Videá s prednáškami

[Martin Sleziak]

Počas prerušenia prezenčnej výuky budem v tomto vlákne postupne zverejňovať linky na videá k prednáške - v týchto videách sa budem snažiť porozprávať zhruba to, čo by som hovoril reálne na prednáške. (A nejaké sem pridám nejaké ďalšie komentáre k jednotlivým častiam.)
Detailnejší pokec k tomu, ako bude teraz prebiehať výuka tohoto predmetu, nájdete tu: viewtopic.php?t=1504

Videá sa by mali byť k dispozícii vo formátoch mkv aj mp4. Formát mp4 by mal fungovať vo väčšine bežných prehrávačov, ak budete mať problém s formátom mkv, ten by mal prehrať napríklad VLC media player.

Videá budem zverejňovať zatiaľ na mojej stránke. Okrem toho videá vo formáte mp4 budem dávať na Google Drive: https://drive.google.com/open?id=1oTD23 ... LeD8zh0g2j (Tu by ste si ich mohli pozrieť aj bez toho aby ste si ich museli stiahnuť.)

Linky na stiahnutie jednotlivých videí sa dajú nájsť aj tu: http://msleziak.com/vid/temno/

[Martin Sleziak]

Kardinálna aritmetika

Poznámky, ktoré som písal vo videách nájdete tu: 04kard.zip.

Videá z tejto časti:
* 04kard_01ineqdobredef.mkv a 04kard_01ineqdobredef.mp4: Nerovnosť kardinálov je dobre definovaná.
* 04kard_02defkardaritm.mkv a 04kard_02defkardaritm.mp4: Definícia súčtu, súčinu, tieto operácie sú dobre definované; definícia $\aleph_0$ a $\mathfrak c$; rovnosť $|\mathcal P(X)|=2^{|X|}$.
* 04kard_03sucetsucin.mkv a 04kard_03sucetsucin.mp4: Vlastnosti súčtu a súčinu kardinálnych čísel.

K tomu, čo znamená že nejaká operácia je dobre definovaná: viewtopic.php?t=1237
Niektoré $\aleph_0=\aleph_0+1=\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0\cdot\aleph_0$ sa dajú povedať zábavnou formou ako Hilbertov hotel: viewtopic.php?t=467

[Martin Sleziak]

Kardinálna aritmetika - umocňovanie, príklady

Poznámky, ktoré som písal vo videách nájdete tu: 04kard2.zip.

Pridal som ďalšie tri videá:

• 04kard2_01umoc.mkv a 04kard2_01umoc.mp4: Vlastnosti umocňovania kardinálov.
• 04kard2_02umoc.mkv a 04kard2_02umoc.mp4: Dôkazy rovností $a^{b+c}=a^b\cdot a^c$, $a^{bc}=(a^b)^c$, $(ab)^c=a^c\cdot b^c$.
• 04kard2_03prikl.mkv a 04kard2_03prikl.mp4: Nejaké príklady na počítanie s kardinálnymi číslami.

Konkrétne vo videu s príkladmi nájdete riešenia týchto príkladov:
02:00 Ak $|A|=|B|$, tak $|\mathcal P(A)|=|\mathcal P(B)|$, ak k $|A|\le|B|$, tak $|\mathcal P(A)|\le|\mathcal P(B)|$. (Ako časť riešenia sme videli aj dôkaz inklúziu $f[f^{-1}[D]]\subseteq D$ a to že pre surjekcie platí rovnosť, inklúziu $C\subseteq f^{-1}[f[C]]$ a to, že pre injekcie platí rovnosť.)
30:40 $|A|\le|\mathcal P(A)|$
34:35 Čomu sa rovná $0^0$, $a^0$, $0^a$.
47:07 Dôkaz $\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0$ pomocou vzťahu medzi $\mathbb N$ a $\mathbb Z$.
52:47 Pokec k príkladom o kardinálnych číslach.
55:30 $\aleph_0\cdot\mathfrak c$
1:00:20 $\aleph_0^{\aleph_0}=\mathfrak c$
1:03:25 Kardinalita množín $|\mathbb N|^{|\mathbb R|}$ a $|\mathbb R|^{|\mathbb N|}$
1:12:20 $\mathfrak c^{\aleph_0}\cdot \mathfrak c^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}$
1:18:00 $(2^{\mathfrak c})^{2^{\mathfrak c}}=2^{2^{\mathfrak c}}$

Nejaké poznámky k $0^0$, $a^0$, $0^a$ nájdete tu: viewtopic.php?t=343
Ak sa chcete pozrieť na to, ktorým smerom vyjde nerovnosť medzi $a^b$ a $b^a$ pre reálne čísla: viewtopic.php?t=1249 (My sme niečo podobné robili pre nekonečné kardinály $a=\aleph_0$ a $b=\mathfrak c$.)

