pripomenuli aj to, že pre maticu rozmerov $2\times2$ viem charakteristický polynóm zistiť na základe stopy a determinantu: viewtopic.php?t=642
Ale ukázali sme si aj príklad, kde zadané matice boli podobné, hoci nie sú podobné s diagonálnou maticou - konkrétne PU12/3
http://thales.doa.fmph.uniba.sk/korbas/ ... 101112.pdf
Niečo k úlohám takéhoto typu sa dá nájsť aj tu: viewtopic.php?t=655 a viewtopic.php?t=1096
-
Martin Sleziak
- Posts: 5519
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2017/18
8. týždeň
Utorkové cviko: (10.4.)
Písomku plánovanú na dnes sme odložili na štvrtok, namiesto toho sme sa ešte vrátili k nejakým príkladom na vzdialenosti. Urobili sme jednu úlohu na barycentrické súradnice: viewtopic.php?t=877
Na vzdialenosti sme z 04vzdial.pdf vyrátali príklady 4 a 8. (Úloha 4 tam má uvedený chybný výsledok, správne má byť $\frac{\sqrt{14}}7$, tak ako nám vyšlo.)
Štvrtkové cviko: Písomka.
Utorkové cviko: (10.4.)
Písomku plánovanú na dnes sme odložili na štvrtok, namiesto toho sme sa ešte vrátili k nejakým príkladom na vzdialenosti. Urobili sme jednu úlohu na barycentrické súradnice: viewtopic.php?t=877
Na vzdialenosti sme z 04vzdial.pdf vyrátali príklady 4 a 8. (Úloha 4 tam má uvedený chybný výsledok, správne má byť $\frac{\sqrt{14}}7$, tak ako nám vyšlo.)
Štvrtkové cviko: Písomka.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5519
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2017/18
9. týždeň
Utorkové cviko: (17.4.)
$$A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\qquad
B=\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & \lambda \\
\end{pmatrix}$$
Spomenuli sme si, že binomická veta v tvare $(X+Y)^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom nk X^{n-k}Y^k$ funguje pre matice také, že $XY=YX$, t.j. ak matice $X$ a $Y$ komutujú. To nám môže pomôcť pri dôkaze toho ako vyzerajú mocniny $B^n=(\lambda I+A)^n$.
Pridám aj nejaké linky:
* Wikipédia: https://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_no ... _functions
* MSE: Why does the n-th power of a Jordan matrix involve the binomial coefficient?
Dohodli sme sa, že budúci týždeň v utorok bude malá písomka s témou: Podobnosť, vlastné čísla, vlastné vektory, charakteristický polynóm, podobnosť s diagonálnou maticou. (O minimálnom polynóme sme začali hovoriť až dnes, na tejto písomke sa určite neobjavia príklady kde by ho bolo treba.)
Štvrtkové cviko: (19.4.)
Úloha PÚ15/3 - výpočet matice $A^n$. Pri tom sme sa pozreli na to, že vo všeobecnosti ak by sme maticu $A$ vedeli vyjadriť ako $A=PDP^{-1}$ resp. $A=PJP^{-1}$, tak máme aj $A^n=PJ^nP^{-1}$. Napísať $n$-tú mocninu diagonálnej matice je jednoduché, $n$-tá mocnina Jordanovho tvaru je o čosi komplikovanejšie, ale stále vieme dobre popísať ako vyzerá. Čiže $A^n$ by sme mohli dostať aj takto. (V našom prípade to vyšlo oveľa jednoduchšie. Takýto postup by ale zafungoval pre hocijakú maticu kde vieme nájsť Jordanov tvar $J$ a maticu prechodu $P$.)
Pozreli sme sa na nejaké úlohy o Jordanovom tvare, konkrétne 2a a 2f z 06jordan.pdf.
