Nerovnosť $(n+1)^n < n^{n+1}$

[Martin Sleziak]

Dokážte matematickou indukciou, že pre prirodzené čísla $n\ge 3$ platí:
$$(n+1)^n < n^{n+1}.$$

Spomeniem aj to, že táto nerovnosť sa ekvivalentne dá prepísať ako
$$\left(1+\frac1n\right)^n < n.$$
Postupnosť $a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$ veľmi úzko súvisí s číslom $e$ a budete s ňou pomerne veľa pracovať na matematickej analýze.

A túto nerovnosť môžeme zapísať aj ako $$\sqrt[n+1]{n+1} < \sqrt[n]n.$$ Teda vlastne o postupnosti $b_n=\sqrt[n]n$ ukazujeme, že je klesajúca (od istého člena).

Snáď je jasné, že uvedené podoby sú naozaj navzájom ekvivalentné. (Zdalo sa mi rozumné ich spomenúť - každá z nich je do istej miery zaujímavá.)

Nejaké možnosti riešenia napíšem nižšie. A kadečo sa dá pozrieť napríklad na týchto linkách. (A určite veľa podobných vecí nájdete online.)

• Prove by induction that for all $n \geq 3$: $n^{n+1} > (n+1)^n$
• Math Induction Proof: $(1+\frac1n)^n < n$
• Induction: $n^{n+1} > (n+1)^n$ and $(n!)^2 \leq \left(\frac{(n + 1)(2n + 1)}{6}\right)^n$

Vlastne keď sme dokázali takúto nerovnosť tak vieme bez počítania povedať, ktoré z čísel $100^{101}$ a $101^{100}$ je väčšie. (Podobne pre $1000^{1001}$ a $1001^{1000}$ a akékoľvek iné prirodzené čísla.)
Asi je vcelku prirodzená otázka, že či aj v nejakých ďalších prípadoch vieme povedať, ako je to s nerovnosťou pri výmene základu a exponentu. (Niekedy môže nastať aj rovnosť, jednoduchý príklad je $2^4=4^2$.)
Niečo o tom sa dá nájsť aj tu na fóre - ja to spomeniem ako úlohu, ktorá by mohla byť riešiteľná, keď sa na analýze naučíte nejaké základné veci o vyšetrovaní priebehov funkcií pomocou derivácie: Porovnanie $a^b$ a $b^a$.

Nejaké staršie úlohy, ktoré sa vyskytli na tom to predmet a tiež sa týkajú indukcie, sa dajú nájsť tu:
viewtopic.php?t=484
viewtopic.php?t=948

[Martin Sleziak]

V nasledujúcich riešeniach budem rôzne nerovnosti násobiť, deliť, umocňovať a podobne.
Nebudem vždy zdôrazňovať prečo ide o ekvivalentné úpravy (resp. prečo nemusím otáčať smer nerovnosti) - výrazy ktorými násobíme sme dostali z prirodzených čísel a dá sa skontrolovať, že sú kladné.

Riešenie 1.
Vyskúšajme použiť indukciu na nerovnosť v tej forme, v ktorej bola zadaná, t.j. $$(n+1)^n < n^{n+1}$$

$1^\circ$ Báza indukcie: Pre $n=3$ sa ľavá strana rovná $4^3=64$ a pravá strana je rovná $3^4=81$.
Teda v tomto prípade nerovnosť skutočne platí.

$2^\circ$ Indukčný krok: Predpokladáme, že platí $(n+1)^n < n^{n+1}$ a snažíme sa dokázať podobnú nerovnosť pre $n+1$, t.j. vlastne chceme dokázať
$$(n+2)^{n+1} < (n+1)^{n+2}.$$
Skúsme to sporom - predpokladajme, že by táto nerovnosť neplatila. T.j. platili by súčasne tieto dve nerovnosti:
\begin{align*}
(n+1)^n &< n^{n+1}\\
(n+1)^{n+2} &\le (n+2)^{n+1}
\end{align*}
Potom súčinom týchto dvoch nerovností dostaneme
$$(n+1)^{2(n+1)} < [n(n+2)]^{n+1}.$$
Ak z oboch strán urobíme $(n+1)$-vú odmocninu, tak máme
$$(n+1)^2<n(n+2)$$
čo je ekvivalentné s nerovnosťou $(n+1)^2<n^2+2n$, ktorá určite neplatí.
Neplatnosť nerovnosti, ktorá nás zaujíma, vedie k sporu. Dostávame takto dôkaz tejto nerovnosti.

