msleziak.com

Sem budem písať, čo sme stihli na jednotlivých cvičeniach. (Môže byť užitočné, ak sa k tomu chcete vrátiť alebo ak ste chýbali na cviku.)

Tento topic by som chcel používať iba na tento účel. Takže ak budete mať otázky k niečomu, čo bolo na cviku, tak skúste v inom topicu. (Buď založiť nový alebo v nejakom už existujúcom, ak nájdete taký, kde sa vaša otázka hodí.)

Určite to nebude tak, že by som vždy robil na cvičeniach úplne presne rovnaké príklady, ako po minulé roky. Ak vás zaujíma, čo sa robilo v minulosti:
viewtopic.php?t=1459
viewtopic.php?t=1310
viewtopic.php?t=1126
viewtopic.php?t=927
viewtopic.php?t=710
viewtopic.php?t=479

Nahrávky, ktoré sme robili na výberovom cviku sa dajú nájsť tu: https://web.microsoftstream.com/group/2 ... 2f7dda4f58
Podobne k predmetu 1-MAT-120 (povinné cviko/prednáška) nájdete tu veci, čo boli nahraté: https://web.microsoftstream.com/group/6 ... f1544ed4f9

1. týždeň (21.9.):
Rátali sme úlohy z 00opak.pdf na indukciu. Stihli sme konkrétne úlohy 5,6,7,8 z tejto časti.

Pri dôkaze nerovnosti sme $\sum\limits_{k=1}^n \frac1{k^2} \le 2-\frac1n$ sme sa pozreli aj na súčet $\sum\limits_{k=2}^n \frac1{k(k-1)}$, ktorý je príkladom teleskopickej sumy.

Ako jednu z úloh na indukciu sme dokazovali, že $\left(\sum\limits_{k=1}^n k\right)^2 = \sum\limits_{k=1}^n k^3$. Pridám k tejto úlohe nejaké linky:
* Squared triangular number na Wikipédii
* Proving $1^3+ 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ using induction na math.SE
* Proving Nicomachus's theorem without induction na math.SE

S jednou skupinou sme sa ešte stihli pozrieť na zdôvodnenie toho, že $\sqrt2+\sqrt3$ je iracionálne číslo. (Zo strednej školy by ste mali poznať dôkaz, že $\sqrt2$ nie je racionálne - ktorý sa dá skoro bez zmeny aplikovať na $\sqrt3$, $\sqrt5$, $\sqrt6$ a pod. Inak povedané, na $\sqrt a$, kde $a$ nie je druhá mocnina celého čísla.)

Dohodli sme sa, že malá písomka na budúci týždeň bude venovaná indukcii.

2. týždeň (28.9.):
Rátali sme úlohy z 01zobrazenia.pdf
Konkrétne sme sa pozreli na zloženie $f\circ g$ a $g\circ f$ pre $g(x)=x^2$ a $f(x)=x+1$ resp. $f(x)=\sin x$.
Potom sme sa rozprávali o injekciách, surjekciách, bijekciách. Pripomenuli sme si definície a povedali, čo vlastne znamenajú. Ukázali sme si, ako vidno z grafu funkcie $\mathbb R\to\mathbb R$, či je injektívna/surjektívna - horizontal line test.
Tiež sme si povedali, že pre zobrazenie $f\colon X\to Y$ medzi konečnými množinami a počty prvkov týchto množín platí:
* Ak $f$ je bijektívne, tak $|X|=|Y|$.
* Ak $f$ je injektívne, tak $|X|\le|Y|$.
* Ak $f$ je surjektívne, tak $|X|\ge|Y|$.
(Neskôr na diskrétnej matematike budete niečo podobné robiť aj s nekonečnými množinami, keď budete definovať pojem kardinality.)
Z časti o injekciách a surjekciách sme stihli úlohy 1 a 2, t.j. vlastne dôkaz týchto dvoch tvrdení:
* Ak $g\circ f$ je surjekcia, tak $g$ je surjekcia.
* Ak $g\circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia.
A tiež sme našli kontrapríklad ukazujúci, že: Ak $g\circ f$ je surjekcia, $f$ nemusí byť surjekcia.
(Toto sú vlastne úlohy 3.1 a 3.2 z 01zobrazenia.pdf.)

