Ak náhodou občas na konzultáciách narazíme na niečo, k čomu budem chcieť ešte niečo doplniť alebo pridať nejaké linky, tak to budem písať do tohoto topicu.
Info ku konzultáciám: viewtopic.php?t=1519
Poznámky k veciam z konzultácií
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5522
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Poznámky k veciam z konzultácií
Na dnešnom cviku sa v PU4/5 sa vyskytli matice, pomocou ktorých sadajú reprezentovať komplexné čísla.
Matica z PU4/6 sa trochu podobá na maticu, ktorá sa dá použiť na zavedenie kvaterniónov.
Niečo viac o tomto sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=571
Matica z PU4/6 sa trochu podobá na maticu, ktorá sa dá použiť na zavedenie kvaterniónov.
Niečo viac o tomto sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=571
-
Martin Sleziak
- Posts: 5522
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Poznámky k veciam z konzultácií
26. marca
Dnešné cviko/konzultácie (či už ako to nazvete).
Pozreli sme sa na príklad 4 z časti o afinných a barycentrických súradniciach v 01afin.pdf. T.j. na úlohu zistiť či body tvoria barycentrickú súradnicovú sústavu. Linky na úlohy podobného typu:
viewtopic.php?t=621
viewtopic.php?t=858
viewtopic.php?t=1081
viewtopic.php?t=1231
Úloha o vyjadrení kolinearity pomocou determinantu sa tiež do istej miery týka barycentrických súradníc - tú sme ale nakoniec preskočili: viewtopic.php?t=1243
Z 02vzaj.pdf sme sa pozreli najprv na úlohu 1.2c, kde sme z parametrického vyjadrenia chceli dostať všeobecné. Nejaká úloha podobného typu je napríklad tu: viewtopic.php?t=857
Keďže po cviku sa niekto pýtal na tento krok, tak pripomeniem, že minulý semester sme rátali niečo také, že sme k danému podpriestoru chceli nájsť homogénnu sústavu: viewtopic.php?t=1482 (Toto tu bolo vlastne ako prvý krok riešenia, potom sme ešte z homogénnej rovnice popisujúcej vektorovú zložku chceli dostať nehomogénnu popisujúcu bodovú zložku, na to stačilo upraviť pravé strany.)
Ešte sme sa pozreli na úlohu 1.1.a, kde sme hľadali vzájomnú polohu dvoch afinných podpriestorov.
Nemyslím si, že tam je napísané niečo veľmi podstatné - ale aj tak pridám linku na veci, ktoré som čarbal na "tabuľu": http://msleziak.com/vyuka/2019/lag2/20200326.zip
Pripomeniem, že viacero liniek na vyriešené úlohy z tém, ktorými sa zaoberáme teraz, sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=1509
Dnešné cviko/konzultácie (či už ako to nazvete).
Pozreli sme sa na príklad 4 z časti o afinných a barycentrických súradniciach v 01afin.pdf. T.j. na úlohu zistiť či body tvoria barycentrickú súradnicovú sústavu. Linky na úlohy podobného typu:
viewtopic.php?t=621
viewtopic.php?t=858
viewtopic.php?t=1081
viewtopic.php?t=1231
Úloha o vyjadrení kolinearity pomocou determinantu sa tiež do istej miery týka barycentrických súradníc - tú sme ale nakoniec preskočili: viewtopic.php?t=1243
Z 02vzaj.pdf sme sa pozreli najprv na úlohu 1.2c, kde sme z parametrického vyjadrenia chceli dostať všeobecné. Nejaká úloha podobného typu je napríklad tu: viewtopic.php?t=857
Keďže po cviku sa niekto pýtal na tento krok, tak pripomeniem, že minulý semester sme rátali niečo také, že sme k danému podpriestoru chceli nájsť homogénnu sústavu: viewtopic.php?t=1482 (Toto tu bolo vlastne ako prvý krok riešenia, potom sme ešte z homogénnej rovnice popisujúcej vektorovú zložku chceli dostať nehomogénnu popisujúcu bodovú zložku, na to stačilo upraviť pravé strany.)
