msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Na rozdiel od minulých rokov je teraz tento predmet nasadený ako 3-hodinový kurz a nie zvlášť prednáška a zvlášť cvičenie. (V starej akreditácii to bolo P2+C1.) Takže na hodine to bude vyzerať tak, že niekedy budem viac hovoriť teóriu, niekedy sa budem viac venovať príkladom. Sem sa budem snažiť napísať jedno aj druhé.

Ak sa chcete pozrieť na to ako to vyzeralo minule:
viewtopic.php?t=1203
viewtopic.php?t=1024
(A nájdete tu niečo podobné aj z predošlých rokov - to však bolo ešte podľa predošlej akreditácie, čiže tento predmet vyzeral o dosť inak.)

1. týždeň (18.2.)
Na začiatku bol nejaký stručný pokec - nejaký historický úvod a k čomu by to vlastne malo celé smerovať.
Potom sme zopakovali, ako vieme overovať tautológie. (Reálne sme si odskúšali $p\land (q\lor r) \Leftrightarrow (p\land q)\lor (p\land r)$ a obmenu implikácie $(p\Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg q \Rightarrow \neg p)$.)
Zaoberali sme sa trochu výrokmi s kvantifikátormi. (Pozreli sme sa konkrétne na $\neg[(\forall x)P(x)] \Leftrightarrow (\exists x) \neg P(x)$ a ukázali sme si na príklade ako sa negujú výroky s kvantifikátormi. Ešte sme sa potom pozreli na to či platia aspoň niektoré implikácie z ekvivalencií: $(\forall x)(P(x) \lor Q(x)) \Leftrightarrow [(\forall x)P(x) \lor (\forall x)Q(x)]$ a $(\exists x)(\forall y)P(x,y) \Leftrightarrow (\forall y)(\exists x) P(x,y)$.
Zadefinovali sme rovnosť množín a inklúziu. Ako príklady tvrdení o množinách sme ukázali, že $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$. (Pomocou pravdivostnej tabuľky a aj pomocou Vennových diagramov.) Ukázali sme aj asociatívnosť pre symetrickú diferenciu $A\triangle(B\triangle C)=(A\triangle B)\triangle C$ a čo sa deje so zjednotením pri doplnku: $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)$. Tiež sme ukázali, že z $A\subseteq B$ a $B\subseteq C$ vyplýva $A\subseteq C$.

Ak chcete, môžete sa zamyslieť nad tým, ako by vyzerali Vennove diagramy pre viac než 3 množiny: viewtopic.php?t=57
K dôkazu tranzitívnosti inklúzie pridám túto linku: viewtopic.php?t=62
Úlohu o asociatívnosti symetrickej diferencie ste mohli stretnúť v inom kontexte kedysi na predmete Algebra: viewtopic.php?t=476

2. týždeň (25.2.)
Zjednotenie a prenik systému množín. Zadefinovali sme zjednotenie a prienik ľubovoľného (neprázdneho) systému množín. Pozreli sme sa na pár príkladov a ako ukážku dôkazu nejakej vlastnosti sme sa pozreli $B\cap (\bigcup\limits_{i\in I} A_i)=\bigcup\limits_{i\in I} (B\cap A_i)$.
Karteziánsky súčin. Zadefinovali sme karteziánsky súčin. Ako cvičenie sme overili $A\times(B\setminus C)=A\times B\setminus A\times C$.
Funkcie. Definícia zobrazenia. Pripomenuli sme pojem injekcie, surjekcie, bijekcie. (Tie už poznáte z nižších ročníkov.) Povedali sme si, čo je vzor a obraz zobrazenia a overili sme nejaké rovností, v ktorých vystupujú. Konkrétne sme videli dôkaz, že $f[A\cap B] \subseteq f\left[A\right] \cap f\left[B\right]$ a pre injekcie platí rovnosť. (Ale na príklade sme videli, že vo všeobecnosti rovnosť platiť nemusí.) A tiež sme sa pozreli na dôkaz toho, že $f^{-1}\left[\bigcup\limits_{i\in I}B_i\right]=\bigcup\limits_{i\in I}f^{-1}[B_i]$. Na konci sme ešte ukázali, že z $A\subseteq B$ vyplýva $f[A]\subseteq f\left[B\right]$.

3. týždeň (4.3.)
Karteziánsky súčin funkcií. Definícia. Súčin injekcií, surjekcií, bijekcií.
Kardinalita. Zadefinovali sme, kedy pre dve množiny platí $|X|=|Y|$ a $|X|\le|Y|$. Povedali sme si základne vlastnosti rovnosti a nerovnosti kardinálnych čísel. Z nich vlastne jediný náročnejší dôkaz bol dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety. (V poznámkach nájdete dva dôkazy tejto vety, ktoré sú do istej miery podobné - ja som robil iba jeden z nich.)
Tento dôkaz bol asi najkomplikovanejší z toho, čo sme robili doteraz - ako som spomínal, ukázať nejaký trochu iný dôkaz (a prejsť ho detailnejšie) je jedna z možných tém v tej druhej (nepovinnej) časti semestra: viewtopic.php?t=1266

