1. týždeň
Riešili sme úlohy na indukciu, rovnice s absolútnou hodnotou a pod.
Z tejto sady úloh sme stihli:
Úlohy 1, 2, 5, 7 z časti o celých číslach.
Úlohy 2 a 4 z časti o reálnych číslach.
Úlohy 2 a 3 z poslednej časti. (Iracionalitu $\sqrt2$, $\sqrt2+\sqrt3$.) Aj keď tieto sme už spravili naozaj iba veľmi rýchlo.
Dohodli sme sa, že na výberovom cviku budúci utorok treba počítať s krátkou písomkou, kde bude nejaký príklad na matematickú indukciu.
Výberové cviko: Malo by byť dekanské voľno kvôli imatrikulácii. Takže tento týždeň cviko odpadne.
Cvičenia ZS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
2. týždeň:
Výberové cviko: Skladanie zobrazení, injektívne a surjektívne zobrazenia.
Z týchto úloh sme riešili úlohy 1a,b,2a na skladanie zobrazení, úlohy 1, 2, 6 z časti o injektívnych, surjektívnych, bijektívnych zobrazeniach.
Na budúcej písomke treba počítať s úlohami týkajúcich sa tém, ktoré sme dnes prebrali. (Injekcie, surjekcie, bijekcie, skladanie.)
Povinné cviko: Prešli sme prvú sadu prednáškových úloh = 1.1.19(1),(5),(7),(9) a 1.2.9(1).
Ešte sme sa stihli pozrieť na úlohu 1.1.19(6) (bijekcia medzi $\mathbb N$ a $2\mathbb N$. (V súvislosti s tým sme si povedali, že jedna možnosť ako dokázať o zobrazení $f$, že je bijektívne, ja nájsť zobrazenie $g$ také, že $g\circ f=id$ a $f\circ g=id$. Ak sa nám to podarí, tak $f$ musí byť bijekcia - toto je presne dôsledok 1.1.16 v LAG1, veta 1.5 v G-K.)
Pozreli sme sa ešte na úlohu 9 z tejto sady úloh. Táto úloha dáva ekvivalentnú podmienku pre injektívnosť.
Nejaké riešenie tejto úlohy sa dá nájsť aj tu:
https://proofwiki.org/wiki/Injection_if ... ancellable
http://math.stackexchange.com/questions ... -injective
http://math.stackexchange.com/questions ... mplies-h-k
Výberové cviko: Skladanie zobrazení, injektívne a surjektívne zobrazenia.
Z týchto úloh sme riešili úlohy 1a,b,2a na skladanie zobrazení, úlohy 1, 2, 6 z časti o injektívnych, surjektívnych, bijektívnych zobrazeniach.
Na budúcej písomke treba počítať s úlohami týkajúcich sa tém, ktoré sme dnes prebrali. (Injekcie, surjekcie, bijekcie, skladanie.)
Povinné cviko: Prešli sme prvú sadu prednáškových úloh = 1.1.19(1),(5),(7),(9) a 1.2.9(1).
Ešte sme sa stihli pozrieť na úlohu 1.1.19(6) (bijekcia medzi $\mathbb N$ a $2\mathbb N$. (V súvislosti s tým sme si povedali, že jedna možnosť ako dokázať o zobrazení $f$, že je bijektívne, ja nájsť zobrazenie $g$ také, že $g\circ f=id$ a $f\circ g=id$. Ak sa nám to podarí, tak $f$ musí byť bijekcia - toto je presne dôsledok 1.1.16 v LAG1, veta 1.5 v G-K.)
Pozreli sme sa ešte na úlohu 9 z tejto sady úloh. Táto úloha dáva ekvivalentnú podmienku pre injektívnosť.
