Reflexívnosť, symetrickosť, tranzitívnosť

[Martin Sleziak]

V niektorých skupinách som dal zadanie, ktoré sa už vyskytlo a je k nemu niečo na fóre: viewtopic.php?t=753

Na fóre sa dá nájsť viacero úloh týkajúcich sa relácií ekvivalencie:
viewtopic.php?t=1340
viewtopic.php?t=1162
viewtopic.php?t=753
viewtopic.php?t=504

Sem napíšem niečo len k tým skupinám, ktorých príklady nie sú vyriešené v starších vláknach.

************

Zadanie:

Je relácia $R=\{(x,y)\in \mathbb R^2; x^2\ge y^2\}$ na množine $M=\mathbb R$ reflexívna, symetrická, tranzitívna? (Svoju odpoveď v~každej z~troch častí jasne označte a uveďte aj zdôvodenie -- buď vysvetlenie prečo daná vlastnosť platí alebo konkrétny kontrapríklad!)

Tento príklad je v podstate rovnaký ako úloha zo staršej písomky, kde bola relácia zadaná ako $|x|\ge|y|$.

Aj riešenie je takmer rovnaké, je to relácia ktorá je reflexívna aj tranzitívna, ale nie je symetrická.

Zadanie:

Je relácia $R=\{(x,y)\in \mathbb R^2; xy\ge0\}$ na množine $M=\mathbb R$ reflexívna, symetrická, tranzitívna? (Svoju odpoveď v~každej z~troch častí jasne označte a uveďte aj zdôvodenie -- buď vysvetlenie prečo daná vlastnosť platí alebo konkrétny kontrapríklad!)

Riešenie:

Relácia $R$ je reflexívna. Pre ľubovoľné $x\in\mathbb R$ platí $x^2\ge0$.

Relácia $R$ je symetrická. Stačí si uvedomiť, že $xy=yx$, čiže podmienky $xy\ge0$ a $yx\ge0$ sú ekvivalentné.

Relácia $R$ nie je tranzitívna. Máme napríklad $(1,0)\in R$, $(0,-1)\in R$ ale $(1,-1)\notin R$.

Môžeme si všimnúť, že kontrapríklad na tranzitívnosť kde nevystupuje nula by sme nenašli.
Ak totiž máme $xy\ge 0$ aj $yz\ge0$, tak dostaneme
$$xy^2z\ge0.$$
Pre nenulové $y$ z toho už vyplýva, že $xz\ge 0$. (Pretože $y^2>0$, môžeme týmto číslom v nerovnosti krátiť bez toho, aby sa znamienko nerovnosti zmenilo.)
Teda napríklad ak by sme mali reláciu zadanú rovnakou podmienkou ale na množine $\mathbb R\setminus\{0\}$, tak by to bola relácia ekvivalencie. (Vlastne to je v tomto prípade relácia, ktorá hovorí, že $x$ a $y$ majú rovnaké znamienko -- obe sú kladné alebo obe sú záporné.)

[Martin Sleziak]

Komentáre k riešeniam z písomiek:

V jednej písomke som si prečítal, že:

Relácia nie je tranzitívna, lebo má len dva prvky.

K tomuto dve poznámky.
To, že v definícii relácie sa vyskytli iba písmenká $x$ a $y$, ešte neznamená, že robíme iba s dvojprvkovou množinou. (Ak si poriadnejšie prečítate zadanie, tak vidíte že ide o reláciu na množine $\mathbb R$.)

Ale ešte môžem spomenúť inú vec, ktorá možno môže byť niektorým ľuďom nejasná. (Aspoň tak to vyzerá podľa toho, čo som spomenul vyššie.)
Ak sú nejaké veci v nejakej vete/definície označené rôznymi symbolmi, ešte to neznamená, že sú to rôzne objekty.

Môžeme sa na to pozrieť pri tranzitívnosti - aj keď tu to bude pomerne triviálne.
Tranzitívnosť hovorí, že
$$(\forall x,y,z\in M) (x,y)\in R \land (y,z)\in R \Rightarrow (x,z)\in R.$$
Má to platiť pre ľubovoľné $x$, $y$, $z$ -- teda napríklad aj $x=y$, či $y=z$. (A aj ak $x=y=z$.)
Môžeme si rozmyslieť, že ak $x=y=z$, tak táto podmienka je splnená určite. Vtedy vlastne chceme aby pre ľubovoľné $x\in M$ platilo
$$(x,x)\in R \land (x,x)\in R \Rightarrow (x,x)\in R.$$
Toto je iba trochu komplikovanejšie zapísaná implikácia $(x,x)\in R \Rightarrow (x,x)\in R$. Tá určite platí vždy, bez ohľadu na to, či $x$ je v relácii $x$ alebo nie. (Výrok $a\Rightarrow a$ je pravdivý bez ohľadu na pravdivostnú hodnotu výroku $a$.)

Z tohoto napríklad vidíme, že ľubovoľná relácia na jednoprvkovej množine je tranzitívna. (V skutočnosti tam nie je veľa možností - na jednoprvkovej množine máme iba dve možné relácie.)
Môžete sa zamyslieť nad tým, že na dvojprvkovej množine existujú relácie, ktoré sú tranzitívne, aj relácie, ktoré nie sú tranzitívne.

Spoiler:

Označme $M=\{0,1\}$.
Napríklad $R=\emptyset$ alebo $R=M\times M$ sú tranzitívne.
Relácie $R=\{(0,1),(1,0)\}$ je príklad relácie, ktorá nie je tranzitívna.

Poznámka o tom, že rôzne písmenká môžu predstavovať rovnaké veci platí všeobecne.
Takéto veci ste už vlastne stretli - aspoň nejaké príklady z tohoto predmetu.

• Keď sme pri definícii neutrálneho prvku mali, že pre ľubovoľné $e,x\in G$ má platiť $e*x=x$, tak z toho dostávame aj to, že $e*e=e$. (Ak zvolíme $x=e$.)
• V kritériu podgrupy máme, že pre ľubovoľné $x,y\in H$ platí $x*y^{-1}\in H$. Ak vieme, že $H$ je neprázdna množina, tak existuje aspoň jeden prvok $x\in H$. Ak použijeme uvedenú vlastnosť pre $y=x$, tak dostaneme, že $x*x^{-1}=e\in H$.