S jednou skupinou sme sa dostali aj k tomu, ako vyzerajú zobrazenia $\emptyset\to\emptyset$, $X\to\emptyset$, $\emptyset\to Y$. V súvislosti s tým sme si spomenuli rovnosť $0^0=1$. Nejaké odkazy k tomuto: viewtopic.php?t=343

Povínné cviko (30.9.)
Keď som zastupoval na začiatku stredajšieho cvika s jedou skupinou, trochu sme hovorili aj o počte všetkých zobrazení a počte všetkých injekcií z $m$-prvkovej množiny do $n$-prvkovej. (Hoci v zadaní to bolo len pre konkrétne množiny.)
Pre surjekcie by to bolo o čosi ťažšie. Ale koho by to zaujímalo, môže si o tom prečítať niečo tu:
* Stirling numbers of the second kind na Wikipédii
* Calculating the total number of surjective functions na math.SE
* Budete sa časom učiť o princípe zapojenia vypojenia, ktorý sa tiež dá použiť na odvodenie nejakého vyjadrenia pre počet surjekcií. Pridám napríklad tieto linky: Number of surjections from $\{1,...,m\}$ to $\{1,...,n\}$ a Stirling numbers combinatorial proof

3. týždeň (5.10.):
Rátali sme úlohy z 02binop.pdf
Úloha 1.2- ľubovoľné uzátvorkovanie 4 prvkov dá pre asociatívnu operáciu to isté. (Bez dôkazu sme spomenuli, že to platí aj pre ľubovoľný počet.) Pre zaujímavosť spomeniem, že počet všetkých možných uzátvorkovaní $n$-prvkov je $n$-té Catalanove číslo.
Pozreli sme sa na overenie či daná množina s binárnou operáciou je grupa. Najprv pár jednoduchých príkladov, ako napríklad $\mathbb Z$ a $\mathbb Q$ so sčitovaním a násobením (prípadne po vynechaní nuly).
Potom sme sa pozreli na $\mathbb R$ s operáciou $a*b=a+b-1$ a na $\mathbb R\setminus\{-1\}$ s operáciou $a*b=ab+a+b$. To sú úlohy 2.1h a 2.3.
Trochu sme sa pri tom rozprávali o tom, ktoré vlastnosti sa dedia na podmnožiny. (T.j. keď sme asociatívnosť a komutatívnosť ukázali pre celé $\mathbb R$, tak to platí aj po zúžení na $\mathbb R\setminus\{-1\}$. Ale treba byť opatrnejší, ak sa pýtame, či je to binárna operácia a tiež či má neutrálny a inverzný prvok.)
Niečo k tejto grupe je aj tu: viewtopic.php?t=495
Ukázali sme si, že v grupe platia zákony o krátení - úloha 2.5. (Môžete sa zamyslieť nad tým, čo to hovorí o tabuľke grupovej operácie - túto vec som na cviku zabudol spomenúť.)
Zo zákonov o krátení sa dá ukázať $(a^{-1})^{-1}=a$ a $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$. My sme ukázali tú druhú rovnosť. (Na prednáške sa k nej asi dostanete tiež.)
Úloha 2.7: Videli sme, že v grupe je zobrazenie $f_a\colon G\to G$, $f_a(x)=a*x$ bijekcia. (Dokázali sme to tak, že sme overili, že $f_{a^{-1}}$ je k nemu inverzné. Môžete sa zamyslieť nad dôkazom priamo z definícii - overenie, že to je injekcia a surjekcia.)

Cvičenie sme nahrávali - mali by ste sa k videu nejako doklikať z MS Team, ak ho bude treba.
Tu sú veci, ktoré som písal na "tabuľu": http://msleziak.com/vyuka/2020/lag/20201005.zip