Ešte sme sa pozreli na úlohu 1.1.a, kde sme hľadali vzájomnú polohu dvoch afinných podpriestorov.
Nemyslím si, že tam je napísané niečo veľmi podstatné - ale aj tak pridám linku na veci, ktoré som čarbal na "tabuľu": http://msleziak.com/vyuka/2019/lag2/20200326.zip
Pripomeniem, že viacero liniek na vyriešené úlohy z tém, ktorými sa zaoberáme teraz, sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=1509
-
Martin Sleziak
- Posts: 5522
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Poznámky k veciam z konzultácií
2. apríla
Z 04vzdial.pdf sme sa pozreli na úlohu 1.1. Toto je výsledok, ktorý sa nám bude hodiť často pri výpočtoch vzdialeností - namiesto rátania vzdialenosti môžeme jednoducho vyrátať dĺžku priemetu vektora $\overrightarrow{A_1A_2}$ do $V^\bot$, kde $V=V_1+V_2$. ($A_1$ je nejaký bod prvého podpriestoru, $V_1$ jeho vektorová zložka; podobne $A_2$, $V_2$ pre druhý podpriestor.)
Veľmi podobná vec je v úlohe 1.2 - hľadanie vzdialenosti dvoch afinných podpriestorov môžeme previesť na hľadanie vzdialenosti dvoch rovnobežných podpriestorov resp na hľadanie vzdialenosti bodu od podpriestoru.
Potom sme sa vrátili ešte ku vzájomným polohám. Z 02vzaj.pdf sme stihli druhý a siedmy príklad v časti vzájomné polohy.
Dohodli sme sa, že aj budúci štvrtok je cviko v rovnakom čase. (A ak by bolo treba ešte niečo konzultovať pred písomkou, tak sa dá na opýtať fóre, mailom alebo ak bude treba tak ešte môžeme skúsiť cez Google Meet.)
Zasharoval som video z cvičenia aj to čo som písal na "tabuľu", ak by sa Vám to náhodou hodilo. (V maile by ste mali nájsť link.)
Z 04vzdial.pdf sme sa pozreli na úlohu 1.1. Toto je výsledok, ktorý sa nám bude hodiť často pri výpočtoch vzdialeností - namiesto rátania vzdialenosti môžeme jednoducho vyrátať dĺžku priemetu vektora $\overrightarrow{A_1A_2}$ do $V^\bot$, kde $V=V_1+V_2$. ($A_1$ je nejaký bod prvého podpriestoru, $V_1$ jeho vektorová zložka; podobne $A_2$, $V_2$ pre druhý podpriestor.)
Veľmi podobná vec je v úlohe 1.2 - hľadanie vzdialenosti dvoch afinných podpriestorov môžeme previesť na hľadanie vzdialenosti dvoch rovnobežných podpriestorov resp na hľadanie vzdialenosti bodu od podpriestoru.
Potom sme sa vrátili ešte ku vzájomným polohám. Z 02vzaj.pdf sme stihli druhý a siedmy príklad v časti vzájomné polohy.
Dohodli sme sa, že aj budúci štvrtok je cviko v rovnakom čase. (A ak by bolo treba ešte niečo konzultovať pred písomkou, tak sa dá na opýtať fóre, mailom alebo ak bude treba tak ešte môžeme skúsiť cez Google Meet.)
Zasharoval som video z cvičenia aj to čo som písal na "tabuľu", ak by sa Vám to náhodou hodilo. (V maile by ste mali nájsť link.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5522
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Poznámky k veciam z konzultácií
9. apríla
Z 04vzdial.pdf sme prešli príklady 1.3, 1.4, 1.10, 1.8.
V 1.8 som chybne zrátal maticu projekcie, po oprave tejto matice sa už dostanete k správnemu výsledku.
Zasharoval som video z cvičenia aj to čo som písal na "tabuľu", ak by sa vám to náhodou hodilo. (Červeným sú tam v 1.8. opravené tie veci, čo som mal chybne.)
Dnes ste odo mňa dostali pozvánky z Google Calendar - za zbytočný mail sa ospravedlňujem, snažil som sa to urobiť bez posielania pozvánok ale evidentne sa nepodarilo.