Ešte sme sa pozreli na nejaké úlohy o inklúziách, zjednoteniach a podobne. Okrem iného sme na predošlých hodinách a teraz už prešli všetky veci, ktoré sa využívali v dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety.
$A\subseteq B$ $\Rightarrow$ $C\setminus A \supseteq C\setminus B$
Ak pre každé $A\in\mathcal S$ platí $A\subseteq D$, tak platí aj $\bigcup \mathcal S \subseteq D$.
$A\subseteq B$ $\Rightarrow$ $A\setminus C \subseteq B\setminus C$

4. týždeň (11.3.)
Kardinálna aritmetika. Ešte sme sa vrátili k nerovnosti kardinálnych čísel a ukázali, že je dobre definovaná (a vysvetlili, čo to vlastne znamená). Zadefinovali sme sčitovanie, násobenie a umocňovanie kardinálov. Ukázali sme, že sčitovanie kardinálnych čísel je dobre definované.
Ukázali sme, že $|\mathcal P(X)|=2^{|X|}$. Začali sme dokazovať niektoré základné vlastnosti operácií s kardinálnymi číslami. Zatiaľ sme stihli dokázať viaceré vlastnosti sčitovania kardinálov.
Identita $\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0$ a niektoré ďalšie identity týkajúce sa kardinálneho čísla $\aleph_0$ sa dajú porozprávať aj menej formálne pre stredoškolákov - Hilbertov hotel: viewtopic.php?t=467 (My sme o tomto kardinálnom čísle stihli ukázať, že $\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0\cdot\aleph_0=\aleph_0$.)
Ukázali sme, že že $|A|=|B|$ $\Rightarrow$ $|\mathcal P(A)|=|\mathcal P(B)|$ resp. že $|A|\le|B|$ $\Rightarrow$ $|\mathcal P(A)|\le|\mathcal P(B)|$. Presvedčili sme sa, že $|\mathbb Z|=\aleph_0$. (Priamo konštrukciou bijekcie medzi $\mathbb Z$ a $\mathbb N$ a aj iným spôsobom - využitím toho, že už máme dokázané $\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0$.)

Tu na fóre nájdete niečo o rozdiele kardinálnych čísel - možno toto môže pomôcť vyjasniť čo to znamená, že nejaká operácie nie je dobre definovaná: viewtopic.php?t=1237

5. týždeň (18.3.)
Kardinálna aritmetika.
Ukázali sme, že násobenie a umocňovanie kardinálnych čísel je dobre definované.
Vlastnosti násobenia kardinálov. (S výnimkou $a\le b$ $\Rightarrow$ $ac\le bc$, kde som len povedal, že dôkazy sú pomerne ľahké a nechal ich na cvičenia - prípadne si ich môžete pozrieť v poznámkach na webe.)
Ukázali sme, že $\aleph_0+a=\aleph_0$ pre ľubovoľné $a\ge\aleph_0$.
Vlastnosti kardinálneho umocňovania: Ukázali sme, že $a^2=a\cdot a$, $a\le b$ $\Rightarrow$ $a^c\le b^c$, $(a^b)^c=a^{bc}$.
Dôkazy týchto dvoch vlastností nebudeme robiť: $a^{b+c}=a^b\cdot a^c$, $(ab)^c=a^c\cdot b^c$. (V prípade záujmu sa dajú pozrieť v poznámkach.)
Ukázali sme si výpočty niektorých kardinálnych čísel: $\aleph_0^{\aleph_0}=\mathfrak c$, $\mathfrak c^{\aleph_0}=\mathfrak c$ a $\aleph_0^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}$.
Pozreli sme sa na to, že $|\mathbb R|=|(0,1)|=|(0,1\rangle|=|\langle0,1\rangle|$.

6. týždeň (25.3.)
Kardinálna aritmetika.
Ukázali sme, že pre kardinálne čísla platí $a\le2^a$ a $a^b\le 2^{ab}$.
Cantorova veta. Cantorova veta: $a<2^a$ resp. $|A|<|\mathcal P(A)|$. Ukázali sme si všeobecný dôkaz, potom sme si ho ešte raz ilustrovali na príklade $A=\mathbb N$, aby bolo jasnejšie, prečo sa metóde dôkazu hovorí Cantorova diagonálna metóda.
Spočítateľné a nespočítateľné množiny. Zjednotenie spočítateľne veľa spočítateľných množín je opäť spočítateľné. Množina racionálnych čísel $\mathbb Q$ je spočítateľná.
Potom sme sa pozreli na výpočty niektorých konkrétnych kardinálnych čísel - konkrétne $\mathfrak c\cdot 2^{\mathfrak c}=2^\mathfrak c$ a $(2^{\mathfrak c})^{2^{\mathfrak c}}=2^{2^{\mathfrak c}}$.
Dokázali sme, že $a\le b$ $\Rightarrow$ $c^a\le c^b$ (pre $c\ne0$).
Na konci sme strávili nejaký čas aj s tým, čomu sa rovná $0^0$. (Resp. aj $a^0$ a $0^a$ pre $a\ne 0$.) viewtopic.php?t=343