4. týždeň (12.10.):
Vrátili sme sa ešte k tomu, čo sme načali minule - že zákon o krátení mi hovorí o tabuľke to, že sa v riadku (stĺpci) nesmú opakovať prvky. Na rozmyslenie som nechal, že v každom riadku (stĺpci) sa musia objaviť všetky prvky.
Podgrupy. Rátali sme úlohy z 03podgrp.pdf
Zopakovali sme definíciu - pričom sme spomenuli bez dôkazu, že pre konečné podgrupy stačí overiť uzavretosť na binárnu operáciu (úloha 1.4.6(4) v LAG1).
Niekoľko jednoduchých príkladov podgrúp. (Kontrolovali sme, či $\mathbb N_0$, $3\mathbb Z$, $3\mathbb Z+1$ sú podgrupy $(\mathbb Z,+)$, či $\mathbb Q\setminus\{0\}$ je podgrupa $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$, či $\{(x,x); x\in\mathbb R\}$ a $\mathbb Q\times\mathbb Q$ sú podgrupy $(\mathbb R\times\mathbb R,+)$.)
Nájsť všetky podgrupy v $\mathbb Z_4$ a v $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$. (Teda tieto grupy nie sú izomorfné - majú totiž rôzny počet dvojprvkových podgrúp.) Úloha takéhoto typu pre $\mathbb Z_{12}$ je vyriešená aj na fóre: viewtopic.php?t=770
Nájsť všetky podgrupy $(S_3,\circ)$.
Pritom sme napríklad videli, že ak $x$ patrí do 2-prvkovej podgrupy, tak nevyhnutne musí spĺňať $x^2=e$.
Spomenuli sme to, že počet prvkov podgrupy delí počet prvkov celej grupy - Lagrangeova veta. A tiež že ak $x$ patrí do $k$-prvkovej podgrupy, tak musí platiť $x^k=e$. (Toto je dôsledok Lagrangeovej vety. Aspoň pre komutatívne grupy budeme vidieť dôkaz Lagrangeovej vety na tomto predmete.)
Ale spomenuli sme si, že aj bez odvolávania na túto vetu by sme pre takéto malé grupy vedeli nájsť všetky podgrupy - aspoň pre takéto malé grupy - skúšaním rôznych možností.
Prienik podgrúp musí byť podgrupa. (Urobili sme pre dve grupy - spomenul som, že to platí pre ľubovoľný systém podgrúp. A že niečo veľmi podobné budeme neskôr robiť pri vektorových priestoroch s prienikom podpriestorov.)
Zjednotenie podgrúp nemusí byť podgrupa - našli sme viacero konkrétnych príkladov.
Ukázali sme, že pre dve podgrupy $H_{1,2}$ grupy $G$ platí: $H_1\cup H_2$ je podgrupa práve vtedy, keď $H_1\subseteq H_2$ alebo $H_2\subseteq H_1$.

Cvičenie sme nahrávali - mali by ste sa k videu nejako doklikať z MS Teams alebo môžete skúsiť túto linku. (Malo by byť prístupné pre ľudí priradených k tomuto predmetu.)
Tu sú veci, ktoré som písal na "tabuľu": http://msleziak.com/vyuka/2020/lag/20201012.zip

5. týždeň (19.10.):
Podgrupy. Pre konečnú podgrupu stačí kontrolovať uzavretosť na binárnu operáciu (Úloha 1.4.6(4) z LAG1.)
Relácie ekvivalencie. Pozreli sme sa na niektoré relácie z 04faktor.pdf a overili, že sú to relácie ekvivalencie.
Na začiatku sme spomenuli, že veľa relácií ekvivalencie, s ktorými sa stretneme, sa dá dostať ako špeciálne prípady takýchto relácií:
* $x\sim y$ $\Leftrightarrow$ $x-y\in H$, kde $H$ je nejaká podgrupa (komutatívnej) grupy $G$
* $x\sim y$ $\Leftrightarrow$ $f(x)=f(y)$, kde $f\colon X\to Y$ je nejaké surjektívne zobrazenie
Z úlohy 1.1 sme sa pozreli na častí a, b, c, d resp. e, j.
(T.j. relácie $M\times M$, rovnosť, $x-y\in\mathbb Z$ na množine $\mathbb R$, $a+d=b+c$ na množine $\mathbb N\times\mathbb N$ resp. $\mathbb Z\times\mathbb Z$, $3\mid x+2y$ na množine $\mathbb Z$.)
Homomorfizmy. Grupy $(\mathbb Z_4,+)$ a $(\mathbb Z_5^*,\cdot)$ sú izomorfné. Grupy $(\mathbb Z_4,+)$ a $(\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2,+)$ nie sú izomorfné. (To sú vlastne úlohy 2.2 a 2.5 z 03podgrp.pdf.)

