msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Tu sa dá pozrieť, čo som stihol prebrať v minulosti:
viewtopic.php?t=1633
viewtopic.php?t=1397
viewtopic.php?t=1029
viewtopic.php?t=588
viewtopic.php?t=181

1. prednáška (13.2):
Na začiatku som sa snažil aspoň trochu naznačiť aké veci zhruba budeme preberať na tomto predmete.
Ako jeden z príkladov som spomenul maticové vyjadrenie pre Fibonacciho čísla. Konkrétne to, ako sa tam dajú využiť vlastné čísla sa dá nájsť v texte k prednáške ako príklad 3.5.1. (Ale možno jednoduchšie je vydržať a počkať, kým budeme mať vybudovaný aparát, ktorý sa tam používa.)
Spomenuli sme aj rýchlejší výpočet mocniny pre čísla/matice - Exponentiation by squaring.
Potom sme sa začali venovať skalárnym súčinom, čo je prvá téma tohto semestra.
Euklidovský vektorový priestor. Definícia skalárneho súčinu, príklady, základné vlastnosti. Definícia veľkosti vektora a jej vlastnosti (Schwarzova nerovnosť, trojuholníková nerovnosť). Na konci som ešte zadefinoval kolmé (ortogonálne) vektory.

2. prednáška (20.2):
Ortogonálny doplnok: Definícia. Základné vlastnosti ortogonálneho doplnku. (Je to podpriestor; ortogonálny doplnok obracia inklúzie; ortogonálny doplnok lineárneho obalu; $(S+T)^\bot=S^\bot\cap T^\bot$.)
Ortonormálna báza: Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces a existencia ortonormálnej bázy. Každý vektor sa dá jednoznačne zapísať ako súčet vektora z $S$ a vektora z $S^\bot$. (T.j. $V=S\oplus S^\bot$.)
Trochu sme sa rozprávali aj o tom, ako to je v nekonečnorozmerných priestoroch - keďže ste sa ne nejaké veci okolo tohto pýtali.

3. prednáška (1.3.):
Ortogonálny doplnok: Ortogonálna projekcia. V konečnorozmere platí $V=S\oplus S^\bot$, $S=S^{\bot\bot}$ a $(S\cap T)^\bot=S^\bot+T^\bot$.
Spomenul som, že v nekonečnorozmerných priestoroch to vo všeobecnosti neplatí, kontrapríklad sme už videli na cviku a je a aj tu na fóre: viewtopic.php?t=1654

Ortonormálna báza. Ukázali sme si príklad na nájdenie ortonormálnej bázy zadaného podpriestoru v $\mathbb R^4$. (Cez Gram-Schmidtov proces aj pomocou sústav.)

Kvadratické formy. Definícia. Vyjadrenie pomocou symetrickej matice. Kongruentné matice. Každá kvadratická forma sa dá previesť na kanonický tvar. (Zatiaľ som toto tvrdenie iba vyslovil a nerobil som ešte všeobecný dôkaz - ale podstatné kroky dôkazu sme už videli na konkrétnych príkladoch.)

4. týždeň (6.3):
Kanonický tvar. Každá kvadratická forma sa dá upraviť na kanonický tvar.
Zákon zotrvačnosti. Ukázali sme, že kanonický tvar kvadratickej formy je až na zámenu premenných jednoznačný.
Sylvestrovo kritérium. Definícia kladnej a zápornej (semi)definitnosti. Ukázali sme si viacero podmienok ekvivalentných s tým, že daná symetrická matica je kladne definitná. Ako pomocné tvrdenie pri odvodení Sylvestrovho kritéria sme dostali, že ak sú rohové determinanty nenulové, tak symetrická matica $A$ je kongruentná s diagonálnou maticou $\operatorname{diag}(D_1,D_2/D_1,D_3/D_2,\dots,D_n/D_{n-1})$.

Na cviku aspoň stručne poviem niečo o tom, ako súvisí kladná (záporná) definitnosť s extrémami funkcií viac premenných. Viac sa o niečom takomto môžete dozvedieť na nejakých analytických predmetoch. Ale pridám aspoň linky na niektoré relevantné články na WP: Second partial derivative test a Hessian matrix. Niečo som napísal aj na fórum v časti k inému predmetu: viewtopic.php?t=1428

5. prednáška (13.3):
Matica prechodu. Definícia, matica prechodu opačným smerom, ako sa menia súradnice pri prechode k novej báze.
Matica zobrazenia pri danej báze. Definícia. Súradnice obrazu vektora. Ako vyzerá matica zobrazenia pri prechode k novej báze. Definícia podobnosti matíc.

