V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)
Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)
Tu sa dá pozrieť, čo som stihol prebrať v minulosti:
viewtopic.php?t=1633
viewtopic.php?t=1397
viewtopic.php?t=1029
viewtopic.php?t=588
viewtopic.php?t=181
Prednášky LS 2022/23
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2022/23
1. prednáška (13.2):
Na začiatku som sa snažil aspoň trochu naznačiť aké veci zhruba budeme preberať na tomto predmete.
Ako jeden z príkladov som spomenul maticové vyjadrenie pre Fibonacciho čísla. Konkrétne to, ako sa tam dajú využiť vlastné čísla sa dá nájsť v texte k prednáške ako príklad 3.5.1. (Ale možno jednoduchšie je vydržať a počkať, kým budeme mať vybudovaný aparát, ktorý sa tam používa.)
Spomenuli sme aj rýchlejší výpočet mocniny pre čísla/matice - Exponentiation by squaring.
Potom sme sa začali venovať skalárnym súčinom, čo je prvá téma tohto semestra.
Euklidovský vektorový priestor. Definícia skalárneho súčinu, príklady, základné vlastnosti. Definícia veľkosti vektora a jej vlastnosti (Schwarzova nerovnosť, trojuholníková nerovnosť). Na konci som ešte zadefinoval kolmé (ortogonálne) vektory.
Na začiatku som sa snažil aspoň trochu naznačiť aké veci zhruba budeme preberať na tomto predmete.
Ako jeden z príkladov som spomenul maticové vyjadrenie pre Fibonacciho čísla. Konkrétne to, ako sa tam dajú využiť vlastné čísla sa dá nájsť v texte k prednáške ako príklad 3.5.1. (Ale možno jednoduchšie je vydržať a počkať, kým budeme mať vybudovaný aparát, ktorý sa tam používa.)
Spomenuli sme aj rýchlejší výpočet mocniny pre čísla/matice - Exponentiation by squaring.
Potom sme sa začali venovať skalárnym súčinom, čo je prvá téma tohto semestra.
Euklidovský vektorový priestor. Definícia skalárneho súčinu, príklady, základné vlastnosti. Definícia veľkosti vektora a jej vlastnosti (Schwarzova nerovnosť, trojuholníková nerovnosť). Na konci som ešte zadefinoval kolmé (ortogonálne) vektory.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2022/23
2. prednáška (20.2):
Ortogonálny doplnok: Definícia. Základné vlastnosti ortogonálneho doplnku. (Je to podpriestor; ortogonálny doplnok obracia inklúzie; ortogonálny doplnok lineárneho obalu; $(S+T)^\bot=S^\bot\cap T^\bot$.)
Ortonormálna báza: Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces a existencia ortonormálnej bázy. Každý vektor sa dá jednoznačne zapísať ako súčet vektora z $S$ a vektora z $S^\bot$. (T.j. $V=S\oplus S^\bot$.)
Trochu sme sa rozprávali aj o tom, ako to je v nekonečnorozmerných priestoroch - keďže ste sa ne nejaké veci okolo tohto pýtali.
Ortogonálny doplnok: Definícia. Základné vlastnosti ortogonálneho doplnku. (Je to podpriestor; ortogonálny doplnok obracia inklúzie; ortogonálny doplnok lineárneho obalu; $(S+T)^\bot=S^\bot\cap T^\bot$.)
Ortonormálna báza: Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces a existencia ortonormálnej bázy. Každý vektor sa dá jednoznačne zapísať ako súčet vektora z $S$ a vektora z $S^\bot$. (T.j. $V=S\oplus S^\bot$.)
Trochu sme sa rozprávali aj o tom, ako to je v nekonečnorozmerných priestoroch - keďže ste sa ne nejaké veci okolo tohto pýtali.
Spoiler:
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2022/23
3. prednáška (1.3.):
Ortogonálny doplnok: Ortogonálna projekcia. V konečnorozmere platí $V=S\oplus S^\bot$, $S=S^{\bot\bot}$ a $(S\cap T)^\bot=S^\bot+T^\bot$.