Keďže sme vlastne videli úlohu, kde sme porovnávali $a^b$ a $b^a$ pre nekonečné kardinály (konkrétne $\aleph_0$ a $\mathfrak c$) ako malú odbočku som spomenul, že sa môžete zamyslieť nad tým, ako to je pre reálne čísla: viewtopic.php?t=1249

7. hodina (1.4.)
Kardinalita množiny $\mathbb R$:
Dokázali sme, že $|\mathbb R|=\mathfrak c$. (Dôkaz som robil trochu inak ako v texte k prednáške - robil som v desiatkovej sústave, nie v dvojkovej. Navyše som nedokazoval, že čísla s konečným rozvojom sú jediný prípad, kedy má číslo nejednoznačný zápis. Pre dyadický - dvojkový - zápis je táto vec v texte k prednáške dokázaná detailne.)
Ukázal som ešte iný dôkaz, že množina reálnych čísel je nespočítateľná, ktorý je založený na diagonálnom argumente (príklad 3.5.5 v texte k prednáške).
Na konci prednášky som ešte urobil dôkaz, že množina všetkých spojitých zobrazení z $\mathbb R$ do $\mathbb R$ má kardinalitu $\mathfrak c$.
Existenčné dôkazy.
Ukázali sme, že algebraických čísel je spočítateľne veľa, a teda existujú aj transcendentné čísla. (V dôkaze sme používali fakt, že polynóm stupňa $n$ má nanajvýš $n$ koreňov. Tento fakt by ste mali vedieť z algebry ešte z bakalárskeho štúdia, ale ak si chcete pripomenúť dôkaz, môžete sa pozrieť aj sem: viewtopic.php?t=1349.)
Ukázali sme, že vypočítateľných funkcií (=funkcií, pre ktoré existuje algoritmus resp. program) je len spočítateľne veľa, a teda existujú aj nevypočítateľné funkcie.
Už sme nestihli dokázať, ale aspoň som stručne naznačil, že podobne by sa dal robiť dôkaz toho, že existujú body resp. vzdialenosti v rovine, ktoré sa nedajú zostrojiť pomocou pravítka a kružidla. Niečo k tejto téme je stručne napísané aj tu: viewtopic.php?t=1532

Čo sa týka zvyšku semestra:
Nabudúce (8. apríla) by som porozprával ešte niečo o Cantor-Bernsteinovej vete a o nejakých veciach, ktoré s ňou súvisia: viewtopic.php?t=1275
Ďalší týždeň (15. apríla) by bola opakovacia hodina - ak budete vy mať nachystané nejaké veci ku ktorým sa treba vrátiť, tak prejdeme tie; ak nie, tak povyberám nejaké príkady zo starších domácich a z úloh v texte.

Dohodli sme sa, že písomka pre študentov PriF bud 26.4: viewtopic.php?t=1417
Miestnosť a čas ešte upresním. Študenti z FMFI samozrejme tiež môžu písať vtedy - s tými, čo neprídu na tento termín sa dohodneme na inom vhodnom termíne. (Na FMFI končí skúškové obdobie o dosť neskôr ako na PriF, takže tam máte viac času.)

8. hodina (8.4.)
Iný dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety.
Ako som kedysi sľúbil, ešte sme sa vrátili ku Cantor-Bernsteinovej vete: viewtopic.php?t=1275
Najprv sme sa pozreli na viacero, konkrétnych príkladov, potom sme pomocou nich urobili nejaký dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety. (A aspoň stručne sme ho porovnali s dôkazom, ktorý sme mali predtým.)
Hľadanie pevných bodov. Pozreli sme sa na nejaké veci o pevných bodoch, ako sa dajú hľadať pomocou iterácií a tiež na to ako sa takéto iterácie dajú nakresliť. Ukázali sme si babylonskú metódu hľadania druhej odmocniny.

Ak by ste sa na tieto veci chceli ešte pozrieť v poznámkach na stránke, tak veci čo som robil dnes sú v častiach 6.1 a 6.3. (Časti 6.2 - ktorá hovorí, že tieto veci majú nejaké spoločné zovšeobecnenie - som sa nestihol detailnejšie venovať.)

9. hodina (15.4.)
Dnešná hodina bola zamýšľaná ako opakovanie pred písomkou.
Z priklady.pdf sme prešli z časti opakovanie: Príklad 7e, 3c (kde bolo treba zadanie opraviť na $A\subseteq B$ $\Leftrightarrow$ $A\setminus B=\emptyset$); 6a (a podobnú úlohu pre obraz: $\left[A\cup B\right]=f\left[A\right]\cup f\left[B\right]$), 5.

V prípade záujmu by som mohol ešte porozprávať niečo z ďalších tém: viewtopic.php?t=1266 (Asi najviac by som sa venoval dôsledkom axiómy výberu a možno niečo o Cauchyho funkcionálnej rovnici.)