Robil som to preto, že som si myslel, že keď vás tam pridám ako guestov, tak nebudem musieť schvaľovať pre všetkých vás, či sa tam môžete prihlásiť. Zdá sa, že to nefunguje pre všetkých. (Tiež som myslel, že sa vám môže hodiť takýto prístup bez potreby schvalovania aj ak by ste chceli tú linku na Google Meet použiť aj ak chcete niekedy o matike diskutovať medzi sebou.)
Z 04vzdial.pdf sme prešli príklady 1.3, 1.4, 1.10, 1.8.
V 1.8 som chybne zrátal maticu projekcie, po oprave tejto matice sa už dostanete k správnemu výsledku.
Spoiler:
Dnes ste odo mňa dostali pozvánky z Google Calendar - za zbytočný mail sa ospravedlňujem, snažil som sa to urobiť bez posielania pozvánok ale evidentne sa nepodarilo.
Robil som to preto, že som si myslel, že keď vás tam pridám ako guestov, tak nebudem musieť schvaľovať pre všetkých vás, či sa tam môžete prihlásiť. Zdá sa, že to nefunguje pre všetkých. (Tiež som myslel, že sa vám môže hodiť takýto prístup bez potreby schvalovania aj ak by ste chceli tú linku na Google Meet použiť aj ak chcete niekedy o matike diskutovať medzi sebou.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5522
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Poznámky k veciam z konzultácií
16. apríla
Zasharoval som na OneDrive video z cvičenia aj to čo som písal na "tabuľu", ak by sa vám to náhodou hodilo. (Červeným sú tam v 1.8. opravené tie veci, čo som mal chybne.)
Determinanty blokových matíc.
Príklad 20 z 11deter.pdf.
Videli sme, že pre determinanty blokových matíc platí:
$\begin{vmatrix}
A&0\\
B&C\end{vmatrix}=|A|\cdot|C|$
Opäť pridám aj nejaké linky:
* https://math.stackexchange.com/question ... eterminant
* https://math.stackexchange.com/question ... lar-matrix
Nejaké kontrapríklady, že to nefunguje ak nad/pod diagonálou nemám nulové bloky: viewtopic.php?t=918
Nasledujúci príklad 21 nám dáva vyjadrenie $\det(A) \det (D-C A^{-1} B)$ za predpokladu, že $A$ je regulárna. Môžete sa zamyslieť aj nad touto úlohou - mala by sa dať odvodiť tiež podobne, t.j. pomocou vynásobenia vhodných matíc.
Podobnosť matíc.
Ukázali sme si, že podobné matice majú rovnakú stopu a determinant. Pri tom sme použili to, že $\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)$.
Pozerali sme sa na príklady 1.1a,b z 05podob.pdf. Tam sme videli nejaké veci o podobnosti matice s diagonálnou maticou - viacero z týchto vecí bude ešte na prednáške detailnejšie.
Na fóre nájdete niečo k príkladu podobného typu: viewtopic.php?t=655
Niektoré veci, ku ktorým sa možno dostaneme nabudúce:
* Rekurencie ako ukážka problému, kde vcelku prirodzene vystupujú vlastné hodnoty a vlastné vektory: viewtopic.php?t=639
* Príklad 2.5: Ak každé $x\in\mathbb R^n$ je vlastný vektor matice $A$, čo vieme povedať o tejto matici?
* Príklad 2.7: Ak matica $A$ je podobná s $A$ a so žiadnou inou maticou, čo vieme povedať o tejto matici?
Zasharoval som na OneDrive video z cvičenia aj to čo som písal na "tabuľu", ak by sa vám to náhodou hodilo. (Červeným sú tam v 1.8. opravené tie veci, čo som mal chybne.)
Determinanty blokových matíc.
Príklad 20 z 11deter.pdf.
Videli sme, že pre determinanty blokových matíc platí:
$\begin{vmatrix}
A&0\\
B&C\end{vmatrix}=|A|\cdot|C|$
Opäť pridám aj nejaké linky:
* https://math.stackexchange.com/question ... eterminant
* https://math.stackexchange.com/question ... lar-matrix
Nejaké kontrapríklady, že to nefunguje ak nad/pod diagonálou nemám nulové bloky: viewtopic.php?t=918
Nasledujúci príklad 21 nám dáva vyjadrenie $\det(A) \det (D-C A^{-1} B)$ za predpokladu, že $A$ je regulárna. Môžete sa zamyslieť aj nad touto úlohou - mala by sa dať odvodiť tiež podobne, t.j. pomocou vynásobenia vhodných matíc.