Trochu sme sa rozprávali aj o tom, prečo sa počty blokov nejakých veľkostí dajú zistiť s hodností mocnín matice $A-\lambda I$. (Podstatné bolo uvedomiť si, že matica matica $(A-\lambda I)^k$ je podobná s $(J-\lambda I)^k$ a potom už zostávalo uvedomiť si ako vyzerajú mocniny matice $J-\lambda I$, ak $J$ už je v Jordanovom tvare.)
Tu sú nejaké veci, ktoré môžu pomôcť pri výpočte koreňov charakteristického polynómu resp. pri hľadaní jeho koreňov: viewtopic.php?t=890
Na fóre sú nejaké príklady na Jordanov tvar aj s riešením:
viewtopic.php?t=655
viewtopic.php?t=656
viewtopic.php?t=919
viewtopic.php?t=1289
Utorkové cviko: (17.4.)
- Ukázali sme, že podobné matice majú rovnaký charakteristický a minimálny polynóm: viewtopic.php?t=657
- Matice $AB$ a $BA$ majú tie isté nenulové vlastné hodnoty. (Pre štvorcové matice to funguje aj s nulou.)
- Nech $A$ je matica typu $n\times 2$ a $B$ je matica typu $2\times n$. Dokážte, že ak $(AB)^2=0$, tak aj $(BA)^2=0$.
$$A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\qquad
B=\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & \lambda \\
\end{pmatrix}$$
Spomenuli sme si, že binomická veta v tvare $(X+Y)^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom nk X^{n-k}Y^k$ funguje pre matice také, že $XY=YX$, t.j. ak matice $X$ a $Y$ komutujú. To nám môže pomôcť pri dôkaze toho ako vyzerajú mocniny $B^n=(\lambda I+A)^n$.
Pridám aj nejaké linky:
* Wikipédia: https://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_no ... _functions
* MSE: Why does the n-th power of a Jordan matrix involve the binomial coefficient?
Dohodli sme sa, že budúci týždeň v utorok bude malá písomka s témou: Podobnosť, vlastné čísla, vlastné vektory, charakteristický polynóm, podobnosť s diagonálnou maticou. (O minimálnom polynóme sme začali hovoriť až dnes, na tejto písomke sa určite neobjavia príklady kde by ho bolo treba.)
Štvrtkové cviko: (19.4.)
Úloha PÚ15/3 - výpočet matice $A^n$. Pri tom sme sa pozreli na to, že vo všeobecnosti ak by sme maticu $A$ vedeli vyjadriť ako $A=PDP^{-1}$ resp. $A=PJP^{-1}$, tak máme aj $A^n=PJ^nP^{-1}$. Napísať $n$-tú mocninu diagonálnej matice je jednoduché, $n$-tá mocnina Jordanovho tvaru je o čosi komplikovanejšie, ale stále vieme dobre popísať ako vyzerá. Čiže $A^n$ by sme mohli dostať aj takto. (V našom prípade to vyšlo oveľa jednoduchšie. Takýto postup by ale zafungoval pre hocijakú maticu kde vieme nájsť Jordanov tvar $J$ a maticu prechodu $P$.)
Pozreli sme sa na nejaké úlohy o Jordanovom tvare, konkrétne 2a a 2f z 06jordan.pdf.
Trochu sme sa rozprávali aj o tom, prečo sa počty blokov nejakých veľkostí dajú zistiť s hodností mocnín matice $A-\lambda I$. (Podstatné bolo uvedomiť si, že matica matica $(A-\lambda I)^k$ je podobná s $(J-\lambda I)^k$ a potom už zostávalo uvedomiť si ako vyzerajú mocniny matice $J-\lambda I$, ak $J$ už je v Jordanovom tvare.)
Tu sú nejaké veci, ktoré môžu pomôcť pri výpočte koreňov charakteristického polynómu resp. pri hľadaní jeho koreňov: viewtopic.php?t=890
Na fóre sú nejaké príklady na Jordanov tvar aj s riešením:
viewtopic.php?t=655
viewtopic.php?t=656
viewtopic.php?t=919
viewtopic.php?t=1289