Spomenul som, že v nekonečnorozmerných priestoroch to vo všeobecnosti neplatí, kontrapríklad sme už videli na cviku a je a aj tu na fóre: viewtopic.php?t=1654
Ortonormálna báza. Ukázali sme si príklad na nájdenie ortonormálnej bázy zadaného podpriestoru v $\mathbb R^4$. (Cez Gram-Schmidtov proces aj pomocou sústav.)
Kvadratické formy. Definícia. Vyjadrenie pomocou symetrickej matice. Kongruentné matice. Každá kvadratická forma sa dá previesť na kanonický tvar. (Zatiaľ som toto tvrdenie iba vyslovil a nerobil som ešte všeobecný dôkaz - ale podstatné kroky dôkazu sme už videli na konkrétnych príkladoch.)
Ortogonálny doplnok: Ortogonálna projekcia. V konečnorozmere platí $V=S\oplus S^\bot$, $S=S^{\bot\bot}$ a $(S\cap T)^\bot=S^\bot+T^\bot$.
Spomenul som, že v nekonečnorozmerných priestoroch to vo všeobecnosti neplatí, kontrapríklad sme už videli na cviku a je a aj tu na fóre: viewtopic.php?t=1654
Ortonormálna báza. Ukázali sme si príklad na nájdenie ortonormálnej bázy zadaného podpriestoru v $\mathbb R^4$. (Cez Gram-Schmidtov proces aj pomocou sústav.)
Kvadratické formy. Definícia. Vyjadrenie pomocou symetrickej matice. Kongruentné matice. Každá kvadratická forma sa dá previesť na kanonický tvar. (Zatiaľ som toto tvrdenie iba vyslovil a nerobil som ešte všeobecný dôkaz - ale podstatné kroky dôkazu sme už videli na konkrétnych príkladoch.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2022/23
4. týždeň (6.3):
Kanonický tvar. Každá kvadratická forma sa dá upraviť na kanonický tvar.
Zákon zotrvačnosti. Ukázali sme, že kanonický tvar kvadratickej formy je až na zámenu premenných jednoznačný.
Sylvestrovo kritérium. Definícia kladnej a zápornej (semi)definitnosti. Ukázali sme si viacero podmienok ekvivalentných s tým, že daná symetrická matica je kladne definitná. Ako pomocné tvrdenie pri odvodení Sylvestrovho kritéria sme dostali, že ak sú rohové determinanty nenulové, tak symetrická matica $A$ je kongruentná s diagonálnou maticou $\operatorname{diag}(D_1,D_2/D_1,D_3/D_2,\dots,D_n/D_{n-1})$.
Na cviku aspoň stručne poviem niečo o tom, ako súvisí kladná (záporná) definitnosť s extrémami funkcií viac premenných. Viac sa o niečom takomto môžete dozvedieť na nejakých analytických predmetoch. Ale pridám aspoň linky na niektoré relevantné články na WP: Second partial derivative test a Hessian matrix. Niečo som napísal aj na fórum v časti k inému predmetu: viewtopic.php?t=1428
Kanonický tvar. Každá kvadratická forma sa dá upraviť na kanonický tvar.
Zákon zotrvačnosti. Ukázali sme, že kanonický tvar kvadratickej formy je až na zámenu premenných jednoznačný.
Sylvestrovo kritérium. Definícia kladnej a zápornej (semi)definitnosti. Ukázali sme si viacero podmienok ekvivalentných s tým, že daná symetrická matica je kladne definitná. Ako pomocné tvrdenie pri odvodení Sylvestrovho kritéria sme dostali, že ak sú rohové determinanty nenulové, tak symetrická matica $A$ je kongruentná s diagonálnou maticou $\operatorname{diag}(D_1,D_2/D_1,D_3/D_2,\dots,D_n/D_{n-1})$.
Na cviku aspoň stručne poviem niečo o tom, ako súvisí kladná (záporná) definitnosť s extrémami funkcií viac premenných. Viac sa o niečom takomto môžete dozvedieť na nejakých analytických predmetoch. Ale pridám aspoň linky na niektoré relevantné články na WP: Second partial derivative test a Hessian matrix. Niečo som napísal aj na fórum v časti k inému predmetu: viewtopic.php?t=1428
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2022/23
5. prednáška (13.3):
Matica prechodu. Definícia, matica prechodu opačným smerom, ako sa menia súradnice pri prechode k novej báze.