Veci, ktoré som písal na "tabuľu": http://msleziak.com/vyuka/2020/lag/20201019.zip
Priama linka na video: https://web.microsoftstream.com/video/5 ... 77b850111b

6. týždeň (26.10.):
Faktorové grupy.
Pozreli sme sa na viaceré príklady z: http://msleziak.com/vyuka/2020/lag/faktorove.pdf (V tomto súbore nájdete viacero vyriešených úloh týkajúcich sa faktorových grúp.)
Vždy to bola úloha typu ukázať $G/H\cong G'$ pre nejaké komutatívne grupy $G$, $G'$ a podgrupu $H$ v $G$.
Snažil som sa vo všetkých prípadoch ukázať postup priamo z definície aj postup s využitím vety o izomorfizme. Tiež som sa na viacerých príkladoch snažil ukázať, že operácia vo faktorovej grupe je dobre definovaná (nezávisí od výberu reprezentantov).
Konkrétne sme videli:
* $\mathbb Z/4\mathbb Z\cong \mathbb Z_4$.
* Faktorová grupa $(\mathbb R^2,+)$ podľa $H=\{(t,2t); t\in\mathbb R\}$ je izomorfná s $(\mathbb R,+)$.
* Izomorfizmus medzi faktorovou grupou $(\mathbb C\setminus\{0\},\cdot)$ podľa podgrupy $S=\{x\in\mathbb C; |x|=1\}$ (teda podľa jednotkovej kružnice) a grupou $(\mathbb R^+,\cdot)$. (Ak niektorí z vás neviete toho veľa o komplexných číslach, môžete si rozmyslieť light verziu tohoto príkladu: $\mathbb R/\{\pm1\}\cong\mathbb R^+$.)

Veci, ktoré som písal na "tabuľu": http://msleziak.com/vyuka/2020/lag/20201026.zip Priama linka na video: https://web.microsoftstream.com/video/f ... cf7109b751 a https://web.microsoftstream.com/video/2 ... b8597725ed

7. týždeň (2.11.):

Polia.
Overovali sme, či nejaké množiny reálnych čísel s obvyklým sčitovaním a násobením tvoria pole. Keďže sme v podmnožinách $\mathbb R$ a berieme obvyklé $+$ a $\cdot$, tak viaceré vlastnosti sme mali zadarmo. (Bolo sa treba zamerať najmä na to, či ide o binárnu operáciu a či inverzné prvky padnú do danej množiny.) Konkrétne sme zistili, že (s obvyklým sčitovaním a násobením):

• $F_1=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$ je pole;
• $F_2=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3; a,b,c\in\mathbb Q\}$ nie je pole;
• $F_3=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6; a,b,c,d\in\mathbb Q\}$ je pole.

Posledný príklad považujem za náročnejší, ale tie predtým beriem ako štandardné úlohy, ktoré by mala väčšina z vás zvládnuť.
Pripomeniem, že v týchto úlohách sa ako pomerne užitočné ukázalo to, že sme vedeli dokázať, že pre ľubovoľné $a,b,c,d\in\mathbb Q$ platí:
\begin{gather*}
a+b\sqrt2=0 \Leftrightarrow a=b=0\\
a+b\sqrt2=c+d\sqrt 2 \Leftrightarrow a=c \land b=d
\end{gather*}
Podobne sme ukázali, že
$$a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6=0 \Leftrightarrow a=b=c=d=0.$$
Tu sa ukázalo užitočným všimnúť si, že $a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6=(a+b\sqrt2)+(c+d\sqrt2)\sqrt3=x+y\sqrt2$ pre vhodné $x,y\in F_1$. Toto nám pomohlo aj pri overovaní, že $F_3$ je pole. (Túto úlohu sme nedoriešili celú - uzavreli sme ju s tým, že ďalej by to šlo už dosť podobne ako v prípade poľa $F_1$.)