Indukčný krok ešte raz trochu inak: Ak by sa niekomu nepozdávalo to, že sme použili dôkaz sporom, tak sa dá prepísať aj na priamy dôkaz. (Aj keď vlastne nasledujúci argument je zapísaný v opačnom poradí než ako sme naň prišli.)
Pre ľubovoľné prirodzené číslo určite platí nerovnosť $n(n+2)<(n+1)^2$.
Umocnením oboch strán na $(n+1)$-vú dostaneme:
\begin{align*}
[n(n+2)]^{n+1} &< (n+1)^{2(n+1)}\\
n^{n+1}\cdot (n+2)^{n+1} &< (n+1)^n\cdot (n+1)^{n+2}\\
n^{n+1}\cdot (n+2)^{n+1} &< n^{n+1}\cdot (n+1)^{n+2}\\
(n+2)^{n+1} &< (n+1)^{n+2}
\end{align*}
Fakt, že z druhej nerovnosti vyplýva tretia sme dostali na základe toho, že $(n+1)^n < n^{n+1}$; to je presne indukčný predpoklad.

Riešenie 2.
Spomeniem aj takéto riešenie - úpravy sa do istej miery podobajú na tie, ktoré boli použité v predošlom riešení. (Zdalo sa mi rozumné ho spomenúť aj preto, že takýto argument sa objavil vo viacerých odovzdaných úlohách. Vlastne do istej miery je to, čo som napísal nižšie, prepísané z jedného študentského riešenia - doplnil som tam ale nejaké ďalšie komentáre.)
Nebudem znovu ukazovať bázu indukcie - pozrieme sa na indukčný krok.
Označme si ľavú a pravú stranu dokazovanej nerovnosti ako
\begin{align*}
a_n&=(n+1)^n\\
b_n&=n^{n+1}
\end{align*}
Najprv ukážeme, že $\frac{a_{n+1}}{a_n}<\frac{b_{n+1}}{b_n}$. O tom sa môžeme presvedčiť tak, že skontrolujeme, že nasledujúce úpravy sú ekvivalentné:
\begin{align*}
\frac{a_{n+1}}{a_n}&<\frac{b_{n+1}}{b_n}\\
\frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^n} &< \frac{(n+1)^{n+2}}{n^{n+1}}\\
(n+2)^{n+1}\cdot n^{n+1} &< (n+1)^{2n+2}\\
(n+2) \cdot n &< (n+1)^2\\
n^2+2n &< n^2+2n+1\\
0 &< 1
\end{align*}
Vidíme teda, že pravá strana rastie rýchlejšie ako ľavá - a teda ak v istom momente "predbehne" ľavú stranu, tak už bude stále väčšia.
Ten intuitívny argument určite vieme aj poriadne formálne zapísať - máme veľa možností, napríklad takto.
Indukčný predpoklad je, že $a_n<b_n$. Potom platí $$a_{n+1}=a_n\cdot \frac{a_{n+1}}{a_n} \overset{(*)}< b_n \frac{b_{n+1}}{b_n} = b_n+1. $$
Nerovnosť označenú $(*)$ sme dostali vynásobením týchto dvoch nerovností:
\begin{align*}
a_n &< b_n \\
\frac{a_{n+1}}{a_n}&<\frac{b_{n+1}}{b_n}
\end{align*}

Riešenie 3.
Skúsme dokazovať nerovnosť v tejto podobe:
$$\left(1+\frac1n\right)^n < n.$$

$1^\circ$ Báza indukcie: Overíme, že pre $n=3$ naozaj nerovnosť platí - skúsime trochu upraviť ľavú stranu pre túto hodnotu a porovnať s pravou stranou.
$$\left(1+\frac13\right)^3=\frac{4^3}{3^3}=\frac{64}{27}<\frac{81}{27}=3$$

$2^\circ$ Indukčný krok: Predpokladáme, že nerovnosť platí pre $n$ - a snažíme sa ju dokázať pre $(n+1)$. Platí:
$$n+1 = n\left(1+\frac1n\right) \overset{(1)}> \left(1+\frac1n\right)^{n+1} \overset{(2)}>\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}.$$
Nerovnosť označená $(1)$ je miesto, kde sme použili indukčný predpoklad.
V nerovnosti $(2)$ sme využili fakt, že $1+\frac1n>1+\frac1{n+1}$. (A umocnenie na nejaké kladné číslo nezmení znamienko nerovnosti.)