Z dôkazov $a^{b+c}=a^b\cdot a^c$, $a^{bc}=(a^b)^c$, $(ab)^c=a^c\cdot b^c$ na prednáške obvykle urobím len jeden - ako ukážku. (Do videa som dal ale všetky tri.) V princípe ich do istej miery môžete odignorovať - na to aby ste vedeli počítať príklady vám stačí vedieť, že tieto veci platia. Ale možno niektorých z vás bude zaujímať aj prečo tieto rovnosti platia aj pre nekonečné možnosti resp. ako by sa dokázali - takže ak máte chuť sa aspoň na niektorý z týchto troch dôkazov pozrieť, nájdete ho vo videu aj v poznámkach k prednáške.

Ak sa pozriete na témy prebraté v týchto videách, tak už poznáte veci ktoré vám stačia na zvládnutie domácich úloh až po d.u. 10.

[Martin Sleziak]

Kardinálna aritmetika - Cantorova veta, spočítateľné a nespočítateľné množiny

Poznámky, ktoré som písal vo videách nájdete tu: 04kard3.zip

Pridal som ďalšie videá:

• 04kard3_01cantor.mkv a 04kard3_01cantor.mp4: Cantorova veta a Cantorova diagonálna metóda.
• 04kard3_02spoc.mkv a 04kard3_02spoc.mp4: Spočítateľné a nespočítateľné množiny.
• 04kard3_03real.mkv a 04kard3_03real.mp4: Reálne čísla majú kardinalitu $\mathfrak c$.
• 04kard3_04aplik.mkv a 04kard3_04aplik.mp4: Algebraických čísel je spočítateľne veľa, a teda existujú aj transcendentné čísla. Existencia nevypočítateľných funkcií a existencia dĺžok, ktoré sa nedajú zostrojiť pomocou pravítka a kružidla.

*****

Explicitne napíšem, že vlastne som týmto dokončil všetky veci, ktoré preberám v "povinnej časti" semestra - t.j. všetko čo treba na písomku (ktorá ale tento semester nebude) a tiež všetko, čo vám stačí na vyriešenie domácich úloh, ktoré sú na stránke.

Budem sa snažiť pridať nejaké videá aj k niektorým z tých "nepovinných tém" - závisí to trochu aj od toho, ako budem stíhať ostatné veci.

*****

Pri dôkaze vecí o algebraických a transcendentných číslach som používal fakt, že polynóm stupňa $n$ má nanajvýš $n$ koreňov. Tento fakt by ste mali vedieť z algebry ešte z bakalárskeho štúdia, ale ak si chcete pripomenúť dôkaz, môžete sa pozrieť aj sem: viewtopic.php?t=1349

Niečo o konštrukciách pomocou pravítka a kružidla a o tom, ako to súvisí s rozšíreniami polí som aspoň stručne napísal sem: viewtopic.php?t=1532

Videli sme viacero dôkazov ktoré boli existenčné (nie konštruktívne). Dôkazy podobné tým, ktoré sme videli tu - kde ukážeme že nejaká množina je v istom zmysle väčšia ako jej podmnožina a preto musí byť niečo v rozdiele - sa vyskytujú v matematike často. Podobne ako sme to urobili mi, často sa využíva kardinalita. Ale niekedy sa používajú aj iné spôsoby, ako sa meria to, že niektorá z množín je väčšia. Niečo k existenčným dôkazom sa dá prečítať tu: viewtopic.php?t=856 (Pravdepodobne ste sa však s niektorými pojmami, ktoré sa tam vyskytujú, na učiteľskom štúdiu nestretli.)

[Martin Sleziak]

Budem sa snažiť postupne sem pridať aj nejaké videá z tej časti zo začiatku semestra (t.j. tie, ktoré tu z minula nie sú).
Zatiaľ sú na webe tieto:
* Prienik a zjednotenie systému množín
* Funkcie - opakovanie (definícia, injekcie, surjekcie, bijekcie, inverz)

Tentokrát som videá skúsil nahrať na YouTube - ak by sa ukázalo, že sú s nimi nejaké problémy, tak ich dám na Google Drive a na svoj web. (Podobne ako tie staršie videá.)

[Martin Sleziak]

Dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety.

Pridal som video s jedným dôkazom Cantor-Bernsteinovej vety: https://www.youtube.com/watch?v=-icTUMXxRpc
Veci, ktoré som písal: https://msleziak.com/vyuka/2021/temno/cantber.pdf

Sľúbil som, že časom sem možno pridám ešte jeden iný dôkaz: viewtopic.php?t=1275

EDIT: Tu je druhý dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety: https://www.youtube.com/watch?v=LOerbGoRnM0
Tu sú veci, ktoré som písal: https://msleziak.com/vyuka/2021/temno/2 ... antber.pdf