Podobnosť matíc.
Ukázali sme si, že podobné matice majú rovnakú stopu a determinant. Pri tom sme použili to, že $\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)$.
Pozerali sme sa na príklady 1.1a,b z 05podob.pdf. Tam sme videli nejaké veci o podobnosti matice s diagonálnou maticou - viacero z týchto vecí bude ešte na prednáške detailnejšie.
Na fóre nájdete niečo k príkladu podobného typu: viewtopic.php?t=655
Niektoré veci, ku ktorým sa možno dostaneme nabudúce:
* Rekurencie ako ukážka problému, kde vcelku prirodzene vystupujú vlastné hodnoty a vlastné vektory: viewtopic.php?t=639
* Príklad 2.5: Ak každé $x\in\mathbb R^n$ je vlastný vektor matice $A$, čo vieme povedať o tejto matici?
* Príklad 2.7: Ak matica $A$ je podobná s $A$ a so žiadnou inou maticou, čo vieme povedať o tejto matici?
-
Martin Sleziak
- Posts: 5522
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Poznámky k veciam z konzultácií
30. apríla
Zasharoval som na OneDrive video z cvičenia aj to čo som písal na "tabuľu", ak by sa vám to náhodou hodilo. Dá sa to nájsť aj tu: 20200430.zip.
Jordanov tvar
Viacero úloh na Jordanov tvar nájdete vyriešených na fóre, linky sú zozbierané v tomto topicu: viewtopic.php?t=1509
Na začiatku sme zopakovali, ako sa dá zistiť či matica je podobná s diagonálnou. (A spomenul som, že to je špeciálny prípad Jodanovho tvaru a nejakých pár ďalších poznámok okolo toho.)
Potom sme sa pozreli na mocniny matíc tvaru
$$A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\qquad
B=\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & \lambda \\
\end{pmatrix}$$
Toto je prvý príklad v 06jordan.pdf.
Spomenuli sme si, že binomická veta v tvare $(X+Y)^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom nk X^{n-k}Y^k$ funguje pre matice také, že $XY=YX$, t.j. ak matice $X$ a $Y$ komutujú. To nám môže pomôcť pri dôkaze toho ako vyzerajú mocniny $B^n=(\lambda I+A)^n$.
Pridám aj nejaké linky:
* Wikipédia: Jordan normal form § Matrix functions (current revision)
* MSE: Why does the n-th power of a Jordan matrix involve the binomial coefficient?
Trochu sme sa rozprávali aj o tom, prečo sa počty blokov nejakých veľkostí dajú zistiť s hodností mocnín matice $A-\lambda I$. (Podstatné bolo uvedomiť si, že matica matica $(A-\lambda I)^k$ je podobná s $(J-\lambda I)^k$ a potom už zostávalo uvedomiť si ako vyzerajú mocniny matice $J-\lambda I$, ak $J$ už je v Jordanovom tvare.)
Prepočítali sme dve úlohy na Jordanov tvar, konkrétne 2a a 2d z 06jordan.pdf.
Pretože budeme v tejto časti semestra pomerne často riešiť úlohy, kde bude treba vypočítať charakteristický polynóm a jeho korene, tak tu sú nejaké veci užitočné pri hľadaní koreňov: viewtopic.php?t=890 (Postupne by sme mali viaceré z nich na cviku spomenúť.)
Neskôr by sme sa chceli dostať aj k príkladom, kde budú rozmery matíc väčšie. (V tých čo sme počítali zatiaľ sme mali najviac dvojnásobnú vlastnú hodnotu.)
A trochu by sme sa chceli porozprávať aj o tom, ako by sme našli maticu $P$ takú, že $PAP^{-1}=J$. (Zatiaľ to vieme spraviť v prípade, že $J$ je diagonálna matica.)