6. prednáška (20.3.):
Podobnosť s diagonálnou maticou. Vlastné čísla, vlastné vektory, definícia charakteristického polynómu. Matica je podobná s diagonálnou práve vtedy, keď existuje báza zložená z vlastných vektorov. Vlastné vektory k rôznymi vlastným číslam sú lineárne nezávislé.
Podobné matice majú rovnaký charakteristický polynóm (a teda rovnaké vlastné čísla, determinant, stopu). Súvis niektorých koeficientov charakteristického polynómu so stopou a determinantom. Niečo k tejto téme je aj tu na fóre: viewtopic.php?t=642

7. týždeň (27.3.):
Ortogonálna podobnosť. Zadefinovali sme ortogonálne matice a ortogonálnu podobnosť. (A vysvetlili sme si, že matica je ortogonálna p.v.k. riadky/stĺpce tvoria ortonormálnu bázu v $\mathbb R^n$.)
Dokázali sme Schurovu vetu a tiež to, že reálna symetrická matica má všetky vlastné hodnoty reálne. Z toho sme už dostali vetu o hlavných osiach.
Ešte sme ukázali, že pri symetrickej matici sú vlastné vektory prislúchajúce rôznym vlastným číslam na seba kolmé: viewtopic.php?t=1691

Ortogonálne matice. Transformácie zodpovedajúce ortogonálnym maticiam zachovávajú uhly (a teda aj veľkosť, kolmosť, uhol).
Na cvičeniach sa pozrieme na to, ako vyzerajú ortogonálne matice $2\times2$ a že zodpovedajúce transformácie sú rotácie a zloženia rotácie s osovou symetriou. (Zatiaľ sme si povedali, že na základe zachovávania dĺžky a kolmosti už máme aspoň nejakú geometrickú predstavu o tom, ako zhruba by mali vyzerať zodpovedajúce lineárne zobrazenia.)

8. týždeň (3.4.)
Cayley-Hamiltonova veta.
Dokázali sme Cayley-Hamiltonovu vetu.
Pozreli sme sa na ňu na príklade matice $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$. (Ako sme spomínali na úvodnej prednáške, táto matica súvisí s Fibonacciho postupnosťou. Ešte sa s ňou stretneme - pravdepodobne na cvičeniach.)
Z kapitoly 3.2 som nehovoril o spektrálnom rozklade matice - k nemu sa vrátim neskôr.

Jordanov normálny tvar. Povedali sme si ako vyzerá Jordanov normálny tvar a vyslovili (bez dôkazu) vetu o tom, že každá štvorcová matica nad poľom $\mathbb C$ je podobná s nejakou maticou v Jordanovom tvare (jednoznačne určenou až na poradie Jordanových blokov).
Ako konkrétny príklad sme vyskúšali pozrieť sa na všetky možné Jordanove tvary pre maticu takú, že $\chi_A(x)=(x-2)^2(x-3)^4$. (A na cvičení sa skúsime trochu pozrieť na niečo také, ako pre zadanú maticu nájdeme Jordanov tvar.)
Povedali sme si, aké vlastnosti majú riadky matice $P$ takej, že $PAP^{-1}=J$ (inak povedané, vektory z bázy, pri ktorej $\vec x\mapsto \vec xA$ bude mať maticu $J$). Videli sme, že každému bloku zodpovedá nejaký vlastný vektor.
Tiež sme si rozmysleli, že hodnosti mocnín $(A-\lambda I)^k$ nám určujú počty blokov jednotlivých veľkostí. O tomto je niečo napísané aj v texte k prednáške - a ak to náhodou pomôže pridám aj linku k veciam, ktoré sú tu na fóre (v časti k inému predmetu): viewtopic.php?t=1688

10.4. nebola výuka (veľkonočný pondelok)

9. prednáška (17.4.)
Kužeľosečky. Podľa toho, čo ste mi povedali, ste niektorí z vás o kužeľosečkách počuli viac, niektorí menej. Tak som chvíľu venoval tomu, že som porozprával nejaké stredoškolské veci. Dá sa povedať, že som porozprával zhruba to, čo je napríklad v tomto prehľade. (Reálne som potrebovali iba to, aby sme vedeli aké krivky predstavujú rovnice $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ a $2py=x^2$. Ale keď už sme sa trochu o kužeľosečkách začali rozprávať, tak sa mi zdalo vhodné povedať o nich aj nejaké iné zaujímavé veci.)
Krivky druhého rádu. Popis kriviek vyjadrených ako polynómy druhého stupňa v dvoch premenných. Invarianty kriviek druhého rádu (a ich vzťah k typu krivky). Ukázali sme si, že tieto krivky sú prienikom kužeľa a roviny. (Nerobil som však dôkaz, ktorý je uvedený v poznámkach, že vzájomná poloha roviny a kužeľa naozaj určuje typ krivky.)

Poznamenám, že časť o kužeľosečkách/krivkách druhého rádu je skôr na ilustráciu toho, že veci čo sme preberali sa dajú použiť na niečo zmysluplné. (Dostali sme pekný popis celkom širokej triedy kriviek, čo je z geometrického pohľadu azda aspoň trochu zaujímavé.)
To čo som spravil aspoň trochu poriadnejšie aj s nejakým (aspoň naznačeným) dôkazom bolo:
* Posunutím to vieme dostať do jednoduchšieho tvaru.
* $\delta$ sa nemení pri posunutí a otočení. (Nerobil som to však pre $\Delta$.)
* Ako závisí typ kužeľosečky od polohy roviny vzhľadom ku kužeľu s ktorým robíme prienik.

Vlastné čísla vs. stopa a determinant
Ak charakteristický polynóm má korene $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, tak platí $\operatorname{Tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n$ a
$\det(A)=\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n$. (T.j. stopa je súčet vlastných hodnôt a determinant sa rovná ich súčinu.)
Niečo k tomuto je aj tu: viewtopic.php?t=642