Matica zobrazenia pri danej báze. Definícia. Súradnice obrazu vektora. Ako vyzerá matica zobrazenia pri prechode k novej báze. Definícia podobnosti matíc.
Matica prechodu. Definícia, matica prechodu opačným smerom, ako sa menia súradnice pri prechode k novej báze.
Matica zobrazenia pri danej báze. Definícia. Súradnice obrazu vektora. Ako vyzerá matica zobrazenia pri prechode k novej báze. Definícia podobnosti matíc.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2022/23
6. prednáška (20.3.):
Podobnosť s diagonálnou maticou. Vlastné čísla, vlastné vektory, definícia charakteristického polynómu. Matica je podobná s diagonálnou práve vtedy, keď existuje báza zložená z vlastných vektorov. Vlastné vektory k rôznymi vlastným číslam sú lineárne nezávislé.
Podobné matice majú rovnaký charakteristický polynóm (a teda rovnaké vlastné čísla, determinant, stopu). Súvis niektorých koeficientov charakteristického polynómu so stopou a determinantom. Niečo k tejto téme je aj tu na fóre: viewtopic.php?t=642
Podobnosť s diagonálnou maticou. Vlastné čísla, vlastné vektory, definícia charakteristického polynómu. Matica je podobná s diagonálnou práve vtedy, keď existuje báza zložená z vlastných vektorov. Vlastné vektory k rôznymi vlastným číslam sú lineárne nezávislé.
Podobné matice majú rovnaký charakteristický polynóm (a teda rovnaké vlastné čísla, determinant, stopu). Súvis niektorých koeficientov charakteristického polynómu so stopou a determinantom. Niečo k tejto téme je aj tu na fóre: viewtopic.php?t=642
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2022/23
7. týždeň (27.3.):
Ortogonálna podobnosť. Zadefinovali sme ortogonálne matice a ortogonálnu podobnosť. (A vysvetlili sme si, že matica je ortogonálna p.v.k. riadky/stĺpce tvoria ortonormálnu bázu v $\mathbb R^n$.)
Dokázali sme Schurovu vetu a tiež to, že reálna symetrická matica má všetky vlastné hodnoty reálne. Z toho sme už dostali vetu o hlavných osiach.
Ešte sme ukázali, že pri symetrickej matici sú vlastné vektory prislúchajúce rôznym vlastným číslam na seba kolmé: viewtopic.php?t=1691
Ortogonálne matice. Transformácie zodpovedajúce ortogonálnym maticiam zachovávajú uhly (a teda aj veľkosť, kolmosť, uhol).
Na cvičeniach sa pozrieme na to, ako vyzerajú ortogonálne matice $2\times2$ a že zodpovedajúce transformácie sú rotácie a zloženia rotácie s osovou symetriou. (Zatiaľ sme si povedali, že na základe zachovávania dĺžky a kolmosti už máme aspoň nejakú geometrickú predstavu o tom, ako zhruba by mali vyzerať zodpovedajúce lineárne zobrazenia.)
Ortogonálna podobnosť. Zadefinovali sme ortogonálne matice a ortogonálnu podobnosť. (A vysvetlili sme si, že matica je ortogonálna p.v.k. riadky/stĺpce tvoria ortonormálnu bázu v $\mathbb R^n$.)
Dokázali sme Schurovu vetu a tiež to, že reálna symetrická matica má všetky vlastné hodnoty reálne. Z toho sme už dostali vetu o hlavných osiach.
Ešte sme ukázali, že pri symetrickej matici sú vlastné vektory prislúchajúce rôznym vlastným číslam na seba kolmé: viewtopic.php?t=1691
Ortogonálne matice. Transformácie zodpovedajúce ortogonálnym maticiam zachovávajú uhly (a teda aj veľkosť, kolmosť, uhol).