Nejaké riešenie tejto úlohy sa dá nájsť aj tu:
https://proofwiki.org/wiki/Injection_if ... ancellable
http://math.stackexchange.com/questions ... -injective
http://math.stackexchange.com/questions ... mplies-h-k
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
3. týždeň:
Výberové cviko:
Stihli sme sa pozrieť na nejaké úlohy typu: Overte, či množina so zadanou operáciou tvorí grupu (priamo z definície grupy). Konkrétne:
* $(\mathbb Z,\cdot)$ (celé čísla s obvyklým násobením)
* $(\mathbb R,\cdot)$ (reálne čísla s obvyklým násobením)
* $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$,
* $\mathbb R$ s operáciou $\ast$, $a\ast b=a+b-1$
* $\mathbb R\setminus\{-1\}$ s operáciou $\ast$, $a\ast b=ab+a+b$
* $G=\{z\in\mathbb C: |z|=1\}$ s obvyklým násobením komplexných čísel (Trochu sme sa pozreli aj na množinu $L=\{z\in\mathbb C: |z|=1\}$ s násobením, čo je úloha 1.4.6(1)).
Ešte sme stihli ukázať, že v grupe platia zákony o krátení. Ukázali sme si tiež, že pomocou nich vieme ukázať platnosť rovnosti $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ v ľubovoľnej grupe.
Nejaké príklady na binárne operácie a grupy opäť nájdete aj na stránke k cvičeniam.
Povinné cviko:
S výnimkou úlohy 1.5.17(3) sme prešli všetky príklady z prednulohy3. (T.j. na budúci týždeň sa vrátime k tejto úlohe a budeme riešiť prednulohy4 a prednulohy5.)
Výberové cviko:
Stihli sme sa pozrieť na nejaké úlohy typu: Overte, či množina so zadanou operáciou tvorí grupu (priamo z definície grupy). Konkrétne:
* $(\mathbb Z,\cdot)$ (celé čísla s obvyklým násobením)
* $(\mathbb R,\cdot)$ (reálne čísla s obvyklým násobením)
* $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$,
* $\mathbb R$ s operáciou $\ast$, $a\ast b=a+b-1$
* $\mathbb R\setminus\{-1\}$ s operáciou $\ast$, $a\ast b=ab+a+b$
* $G=\{z\in\mathbb C: |z|=1\}$ s obvyklým násobením komplexných čísel (Trochu sme sa pozreli aj na množinu $L=\{z\in\mathbb C: |z|=1\}$ s násobením, čo je úloha 1.4.6(1)).
Ešte sme stihli ukázať, že v grupe platia zákony o krátení. Ukázali sme si tiež, že pomocou nich vieme ukázať platnosť rovnosti $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ v ľubovoľnej grupe.
Nejaké príklady na binárne operácie a grupy opäť nájdete aj na stránke k cvičeniam.
Povinné cviko:
S výnimkou úlohy 1.5.17(3) sme prešli všetky príklady z prednulohy3. (T.j. na budúci týždeň sa vrátime k tejto úlohe a budeme riešiť prednulohy4 a prednulohy5.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
4. týždeň:
Výberové cviko:
Riešil sme otázku, či nejaké zadané grupy sú izomorfné - úlohy 2 a 5 z časti o homomorfizmoch v 03podgrp.pdf.
Zaoberali sme sa otázkou, či zadané relácia je relácia ekvivalencie (a trochu sme sa občas pozreli aj na to, ako vyzerá príslušný rozklad) . relácie v častiach c), d), g), j) v 04faktor.pdf.
Povinné cviko:
Nestihli sme vetu 1.7.6 a úlohu 1.7.8(10). Na ne sa teda dá stále prihlasovať. (Ak sa na vetu 1.7.6 neprihlási nikto, tak dôkaz skúsim vysvetliť ja.)
A chceli by sme na ďalšom cviku stihnúť celé prednulohy6 a prednulohy7.
Výberové cviko:
Riešil sme otázku, či nejaké zadané grupy sú izomorfné - úlohy 2 a 5 z časti o homomorfizmoch v 03podgrp.pdf.
Zaoberali sme sa otázkou, či zadané relácia je relácia ekvivalencie (a trochu sme sa občas pozreli aj na to, ako vyzerá príslušný rozklad) . relácie v častiach c), d), g), j) v 04faktor.pdf.
Povinné cviko:
Nestihli sme vetu 1.7.6 a úlohu 1.7.8(10). Na ne sa teda dá stále prihlasovať. (Ak sa na vetu 1.7.6 neprihlási nikto, tak dôkaz skúsim vysvetliť ja.)