Na fóre sa dá nájsť niečo k prvej z týchto troch úloh:
viewtopic.php?t=84
viewtopic.php?t=505
viewtopic.php?t=521
Pridám tu ešte linku na niečo o poli $\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$: viewtopic.php?t=349 (Aj keď toto je príklad, ktorý sme nerobili.)
Ešte spomeniem, že na Algebra 2 sa budete učiť niečo o rozšíreniach polí - s vecami, ktoré sa naučíte tam, budú také príklady ako sme vyskúšali riešiť tu ľahké.

Euklidov algoritmus.
Ukázali sme si na jednom príklade rozšírený Euklidov algoritmus. Ukázali sme si zápis do tabuľky a spomenuli sme aj to, že sa pomocou neho dajú hľadať inverzné prvky v poli $\mathbb Z_p$, kde $p$ je prvočíslo.
Euklidov algoritmus ste videli aj na konzultáciách k prednáške. Niečo o ňom sa dá nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=1346 a viewtopic.php?t=298

Tu sú veci, ktoré som počas cvičenia písal: http://msleziak.com/vyuka/2020/lag/20201102.zip
Nahrávky sa dajú nájsť tu:
Polia: https://web.microsoftstream.com/video/b ... 79ae7f1f2a
Euklidov algoritmus: https://web.microsoftstream.com/video/5 ... 209f71c38f

8. cvičenie (9.11.)
Podpriestory.
Riešili sme niektoré úlohy z 06vpry.pdf.
Pre niektoré podmnožiny $\mathbb R^3$ sme overili, či ide o podpriestor - časti a,b,d,f,h z úlohy 2.1.
Tiež sme skúsili niektoré podpriestory priestoru všetkých reálnych funkcií - časti a,b,c,d z úlohy 2.2.
Pri viacerých príkladoch sme sa snažili aj kresliť obrázky, aby sme mali aspoň v $\mathbb R^3$ a $\mathbb R^2$ nejakú geometrickú intuíciu o tom, ako vyzerajú podpriestory.
Pri príkladoch v $\mathbb R^3$ sme spomenuli, že sme videli viacero podpriestorov v tomto priestore: nulový podpriestor, priamka (prechádzajúca cez nulu), rovina (prechádzajúca cez nulu), celý priestor. Z vecí, čo budú na prednáške čoskoro nasledovať, bude vidieť to že v $\mathbb R^3$ už iné podpriestory nie sú.

Sústavy.
Vlastne sme len prešli to, ako by sme po úprave matice sústavy vyčítali z výslednej sústavy riešenia.
Takisto sme porozprávali niečo o skúške správnosti, zhruba to isté čo je napísané aj tu: viewtopic.php?t=522

Veci, ktoré som počas cvičenia písal: http://msleziak.com/vyuka/2020/lag/20201109.zip
Priama linka na video: https://web.microsoftstream.com/video/b ... 647fb7ed2c

9. cvičenie (16.11.)
Polynómy.
Pozreli sme sa na to, že polynóm sa (všade) rovná nule iba vtedy, keď sú všetky koeficienty nulové. (A tiež na nejaké veci, ktoré s tým súvisia.)
Niečo viac o tom sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=1349
(Na tomto mieste v princípe úplne stačí, ak tomuto faktu uveríte. Ale chcel som aspoň trochu ukázať prečo to platí. Navyše sme pritom mali možnosť spomenúť nejaké veci o koreňoch polynómov. Budúci semester budeme často potrebovať nájsť korene nejakého polynómu - preto je možno trochu užitočné spomenúť už teraz nejaké veci o polynómoch a ich koreňoch.)

Sústavy.
Prešli sme ešte nejaké úlohy z 07sustavy.pdf.
Ukázali sme riešenie sústavy, kde vyšli v množine dve riešení dva parametre. (Posledná sústava z úlohy 4.)
A ešte raz sme zopakovali veci týkajúce sa toho, ako sa dá urobiť skúška správnosti: viewtopic.php?t=522
Skúsili sme jednu úlohu takého typu, kde bolo treba nájsť množinu riešení sústavy v závislosti od parametra. (Konkrétne úlohu 8.)
Riešenie príkladu, ktorý je aspoň do istej miery podobný: viewtopic.php?t=579

Veci, ktoré som písal: http://msleziak.com/vyuka/2020/lag/20201116.zip
Priamka linka na video: https://web.microsoftstream.com/video/0 ... 5e8adb61a7