Na cvičeniach sa pozrieme na to, ako vyzerajú ortogonálne matice $2\times2$ a že zodpovedajúce transformácie sú rotácie a zloženia rotácie s osovou symetriou. (Zatiaľ sme si povedali, že na základe zachovávania dĺžky a kolmosti už máme aspoň nejakú geometrickú predstavu o tom, ako zhruba by mali vyzerať zodpovedajúce lineárne zobrazenia.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2022/23
8. týždeň (3.4.)
Cayley-Hamiltonova veta.
Dokázali sme Cayley-Hamiltonovu vetu.
Pozreli sme sa na ňu na príklade matice $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$. (Ako sme spomínali na úvodnej prednáške, táto matica súvisí s Fibonacciho postupnosťou. Ešte sa s ňou stretneme - pravdepodobne na cvičeniach.)
Z kapitoly 3.2 som nehovoril o spektrálnom rozklade matice - k nemu sa vrátim neskôr.
Jordanov normálny tvar. Povedali sme si ako vyzerá Jordanov normálny tvar a vyslovili (bez dôkazu) vetu o tom, že každá štvorcová matica nad poľom $\mathbb C$ je podobná s nejakou maticou v Jordanovom tvare (jednoznačne určenou až na poradie Jordanových blokov).
Ako konkrétny príklad sme vyskúšali pozrieť sa na všetky možné Jordanove tvary pre maticu takú, že $\chi_A(x)=(x-2)^2(x-3)^4$. (A na cvičení sa skúsime trochu pozrieť na niečo také, ako pre zadanú maticu nájdeme Jordanov tvar.)
Povedali sme si, aké vlastnosti majú riadky matice $P$ takej, že $PAP^{-1}=J$ (inak povedané, vektory z bázy, pri ktorej $\vec x\mapsto \vec xA$ bude mať maticu $J$). Videli sme, že každému bloku zodpovedá nejaký vlastný vektor.
Tiež sme si rozmysleli, že hodnosti mocnín $(A-\lambda I)^k$ nám určujú počty blokov jednotlivých veľkostí. O tomto je niečo napísané aj v texte k prednáške - a ak to náhodou pomôže pridám aj linku k veciam, ktoré sú tu na fóre (v časti k inému predmetu): viewtopic.php?t=1688
Cayley-Hamiltonova veta.
Dokázali sme Cayley-Hamiltonovu vetu.
Pozreli sme sa na ňu na príklade matice $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$. (Ako sme spomínali na úvodnej prednáške, táto matica súvisí s Fibonacciho postupnosťou. Ešte sa s ňou stretneme - pravdepodobne na cvičeniach.)
Z kapitoly 3.2 som nehovoril o spektrálnom rozklade matice - k nemu sa vrátim neskôr.
Jordanov normálny tvar. Povedali sme si ako vyzerá Jordanov normálny tvar a vyslovili (bez dôkazu) vetu o tom, že každá štvorcová matica nad poľom $\mathbb C$ je podobná s nejakou maticou v Jordanovom tvare (jednoznačne určenou až na poradie Jordanových blokov).
Ako konkrétny príklad sme vyskúšali pozrieť sa na všetky možné Jordanove tvary pre maticu takú, že $\chi_A(x)=(x-2)^2(x-3)^4$. (A na cvičení sa skúsime trochu pozrieť na niečo také, ako pre zadanú maticu nájdeme Jordanov tvar.)
Povedali sme si, aké vlastnosti majú riadky matice $P$ takej, že $PAP^{-1}=J$ (inak povedané, vektory z bázy, pri ktorej $\vec x\mapsto \vec xA$ bude mať maticu $J$). Videli sme, že každému bloku zodpovedá nejaký vlastný vektor.
Tiež sme si rozmysleli, že hodnosti mocnín $(A-\lambda I)^k$ nám určujú počty blokov jednotlivých veľkostí. O tomto je niečo napísané aj v texte k prednáške - a ak to náhodou pomôže pridám aj linku k veciam, ktoré sú tu na fóre (v časti k inému predmetu): viewtopic.php?t=1688
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2022/23
10.4. nebola výuka (veľkonočný pondelok)
9. prednáška (17.4.)