Zasharoval som na OneDrive video z cvičenia aj to čo som písal na "tabuľu", ak by sa vám to náhodou hodilo. Dá sa to nájsť aj tu: 20200430.zip.
Jordanov tvar
Viacero úloh na Jordanov tvar nájdete vyriešených na fóre, linky sú zozbierané v tomto topicu: viewtopic.php?t=1509
Na začiatku sme zopakovali, ako sa dá zistiť či matica je podobná s diagonálnou. (A spomenul som, že to je špeciálny prípad Jodanovho tvaru a nejakých pár ďalších poznámok okolo toho.)
Potom sme sa pozreli na mocniny matíc tvaru
$$A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\qquad
B=\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & \lambda \\
\end{pmatrix}$$
Toto je prvý príklad v 06jordan.pdf.
Spomenuli sme si, že binomická veta v tvare $(X+Y)^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom nk X^{n-k}Y^k$ funguje pre matice také, že $XY=YX$, t.j. ak matice $X$ a $Y$ komutujú. To nám môže pomôcť pri dôkaze toho ako vyzerajú mocniny $B^n=(\lambda I+A)^n$.
Pridám aj nejaké linky:
* Wikipédia: Jordan normal form § Matrix functions (current revision)
* MSE: Why does the n-th power of a Jordan matrix involve the binomial coefficient?
Trochu sme sa rozprávali aj o tom, prečo sa počty blokov nejakých veľkostí dajú zistiť s hodností mocnín matice $A-\lambda I$. (Podstatné bolo uvedomiť si, že matica matica $(A-\lambda I)^k$ je podobná s $(J-\lambda I)^k$ a potom už zostávalo uvedomiť si ako vyzerajú mocniny matice $J-\lambda I$, ak $J$ už je v Jordanovom tvare.)
Prepočítali sme dve úlohy na Jordanov tvar, konkrétne 2a a 2d z 06jordan.pdf.
Pretože budeme v tejto časti semestra pomerne často riešiť úlohy, kde bude treba vypočítať charakteristický polynóm a jeho korene, tak tu sú nejaké veci užitočné pri hľadaní koreňov: viewtopic.php?t=890 (Postupne by sme mali viaceré z nich na cviku spomenúť.)
Neskôr by sme sa chceli dostať aj k príkladom, kde budú rozmery matíc väčšie. (V tých čo sme počítali zatiaľ sme mali najviac dvojnásobnú vlastnú hodnotu.)
A trochu by sme sa chceli porozprávať aj o tom, ako by sme našli maticu $P$ takú, že $PAP^{-1}=J$. (Zatiaľ to vieme spraviť v prípade, že $J$ je diagonálna matica.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5522
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Poznámky k veciam z konzultácií
7. mája
Zasharoval som na OneDrive video z cvičenia aj to čo som písal na "tabuľu", ak by sa vám to náhodou hodilo. Dá sa to nájsť aj tu: 20200507.zip.
Dnes som ale zväčša písal v overleafe: https://www.overleaf.com/read/xzszszbvrsgh
Jordanov tvar
Na začiatku sme hovorili o tom, ako vyzerajú možnosti pre Jordanov tvar $2\times2$, $3\times3$ a $4\times4$ s jediným vlastným číslom.
Potom sme sa pozreli na nájdenie Jordanovho tvaru (a aj matice prechodu) pre maticu $3\times3$ a $4\times4$ s jedinou vlastnou hodnotou. (Konkrétne to boli úlohy 4c a 2f z 06jordan.pdf.)
Pripomeniem, že na fóre môžete nájsť vyriešených viacero príkladov na Jordanov tvar: viewtopic.php?t=1509
Zasharoval som na OneDrive video z cvičenia aj to čo som písal na "tabuľu", ak by sa vám to náhodou hodilo. Dá sa to nájsť aj tu: 20200507.zip.
Dnes som ale zväčša písal v overleafe: https://www.overleaf.com/read/xzszszbvrsgh
Jordanov tvar
Na začiatku sme hovorili o tom, ako vyzerajú možnosti pre Jordanov tvar $2\times2$, $3\times3$ a $4\times4$ s jediným vlastným číslom.