A chceli by sme na ďalšom cviku stihnúť celé prednulohy6 a prednulohy7.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
5. týždeň:
Výberové cviko:
Písomka bola z relácií: viewtopic.php?t=504
Spravili sme dôkaz vety o tom, že $\mathbb Z/m\mathbb Z$ je pole práve vtedy, keď $m$ je prvočíslo.
Okrem toho sme stihli ešte jeden jednoduchý príklad faktorovej grupy (konkrétne $(\mathbb R\times\mathbb R,+)$ podľa podgrupy $\{(x,y)\in\mathbb R^2; x+2y=0\}$), o ktorej sme ukázali, že je izomorfná s grupou $(\mathbb R,+)$ aj priamo z definície a aj použitím vety o faktorovom izomorfizme.
Pretože som dnes stihol toho o čosi menej, ako som chcel, dohodli sme sa, že budúci utorok na výberovom cviku písomka nebude.
Povinné cviko:
Riešili sme prednulohy6 a prednulohy7. Úlohy 2.1.18(2) a 2.1.18(3) sme nestihli (dá sa na ne stále prihlasovať). Úlohy 1.7.8(1) a 2.1.18(9) sme na cviku neriešili, resp. prvú z nich sme si zhruba vysvetlili ale nerobili sme formálny dôkaz (matematickou indukciou). Zostali niekomu na odovzdanie.
Výberové cviko:
Písomka bola z relácií: viewtopic.php?t=504
Spravili sme dôkaz vety o tom, že $\mathbb Z/m\mathbb Z$ je pole práve vtedy, keď $m$ je prvočíslo.
Okrem toho sme stihli ešte jeden jednoduchý príklad faktorovej grupy (konkrétne $(\mathbb R\times\mathbb R,+)$ podľa podgrupy $\{(x,y)\in\mathbb R^2; x+2y=0\}$), o ktorej sme ukázali, že je izomorfná s grupou $(\mathbb R,+)$ aj priamo z definície a aj použitím vety o faktorovom izomorfizme.
Pretože som dnes stihol toho o čosi menej, ako som chcel, dohodli sme sa, že budúci utorok na výberovom cviku písomka nebude.
Povinné cviko:
Riešili sme prednulohy6 a prednulohy7. Úlohy 2.1.18(2) a 2.1.18(3) sme nestihli (dá sa na ne stále prihlasovať). Úlohy 1.7.8(1) a 2.1.18(9) sme na cviku neriešili, resp. prvú z nich sme si zhruba vysvetlili ale nerobili sme formálny dôkaz (matematickou indukciou). Zostali niekomu na odovzdanie.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
6. týždeň
Výberové cviko
Na dnešnom cviku nebola malá písomka.
Pozreli sme sa ne nejaké faktorové group, konkrétne$\newcommand{\R}{{\mathbb R}}\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}$
* Ak $G=(\Z_8,+)$, $H=4\Z_2=\{0,4\}$, tak $G/H=(\Z_4,+)$;\\
* Ak $G=(\R\setminus\{0\},\cdot)$, $H=\R^+$, tak $G/H \cong (\Z_2,+)$.
* Ak $G=(\R^*,\cdot)$, $H=\{\pm1\}$, tak $G/H \cong (\R^+,\cdot)$
(Posledné dva príklady som pridal aj na web do 04faktor.pdf, aby sme tam mali trochu viac príkladov, kde faktorizujeme nekonečnú grupu a netreba tam vedieť komplexné čísla.)
Pozreli sme sa na nejaké príklady polí z prvej úlohy v 05okruhy.pdf. Sú to úlohy takého typu ako tu: viewtopic.php?f=29&t=505
Ešte sme si ukázali, že v každom poli platí:
$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
$a^2=b^2 \Leftrightarrow a=\pm b$
Dôkaz sme už nestihli, ale trochu sme sa porozprávali aj o tom, že v každom poli platí binomická veta.
Treba počítať s malou písomkou, kde bude príklad na niektorú z tém, ktorým sme sa dnes venovali - faktorové grupy alebo polia.
Povinné cviko
Tento týždeň bude na povinnom cviku písomka.
Znamená to, že sa tento týždeň nedostaneme k prednákovým úlohám. Aby sme dobehli zameškané, tak budúci týždeň sa prednáškovým úlohám budeme venovať na utorkovom aj na štvrtkovom cviku. (T.j. na utorok treba počítať s úlohami z prednulohy8 a prednulohy9.)
Výberové cviko
Na dnešnom cviku nebola malá písomka.
Pozreli sme sa ne nejaké faktorové group, konkrétne$\newcommand{\R}{{\mathbb R}}\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}$
* Ak $G=(\Z_8,+)$, $H=4\Z_2=\{0,4\}$, tak $G/H=(\Z_4,+)$;\\
* Ak $G=(\R\setminus\{0\},\cdot)$, $H=\R^+$, tak $G/H \cong (\Z_2,+)$.
* Ak $G=(\R^*,\cdot)$, $H=\{\pm1\}$, tak $G/H \cong (\R^+,\cdot)$
(Posledné dva príklady som pridal aj na web do 04faktor.pdf, aby sme tam mali trochu viac príkladov, kde faktorizujeme nekonečnú grupu a netreba tam vedieť komplexné čísla.)
Pozreli sme sa na nejaké príklady polí z prvej úlohy v 05okruhy.pdf. Sú to úlohy takého typu ako tu: viewtopic.php?f=29&t=505
Ešte sme si ukázali, že v každom poli platí:
$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
$a^2=b^2 \Leftrightarrow a=\pm b$
Dôkaz sme už nestihli, ale trochu sme sa porozprávali aj o tom, že v každom poli platí binomická veta.
Treba počítať s malou písomkou, kde bude príklad na niektorú z tém, ktorým sme sa dnes venovali - faktorové grupy alebo polia.
Povinné cviko
Tento týždeň bude na povinnom cviku písomka.
Znamená to, že sa tento týždeň nedostaneme k prednákovým úlohám. Aby sme dobehli zameškané, tak budúci týždeň sa prednáškovým úlohám budeme venovať na utorkovom aj na štvrtkovom cviku. (T.j. na utorok treba počítať s úlohami z prednulohy8 a prednulohy9.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
6. týždeň
Výberové cviko
Písomka sa týkala polí: viewtopic.php?t=521
Riešili sme prednáškové úlohy z prednulohy8 a prednulohy9. (Z tej druhej sady sme nestihli 2.2.9(3), 2.2.9(7), 2.3.14(1).) Trochu sme sa porozprávali o tom, aké rozličné spôsoby máme k dispozícii na skúšku správnosti a tiež o tom, ako môžeme nájsť miesto, kde sa stala chyba, ak skúška nevychádza: viewtopic.php?t=522
Povinné cviko
Riešili sme úlohy z prednulohy 10 a prednulohy11.
Výberové cviko
Písomka sa týkala polí: viewtopic.php?t=521
Riešili sme prednáškové úlohy z prednulohy8 a prednulohy9. (Z tej druhej sady sme nestihli 2.2.9(3), 2.2.9(7), 2.3.14(1).) Trochu sme sa porozprávali o tom, aké rozličné spôsoby máme k dispozícii na skúšku správnosti a tiež o tom, ako môžeme nájsť miesto, kde sa stala chyba, ak skúška nevychádza: viewtopic.php?t=522
Povinné cviko
Riešili sme úlohy z prednulohy 10 a prednulohy11.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
7. týždeň
Výberové cviko
Doriešili sme prednáškové úlohy zo sady č.11.
Z týchto úloh sme vyriešili úlohu d) v časti venovanej súčtom podpriestorov.
Písomka bola na lineárnu závislosť/nezávislosť: viewtopic.php?f=29&t=529
(Dnešné cviko bolo "nepovinné", takže k tejto písomke nebudeme robiť náhradnú.)
Povinné cviko
Riešili sme úlohy z prednulohy12 a prednulohy13.
Nestihli sme úlohy 3.2.19(2) a 3.2.19(3) - tie by sme dokončili v utorok.
Na malej písomke treba počítať s niečím týkajúcim sa súčtov podpriestorov.
Výberové cviko
Doriešili sme prednáškové úlohy zo sady č.11.
Z týchto úloh sme vyriešili úlohu d) v časti venovanej súčtom podpriestorov.
Písomka bola na lineárnu závislosť/nezávislosť: viewtopic.php?f=29&t=529
(Dnešné cviko bolo "nepovinné", takže k tejto písomke nebudeme robiť náhradnú.)
Povinné cviko
Riešili sme úlohy z prednulohy12 a prednulohy13.
Nestihli sme úlohy 3.2.19(2) a 3.2.19(3) - tie by sme dokončili v utorok.
Na malej písomke treba počítať s niečím týkajúcim sa súčtov podpriestorov.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
8. týždeň
Výberové cviko
Písomka sa týkala súčtu podpriestorov: viewtopic.php?t=530
Doriešili sme prednáškové úlohy, ktoré sme nestihli minulý týždeň, t.j. 3.2.19(2), 3.2.19(3).
Z 09rtm.pdf sme prešli úlohy 1, 2, 3, 4.
Pri štvrtej úlohe sme si povedali, ako sa dá robiť aspoň čiastočná skúška správnosti pre úpravu na redukovaný stupňovitý tvar: viewtopic.php?f=29&t=531
Povinné cviko
Preriešili sme prednulohy14 a prednulohy15, nestihli sme iba úlohu 4.1.17(7). (Tá zostáva na utorok.)
Výberové cviko
Písomka sa týkala súčtu podpriestorov: viewtopic.php?t=530
Doriešili sme prednáškové úlohy, ktoré sme nestihli minulý týždeň, t.j. 3.2.19(2), 3.2.19(3).
Z 09rtm.pdf sme prešli úlohy 1, 2, 3, 4.
Pri štvrtej úlohe sme si povedali, ako sa dá robiť aspoň čiastočná skúška správnosti pre úpravu na redukovaný stupňovitý tvar: viewtopic.php?f=29&t=531
Povinné cviko
Preriešili sme prednulohy14 a prednulohy15, nestihli sme iba úlohu 4.1.17(7). (Tá zostáva na utorok.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2014/15 - 1MAT+1PMA1
9. týždeň
Výberové cviko
Písomka: Určiť, či vektor patrí do zadaného podpriestoru viewtopic.php?t=536
Na cviku sme z tejto sady úloh riešili hlavne úlohy týkajúce sa matice zobrazenia. Vlastne sme stihli prejsť všetky úlohy, ktoré tam sú - aj keď niektoré sme nerátali, len sme si povedali, čo dostaneme po úprave na redukovaný stupňovitý tvar a skúsili sme sa zamyslieť nad tým, čo na základe toho vieme povedať o matici lineárneho zobrazenia spĺňajúceho zadané podmienky.
Okrem toho sme sa ešte pozreli na to, že pre matice platí $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$, ale $A^2+2AB+B^2$ môže byť (ako sme videli na konkrétnom príklade) iná matica.
Povinné cviko
Riešili sme úlohy z prednulohy16 a prednulohy17. Z tej druhej sady sme nestihli 4.5.6(2), 4.5.6(3), 4.5.6(9).
Dohodli sme sa, že ak budete mať nachystané nejaké úlohy, ku ktorým sa treba vrátiť, tak utorkové cviko môžeme venovať aj opakovaniu pred písomkou. (Na začiatku ale normálne bude malá písomka, ako obvykle.)
Výberové cviko
Písomka: Určiť, či vektor patrí do zadaného podpriestoru viewtopic.php?t=536
Na cviku sme z tejto sady úloh riešili hlavne úlohy týkajúce sa matice zobrazenia. Vlastne sme stihli prejsť všetky úlohy, ktoré tam sú - aj keď niektoré sme nerátali, len sme si povedali, čo dostaneme po úprave na redukovaný stupňovitý tvar a skúsili sme sa zamyslieť nad tým, čo na základe toho vieme povedať o matici lineárneho zobrazenia spĺňajúceho zadané podmienky.
Okrem toho sme sa ešte pozreli na to, že pre matice platí $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$, ale $A^2+2AB+B^2$ môže byť (ako sme videli na konkrétnom príklade) iná matica.
Povinné cviko
Riešili sme úlohy z prednulohy16 a prednulohy17. Z tej druhej sady sme nestihli 4.5.6(2), 4.5.6(3), 4.5.6(9).
Dohodli sme sa, že ak budete mať nachystané nejaké úlohy, ku ktorým sa treba vrátiť, tak utorkové cviko môžeme venovať aj opakovaniu pred písomkou. (Na začiatku ale normálne bude malá písomka, ako obvykle.)