Kužeľosečky. Podľa toho, čo ste mi povedali, ste niektorí z vás o kužeľosečkách počuli viac, niektorí menej. Tak som chvíľu venoval tomu, že som porozprával nejaké stredoškolské veci. Dá sa povedať, že som porozprával zhruba to, čo je napríklad v tomto prehľade. (Reálne som potrebovali iba to, aby sme vedeli aké krivky predstavujú rovnice $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ a $2py=x^2$. Ale keď už sme sa trochu o kužeľosečkách začali rozprávať, tak sa mi zdalo vhodné povedať o nich aj nejaké iné zaujímavé veci.)
Krivky druhého rádu. Popis kriviek vyjadrených ako polynómy druhého stupňa v dvoch premenných. Invarianty kriviek druhého rádu (a ich vzťah k typu krivky). Ukázali sme si, že tieto krivky sú prienikom kužeľa a roviny. (Nerobil som však dôkaz, ktorý je uvedený v poznámkach, že vzájomná poloha roviny a kužeľa naozaj určuje typ krivky.)
Poznamenám, že časť o kužeľosečkách/krivkách druhého rádu je skôr na ilustráciu toho, že veci čo sme preberali sa dajú použiť na niečo zmysluplné. (Dostali sme pekný popis celkom širokej triedy kriviek, čo je z geometrického pohľadu azda aspoň trochu zaujímavé.)
To čo som spravil aspoň trochu poriadnejšie aj s nejakým (aspoň naznačeným) dôkazom bolo:
* Posunutím to vieme dostať do jednoduchšieho tvaru.
* $\delta$ sa nemení pri posunutí a otočení. (Nerobil som to však pre $\Delta$.)
* Ako závisí typ kužeľosečky od polohy roviny vzhľadom ku kužeľu s ktorým robíme prienik.
Vlastné čísla vs. stopa a determinant
Ak charakteristický polynóm má korene $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, tak platí $\operatorname{Tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n$ a
$\det(A)=\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n$. (T.j. stopa je súčet vlastných hodnôt a determinant sa rovná ich súčinu.)
Niečo k tomuto je aj tu: viewtopic.php?t=642
9. prednáška (17.4.)
Kužeľosečky. Podľa toho, čo ste mi povedali, ste niektorí z vás o kužeľosečkách počuli viac, niektorí menej. Tak som chvíľu venoval tomu, že som porozprával nejaké stredoškolské veci. Dá sa povedať, že som porozprával zhruba to, čo je napríklad v tomto prehľade. (Reálne som potrebovali iba to, aby sme vedeli aké krivky predstavujú rovnice $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ a $2py=x^2$. Ale keď už sme sa trochu o kužeľosečkách začali rozprávať, tak sa mi zdalo vhodné povedať o nich aj nejaké iné zaujímavé veci.)
Krivky druhého rádu. Popis kriviek vyjadrených ako polynómy druhého stupňa v dvoch premenných. Invarianty kriviek druhého rádu (a ich vzťah k typu krivky). Ukázali sme si, že tieto krivky sú prienikom kužeľa a roviny. (Nerobil som však dôkaz, ktorý je uvedený v poznámkach, že vzájomná poloha roviny a kužeľa naozaj určuje typ krivky.)
Poznamenám, že časť o kužeľosečkách/krivkách druhého rádu je skôr na ilustráciu toho, že veci čo sme preberali sa dajú použiť na niečo zmysluplné. (Dostali sme pekný popis celkom širokej triedy kriviek, čo je z geometrického pohľadu azda aspoň trochu zaujímavé.)
To čo som spravil aspoň trochu poriadnejšie aj s nejakým (aspoň naznačeným) dôkazom bolo:
* Posunutím to vieme dostať do jednoduchšieho tvaru.
* $\delta$ sa nemení pri posunutí a otočení. (Nerobil som to však pre $\Delta$.)
* Ako závisí typ kužeľosečky od polohy roviny vzhľadom ku kužeľu s ktorým robíme prienik.
Vlastné čísla vs. stopa a determinant
Ak charakteristický polynóm má korene $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, tak platí $\operatorname{Tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n$ a
$\det(A)=\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n$. (T.j. stopa je súčet vlastných hodnôt a determinant sa rovná ich súčinu.)
Niečo k tomuto je aj tu: viewtopic.php?t=642