Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2022/23

[Martin Sleziak]

12. týždeň (6.12.)
Počítali sme príklady z 10lzob.pdf.

Jadro a obraz. Pozreli sme sa na úlohu ako vypočítať pre danú maticu jadro a obraz príslušného lineárneho zobrazenia - úloha 4.1. Úloha takéhoto typu je na fóre vypočítané napríklad tu: viewtopic.php?t=795
Pritom sme pripomenuli, že pre lineárne zobrazenie $f\colon V\to W$ platí $\dim(\operatorname{Ker} f)+\dim(\operatorname{Im} f)=\dim(V)$.

Inverzná matica. Ukázali sme si, ako hľadať inverznú maticu (úloha 5.1). Videli sme, že pri výpočte inverznej matice sa dá skúška urobiť aj uprostred výpočtu: viewtopic.php?t=531

Vyrátali sme jeden príklad na výpočet inverznej matice pre maticu obsahujúca parameter (úloha 5.5): viewtopic.php?t=1020 - konkrétne pre maticu $
A=\begin{pmatrix}
a & 1 & 1 & 1 \\
1 & a & 1 & 1 \\
1 & 1 & a & 1 \\
1 & 1 & 1 & a \\
\end{pmatrix}
$.
Tu sme videli postup, pri ktorom sme inverznú maticu dostali z rovnosti $A^2+bA+cI=0$ pre vhodné koeficienty $b$, $c$; t.j. vlastne na základe toho, že nejaký polynomický výraz po "dosadení" matice $A$ dáva nulu. Tak som na tomto mieste spomenul, že budúci semester budeme vidieť Cayley-Hamiltonovu vetu, z ktorej vyplýva, že pre maticu rozmerov $n\times n$ existuje polynóm stupňa nanajvýš $n$, ktorý ju vynuluje. (S tým, čo ste sa naučili tento semester, by ste mali byť schopný zdôvodniť, že určite existuje taký polynóm stupňa nanajvýš $n^2$.)

[Martin Sleziak]

13. týždeň (17.12.)
Počítali sme príklady z 10lzob.pdf.

Nájsť sústavu k danému podpriestoru. Riešili sme úlohu nájsť pre daný podpriestor $S$ sústavu takú, aby množina riešení bola rovná $S$. (Úloha 6.2.)
Viacero príkladov tohto typu je vypočítaných aj na fóre: viewtopic.php?t=1482 a viewtopic.php?t=412

Súčet a prienik podpriestorov. Pre dané priestory nájsť dimenziu a bázu $S+T$ a $S\cap T$. Pozreli sme sa na časť a z úlohy 6.3.
Nejaké príklady takéhoto typu sa dajú nájsť na fóre: viewtopic.php?t=816 a viewtopic.php?t=120
Okrem toho sme videli kontrapríklad ukazujúci, že pre tri podpriestory nefunguje vzorec podobný na Grassmannovu formulu.
MathOverflow: Examples of common false beliefs in mathematics

Maticová rovnica $AX=B$. Ešte sme sa pozreli na úlohu ako pre zadané $A$, $B$ hľadať maticu takú, že $AX=B$ (úloha 5.7). Opäť, niečo k úlohe tohto typu sa dá nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=812 a viewtopic.php?t=1619
Videli, že ak existuje inverzná matica, tak riešenie môžeme dostať ako $X=A^{-1}B$. Ale pozreli sme sa aj na to, ako takéto niečo riešiť, ak $A$ nie je regulárna.
Spomenuli sme, že platí $h(AB)\le h(A)$ a aj $h(AB)\le h(B)$. Niečo k tejto nerovnosti: viewtopic.php?t=828