Zachovávanie inverzov a NP ešte neimplikuje homomorfizmus
Posted: Fri Nov 12, 2021 7:02 pm
V niektorých odovzdaných úlohách som našiel pokusy overiť, že $f$ je homomorfizmus, takým spôsobom, že ste overili, že sa zachovávajú inverzy a neutrálny prvok. T.j. že máte zobrazenie $f\colon G\to H$ také, že$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\newcommand{\Zobrto}[3]{#1\colon#2\mapsto#3}\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$
\begin{gather*}
f(1_G)=1_H\\
(\forall x\in G) f(\inv x)=\inv{f(x)}
\end{gather*}
(T.j. $f$ zachováva neutrálny prvok a aj inverzné prvky.)
Je pravda, že každý grupový homomorfizmus spĺňa tieto dve vlastnosti. (Toto je vlastne veta 1.27 z prednášky.)
Ale obrátene to neplatí - ak platia tieto dve vlastnosti, ešte $f$ nemusí byť homomorfizmus.
Môžete sa skúsiť zamyslieť nad tým, či viete nájsť nejaké kontrapríklady ukazujúce, že to neplatí. (A samozrejme, ak nejaké pekné príklady navrhnete, tak ich môžete ukázať ostatným kolegom napríklad aj tu na fóre.)
Ja tu nejaké príklady napíšem. Všetky budú skryté - nech pre ľudí, ktorí sa nad tým chcú radšej zamyslieť sami, neprezradím rovno riešenie. (Je možné, že tu píšem veci, ktoré sú veľmi jednoduché. Ale keď sa takéto vyskytlo - dokonca viac než v jednej odozvdanej úlohe - tak som si povedal, že sa to oplatí aj tak.)
V úlohe, kde sa takéto niečo vyskytlo ako argument, išlo v skutočnosti o to, či máme izomorfizmus. Takže nás o čosi viac budú zaujímať bijektívne príklady.
Všetky príklady, ktoré spomeniem, sa dajú nájsť aj tu: If $f$ preserves identity and inverses, is it necessarily a group homomorphism?. (Keď som opravoval d.ú., tak som si skúsil premyslieť nejaké kontrapríklady - ale skúsili som sa opýtať aj tu, či niekto nenavrhne nejaké, ktoré by boli obzvlášť pekné.)
Nie všetky z nich som rozpísal úplne detailne - stále tam zostali nejaké drobnosti na rozmyslenie aj pre vás.
Drobný všeobecný hint:
Myslím si, že z hintu, ktorý som uviedol vyššie, by ste mali byť schopní nájsť kopec ďalších príkladov. (Hlavne ak si pozriete niektoré z príkladov uvedených nižšie, tak nájsť nejaké ďalšie by malo už ísť ľahko.)
\begin{gather*}
f(1_G)=1_H\\
(\forall x\in G) f(\inv x)=\inv{f(x)}
\end{gather*}
(T.j. $f$ zachováva neutrálny prvok a aj inverzné prvky.)
Je pravda, že každý grupový homomorfizmus spĺňa tieto dve vlastnosti. (Toto je vlastne veta 1.27 z prednášky.)
Ale obrátene to neplatí - ak platia tieto dve vlastnosti, ešte $f$ nemusí byť homomorfizmus.
Môžete sa skúsiť zamyslieť nad tým, či viete nájsť nejaké kontrapríklady ukazujúce, že to neplatí. (A samozrejme, ak nejaké pekné príklady navrhnete, tak ich môžete ukázať ostatným kolegom napríklad aj tu na fóre.)
Ja tu nejaké príklady napíšem. Všetky budú skryté - nech pre ľudí, ktorí sa nad tým chcú radšej zamyslieť sami, neprezradím rovno riešenie. (Je možné, že tu píšem veci, ktoré sú veľmi jednoduché. Ale keď sa takéto vyskytlo - dokonca viac než v jednej odozvdanej úlohe - tak som si povedal, že sa to oplatí aj tak.)
V úlohe, kde sa takéto niečo vyskytlo ako argument, išlo v skutočnosti o to, či máme izomorfizmus. Takže nás o čosi viac budú zaujímať bijektívne príklady.
Všetky príklady, ktoré spomeniem, sa dajú nájsť aj tu: If $f$ preserves identity and inverses, is it necessarily a group homomorphism?. (Keď som opravoval d.ú., tak som si skúsil premyslieť nejaké kontrapríklady - ale skúsili som sa opýtať aj tu, či niekto nenavrhne nejaké, ktoré by boli obzvlášť pekné.)
Nie všetky z nich som rozpísal úplne detailne - stále tam zostali nejaké drobnosti na rozmyslenie aj pre vás.
Drobný všeobecný hint:
Spoiler: