msleziak.com

Ešte napíšem trochu iný prístup ako sa táto dá vyriešiť - je špecifický pre tieto konkrétne polynómy, resp. pre polynómy podobného tvaru. Najprv sa pozrime na n.s.d exponentov. $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline 7 & 5 & \\\hline 1 & 0 & 7 \\\hline 0 & 1 & 5 \\\hline 1 &-1 &a...

Nájdite normovaný najväčší spoločný deliteľ $d(x)$ daných polynómov $f(x)$, $g(x)$ a nájdite $u(x)$, $v(x)$ také, že $d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$. \begin{align*} f(x)&=x^7-1\\ g(x)&=x^5-1 \end{align*} Najväčší spoločný deliteľ je $d(x)=x-1$. Polynómy $u(x)$, $v(x)$ nie sú určené jednoznačne; je...

Pre daný podpriestor $S$ priestoru $\mathbb R^4$ nájdite ortonormálnu bázu. (Pracujeme so štandardným skalárnym súčinom na $\mathbb R^4$.) $$S=[(2,1,0,-1),(0,1,2,2),(0,0,0,1)]$$ $\newcommand{\skal}[2]{\langle{\vec{#1}},{\vec{#2}}\rangle}\newcommand{\skl}[2]{\langle{#1},{#2}\rangle}$ Po úprave na re...

Pre polynómy $f(x)=x^4+4x^3+x^2-6x$, $g(x)=x^3+3x^2-3x-1$ nad poľom $\mathbb R$: a) Overte, že $1$ je koreňom oboch polynómov. b) Nájdite normovaný najväčší spoločný deliteľ $d(x)$ daných polynómov $f(x)$, $g(x)$ a nájdite $u(x)$, $v(x)$ také, že $d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$. Ak si všimneme, že $f(1)=g...

Pre polynóm $f(x)=6x^4-x^3+11x^2-2x-2$ nad poľom $\mathbb R$: a) Overte, že $\frac12$ je koreňom tohto polynómu. b) Nájdite všetky racionálne korene daného polynómu $f(x)$ a ich násobnosť. V časti a) stačí použiť Hornerovu schému. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 6 & -1 & 11 &a...

Takýchto úloh je na fóre vyriešených viacero - riešenie sem píšem len preto, aby si ľudia ktorým táto úloha nevyšla, mohli pozrieť ako sa dala riešiť. Pre danú maticu $A\in M_{3,3}(\mathbb R)$ nájdite regulárnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, aby platilo $PAP^{-1}=D$; alebo zdôvodnite, že ta...

Nemám výhrady k riešeniu, značím si 1 bod.
Tu je staršie riešenie tej istej úlohy: viewtopic.php?t=1525

Riešenie je fajn, značím si za túto úlohu 1 bod. Týmto som overil, že predpis je skalárny súčin. Všimnime si zároveň, že ak by sme si maticu $A\in M_{n,n}(\mathbb{R} ) $ predstavili ako vektor $\vekalf\in R^{n\cdot n}$, kde $a_{ij}=\vekalf_{(i-1)\cdot n + j}$ predpis zodpovedá štandardnému skalárnem...

Na https://msleziak.com/vyuka/2023/algtext/ je novšia verzia textu - ale nechal som tam aj tú, ktorá bola na začiatku semestra. Menil sa iba súbor alg.pdf - nie tie súbory, kde sú veci rozdelené na Algebru 1, 2, 3. Zmeny boli takmer výlučne v časti o okruhoch a polynómoch. Stručné zhrnutie čo sa zme...

8. prednáška (17.5.) Mriežky. Zadefinovali sme mriežku a fundamentálnu oblasť. Dokázali sme že ľubovoľné dve fundamentálne oblasti tej istej mriežky majú rovnaký objem. Minkowského veta a súčty štvorcov. Dokázali sme Minkowského vetu . Pomocou Minkowského vety sme dokázali výsledky o vyjadriteľnost...