Potom sme sa pozreli na nájdenie Jordanovho tvaru (a aj matice prechodu) pre maticu $3\times3$ a $4\times4$ s jedinou vlastnou hodnotou. (Konkrétne to boli úlohy 4c a 2f z 06jordan.pdf.)
Pripomeniem, že na fóre môžete nájsť vyriešených viacero príkladov na Jordanov tvar: viewtopic.php?t=1509
-
Martin Sleziak
- Posts: 5522
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Poznámky k veciam z konzultácií
14. mája
Zasharoval som na OneDrive video z cvičenia aj to čo som písal na "tabuľu", ak by sa vám to náhodou hodilo. Dá sa to nájsť aj tu: 20200514.zip.
Dnes som ale zväčša písal v overleafe: https://www.overleaf.com/read/xzszszbvrsgh
Kvadratické formy
Pozreli sme sa na niektoré úlohy z 1.1. v: 07kvadform.pdf.
Konkrétne sme pre nejaké kvadratické formy našli kanonický tvar a príslušnú diagonálnu maticu. Urobili sme to doplnením na štvorec a aj pomocou riadkových a stĺpcových operácií. (Ukázali sme si aj ako sa to dá urobiť, ak máme na diagonálne nuly.)
Niečo o súvise medzi kvadratickými formami a extrémami funkcií viac premenných sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=1428 Nejaké príklady na hľadanie minima/maxima aspoň v prípade keď má daná funkcia tvar kvadratickej formy sa dajú nájsť v 07kvadform.pdf. (Tieto príklady skôr berte ako príklady "navyše" - ako ukážku, že nejaké aspoň trochu zaujímavé veci vieme spočítať s tým, čo sme sa na lineárke naučili.) Neskôr, keď sa budete učiť diferenciálny počet pre funkcie viac premenných, budete riešiť úlohy takéhoto typu aj s komplikovanejšími funkciami.
Zasharoval som na OneDrive video z cvičenia aj to čo som písal na "tabuľu", ak by sa vám to náhodou hodilo. Dá sa to nájsť aj tu: 20200514.zip.
Dnes som ale zväčša písal v overleafe: https://www.overleaf.com/read/xzszszbvrsgh
Kvadratické formy
Pozreli sme sa na niektoré úlohy z 1.1. v: 07kvadform.pdf.
Konkrétne sme pre nejaké kvadratické formy našli kanonický tvar a príslušnú diagonálnu maticu. Urobili sme to doplnením na štvorec a aj pomocou riadkových a stĺpcových operácií. (Ukázali sme si aj ako sa to dá urobiť, ak máme na diagonálne nuly.)
Niečo o súvise medzi kvadratickými formami a extrémami funkcií viac premenných sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=1428 Nejaké príklady na hľadanie minima/maxima aspoň v prípade keď má daná funkcia tvar kvadratickej formy sa dajú nájsť v 07kvadform.pdf. (Tieto príklady skôr berte ako príklady "navyše" - ako ukážku, že nejaké aspoň trochu zaujímavé veci vieme spočítať s tým, čo sme sa na lineárke naučili.) Neskôr, keď sa budete učiť diferenciálny počet pre funkcie viac premenných, budete riešiť úlohy takéhoto typu aj s komplikovanejšími funkciami.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5522
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Poznámky k veciam z konzultácií
21. mája
Zasharoval som na OneDrive video z cvičenia aj to čo som písal na "tabuľu", ak by sa vám to náhodou hodilo. Dá sa to nájsť aj tu: 20200521.zip. (Dnes u mňa nejako vypadávalo pripojenie, takže prinajmenšom jedno video je chvíľu bez prezentovania. Každopádne, niečo to nahralo.)
Ortogonálna podobnosť.
Na začiatku som zopakoval niečo o ortogonálnych maticiach. (Riadky sú na seba kolmé a majú jednotkovú veľkosť. Geometricky sú to zobrazenia, ktoré zachovávajú skalárny súčin - a teda zachovávajú uhly aj kolmosť.)
Pozreli sme sa na nejaké príklady na ortogonálnu podobnosť - t.j. nájsť ortogonálnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, že $PAP^T=D$. Konkrétne to boli úlohy h) a k) z 1.12 v 07kvadform.pdf.