[Martin Sleziak]

Komentáre k niektorým riešeniam

Viacerí ste napísali riešenie založené na tom, že ste porovnávali podiel dvoch po sebe idúcich ľavých (pravých) strán - a správne ste zdôvodnili, že pravá strana rastie rýchlejšie.
Nezaškodilo by aspoň stručne spomenúť, prečo z toho naozaj vidno to, čo chceme dokázať.

Ak ste začali s nerovnosťou, ktorú chcete dokázať - a potom robili nejaké úpravy - treba dať pozor na to, či sú tieto úpravy ekvivalentné. Prinajmenšom by nezaškodilo niečo také napísať - nech je z vášho riešenia jasné, že si takúto vec uvedomujete.
Opäť pridám linku na nejaký komentár k ekvivalentným úpravám: viewtopic.php?t=1164

Ani za jednu z týchto dvoch vecí som body nestrhával. (V podstate je asi dôležitejšie to, že či ste si uvedomili takúto vec - ako to, či ste ju aj niekde napísali do odovzdaného riešenia.)
Veci, ktoré spomínam nižšie, sú už také, že to sú nesprávne riešenia.

Chyby, ktoré sa vyskytli

$1^\circ$ Platí $4^3<3^4$ (lebo $64<81$).
$2^\circ$ Platí
\begin{gather*}
5^4<4^5\\
625<1024
\end{gather*}

Týmto ste overili iba to, že uvedená nerovnosť platí, ak dosadím $n=3$ a $n=4$.
V indukčnom kroku potrebujem nejako zdôvodniť platnosť implikáciu $P_n \Rightarrow P_{n+1}$ pre ľubovoľné $n\ge 3$. (Ako $P_n$ som označil dokazovaný výrok.)
Tu je takéto niečo overené iba pre $n=3$; a vlastne to nie je v podstate nič iné než dosadenie jedného konkrétneho čísla.

V jednej z úloh som si prečítal toto:

Nerovnosť $$\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}$$ platí, lebo so zväčšujúcim $n$ v menovateli sa ľavá strana nerovnosti približuje k $1$.
Výraz $\frac1{n+1}$ sa približuje k nule a dostaneme takto $(1+0)^n=1<n+1$.

V prvom rade, nie je pravda, že tento výraz sa blíži k jednotke.
V skutočnosti sa blíži k číslu $e$, ktoré bolo spomenuté aj v zadaní. Pridám aj linku na Wikipédiu.
Múdro to môžeme zapísať tak, že $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)=e,$$ o limitách postupností sa však ešte len budete učiť.
Ale už aj ak si človek prepočíta prvých pár hodnôt, tak by sa aspoň odhadom mohlo zdať, že táto postupnosť sa k jednotke blížiť nemusí.
Pretože ide o veľmi známu postupnosť, pri zvolení nejakých vhodných kľúčových slov by vám Google alebo Google Images mali vrátiť viacero miest, kde prvé hodnoty tejto postupnosti už sú vypočítané.
Aspoň trochu podobný typ chyby sa dá nájsť napríklad tu: Does $1^{\infty}=e$ or $1^{\infty}=1$? alebo What is wrong with the following "proof" that $e=1$?. Celá pointa je v tom, že s limitami typu $1^\infty$ treba robiť opatrne - a na matematickej analýze takéto niečo budete vidieť veľakrát.

Každopádne toto bola odbočka k matematickej analýze.
Prvá časť uvedeného argumentu je "skoro dobre" - akurát treba opraviť limitnú hodnotu. Tento výraz sa neblíži k jednotke ale k $e=2.71818\ldots$.
Na tomto mieste je dôležité asi upozorniť hlavne na to, že takýto typ argumentu nám pri takomto zadaní nepomôže.
Tvárme sa, že odniekiaľ vieme, že tento výraz sa bude blížiť k nejakému číslu menšiemu ako $3$. (Aj keď dokázať toto je určite ťažšie ako to, čo je v skutočnosti našou úlohou.)
Takéto niečo nám zabezpečí, že uvedená nerovnosť bude platiť pre všetky dostatočne veľké $n$. My však chceme túto nerovnosť zdôvodniť pre všetky $n\ge3$.