V jednom prípade vyšli rôzne vlastné hodnoty. V druhom prípade bola jedna vlastná hodnota dvojnásobná, vlastné vektory k nej bolo treba ešte ortogonalizovať.
Pripomeniem, že nejaké takéto príklady sú vyriešené na fóre, napríklad: viewtopic.php?t=893 viewtopic.php?t=691
Pozreli sme sa na dôkaz toho, že vlastné vektory k rôznym vlastným hodnotám sú na seba kolmé (pre reálnu symetrickú maticu). Nenašiel som v zelenej knihe úplne presne túto vetu. Ak sa ale pozriete na dôkaz vety 16.4, tak dôkaz sa dá bez zmeny zopakovať pre dve rôzne vlastné hodnoty. (T.j. napríklad pre maticu s ktorou sme robili vieme, že ľubovoľný vlastný vektor k $1$ je kolmý na každý vlastný vektor k $7$. Ale spomedzi vlastných vektorov $1$ sme ešte potrebovali nejako vybrať ortogonálne.)
Dôkaz tohoto faktu sa dá nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=1691
Krivky druhého rádu.
Pozreli sme sa na nejakú krivku druhé rádu - ako vieme zistiť, či je to elipsa/hyperbola/parabola a ktorým smerom idú osi. (Odignorovali sme ale lineárnu časť - čiže tvárili sme sa, že už ju máme posunutú tak, že stred je v $(0,0)$.)
Pridám aj linky na WA: krivka ktorú sme kreslili, posunutá krivka, posunutá krivka s nakreslenými osami.
Zasharoval som na OneDrive video z cvičenia aj to čo som písal na "tabuľu", ak by sa vám to náhodou hodilo. Dá sa to nájsť aj tu: 20200521.zip. (Dnes u mňa nejako vypadávalo pripojenie, takže prinajmenšom jedno video je chvíľu bez prezentovania. Každopádne, niečo to nahralo.)
Ortogonálna podobnosť.
Na začiatku som zopakoval niečo o ortogonálnych maticiach. (Riadky sú na seba kolmé a majú jednotkovú veľkosť. Geometricky sú to zobrazenia, ktoré zachovávajú skalárny súčin - a teda zachovávajú uhly aj kolmosť.)
Pozreli sme sa na nejaké príklady na ortogonálnu podobnosť - t.j. nájsť ortogonálnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, že $PAP^T=D$. Konkrétne to boli úlohy h) a k) z 1.12 v 07kvadform.pdf.
V jednom prípade vyšli rôzne vlastné hodnoty. V druhom prípade bola jedna vlastná hodnota dvojnásobná, vlastné vektory k nej bolo treba ešte ortogonalizovať.
Pripomeniem, že nejaké takéto príklady sú vyriešené na fóre, napríklad: viewtopic.php?t=893 viewtopic.php?t=691
Pozreli sme sa na dôkaz toho, že vlastné vektory k rôznym vlastným hodnotám sú na seba kolmé (pre reálnu symetrickú maticu). Nenašiel som v zelenej knihe úplne presne túto vetu. Ak sa ale pozriete na dôkaz vety 16.4, tak dôkaz sa dá bez zmeny zopakovať pre dve rôzne vlastné hodnoty. (T.j. napríklad pre maticu s ktorou sme robili vieme, že ľubovoľný vlastný vektor k $1$ je kolmý na každý vlastný vektor k $7$. Ale spomedzi vlastných vektorov $1$ sme ešte potrebovali nejako vybrať ortogonálne.)
Dôkaz tohoto faktu sa dá nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=1691
Krivky druhého rádu.
Pozreli sme sa na nejakú krivku druhé rádu - ako vieme zistiť, či je to elipsa/hyperbola/parabola a ktorým smerom idú osi. (Odignorovali sme ale lineárnu časť - čiže tvárili sme sa, že už ju máme posunutú tak, že stred je v $(0,0)$.)
Pridám aj linky na WA: krivka ktorú sme kreslili, posunutá krivka, posunutá krivka s nakreslenými osami.