Jednoduchá relácia ekvivalencie - znamienko a nula

[Martin Sleziak]

$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\sm}{\setminus}
\newcommand{\Lra}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
$Máme reláciu $\sim$ na množine:
a) $\R$
b) $\R\sm\{0\}$
zadanú podmienkou $$x\sim y \qquad\Lra\qquad x\cdot y\ge 0.$$

V oboch prípadoch zistite, či ide o reláciu ekvivalencie. Ak ide o reláciu ekvivalencie, tak zistite aj to, koľko dostaneme tried ekvivalencie.

Na fóre sa dajú pozrieť aj nejaké ďalšie úlohy týkajúce sa relácií ekvivalencie:
viewtopic.php?p=4557
viewtopic.php?t=1471
viewtopic.php?t=1340
viewtopic.php?t=1162
viewtopic.php?t=753
viewtopic.php?t=504


Časť a) bola v nejakej staršej písomke: viewtopic.php?t=1471 a viewtopic.php?t=504

Pre ľubovoľné reálne číslo $x\ne 0$ máme $x\sim 0$ aj $0\sim(-x)$, ale $x\nsim(-x)$. Nie je to tranzitívna relácia. A teda to nie je relácia ekvivalencie.

b) Pozrime sa na prípad, keď už vynecháme nulu - teraz už dostaneme reláciu ekvivalencie.

Tiež si môžeme uvedomiť, že ak sa pozeráme na $\R\sm\{0\}$ tak je jedno, či napíšeme ostrú alebo neostrú nerovnosť - podmienky $xy\ge0$ a $xy>0$ sú ekvivalentné pre nenulové reálne čísla $x$, $y$.

Reflexívnosť. Pre každé $x\in\R\sm\{0\}$ máme
$$x^2\ge 0,$$
teda $x\sim x$.

Symetrickosť. Pretože $xy=yx$, máme aj
$$xy\ge 0 \qquad\Lra\qquad yx\ge 0$$
čo je presne ekvivalencia $x\sim y$ $\Lra$ $y\sim x$.

Tranzitívnosť. Z podmienok $xy\ge 0$ a $yz\ge 0$ po ich vynásobení ľavých aj pravých strán dostaneme
$$xy^2z \ge 0.$$
Ak obe strany vydelíme kladným číslom $y^2$, tak máme
$$xz\ge 0.$$
Zistili sme, že z $x\sim y$ a $y\sim z$ vyplýva $x\sim z$.
(Tiež si môžeme všimnúť, že v časti a) sa podobný argument použiť nedal - museli sme dať pozor na to, aby sme nedelili nulou.)

Tiež vidno, že ide o pomerne jednoduchú triedu ekvivalencie - pre nenulové reálne čísla platí podmienka $xy\ge 0$ práve vtedy, keď obe majú rovnaké znamienko. T.j. obe sú kladné alebo obe sú záporné. Teda máme dve triedy ekvivalencie:
\begin{align*}
[1]&=\{x\in\R\sm\{0\}; x>0\}\\
[-1]&=\{x\in\R\sm\{0\}; x<0\}
\end{align*}
T.j. triedy ekvivalencie sú dve - v jednej sú všetky kladné reálne čísla, v druhej sú všetky záporné reálne čísla.

[Martin Sleziak]

Vôbec nezaškodí rozmyslieť si aj to, že sa na túto reláciu ekvivalencie dá pozerať ako na špeciálny prípad reláciíí ekvivalencie, ktoré sme spomínali.$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\sm}{\setminus}
\newcommand{\Lra}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}$

Vieme, že pre ľubovoľné zobrazenie $f$ je podmienka
$$x\sim y \Lra f(x)=f(y)$$
dáva reláciu ekvivalencie.

Našu reláciu ekvivalencie môžeme dostať napríklad pomocou zobrazenia $\Zobr f{\R\sm\{0\}}{\{\pm1\}}$ zadaného predpisom $$f(x)=\frac{x}{\abs x}.$$

Spoiler:

Pre $x,y\in\R\sm\{0\}$ sú nasledujúce podmienky ekvivalentné:
\begin{align*}
f(x)=f(y)
&\Lra \frac{x}{\abs x}=\frac{y}{\abs y}\\
&\Lra xy=\abs{xy}\\
&\Lra xy\ge0
\end{align*}
Využili sme, že ak $a$ je reálne číslo, tak podmienka $a=\abs{a}$ je ekvivalentná s $a\ge0$.

Tiež vieme, že ak $(G,\cdot)$ je komutatívna grupa a $H$ je jej podgrupa, tak podmienka
$$x\sim y \Lra x\inv y\in H$$
určuje reláciu ekvivalencie.

Naša relácia je presne relácia určená podgrupou $H=\R^+$ grupy $(\R\sm\{0\},\cdot)$.

Spoiler:

\begin{align*}
x\inv y\in H
&\Lra \frac{x}{y}>0\\
&\Lra xy>0
\end{align*}
pričom na zdôvodnenie poslednej ekvivalencie môžeme použiť to, že sme obe strany nerovnosti vynásobili kladným číslom $y^2$.

Keď už sme si uvedomili, že táto relácia pochádza z komutatívnej grupy a podgrupy, môžeme sa zamyslieť nad tým, ako vyzerá faktorová grupa. Tá bude v tomto prípade jednoduchá - je to totiž dvojprvková grupa, taká grupa je (až na izomorfizmus) iba jedna.

Môžeme si však súčasne uvedomiť, že zobrazenie $\Zobr f{\R\sm\{0\}}{\{\pm1\}}$
$$f(x)=\frac{x}{\abs x}$$
je surjektívny grupový homomorfizmus. (Obe grupy berieme s násobením. Skúste prekontrolovať, že naozaj ide o homomorfizmus.)

Potom z vety o izomorfizme máme $G/H\cong (\{\pm1\},\cdot)$.

A súčasne pripomeniem, že podobný predpis sme už videli - keby sme zobrazenie s takýmto predpisom zobrali na množine $\mathbb C\sm\{0\}$, dostaneme surjektívny homomorfizmus do jednotkovej kružnice. Takéto niečo sme použili na zdôvodnenie, že faktorová grupa $\mathbb C^*/\R^+$ je izomorfná s $S=\{x\in\mathbb C; \abs x=1\}$. (Aj tu berieme ako operáciu násobenie.)

[Martin Sleziak]

Úloha bola asi o čosi ľahšia ako predchádzajúce - bodoval som o kúsoček prísnejšie.
Najbližšie so mnou budete mať hodinu až 16. novembra - opravené úlohy donesiem tam. Ak si svoju obodovanú úlohu chcete pozrieť už skôr, tak sa niekedy môžete u mňa zastaviť a zobrať si ju. (Ale mailom som napísal nejaké komentáre k tomu, či bola ok a ak som strhol nejaké body, čo sa mi tam nepozdávalo.)

Poznámky, chyby

Vo viacerých odovzdaných úlohách som mal výhrady k niektorým zápisom a označeniam.
Hoci ste (?pravdepodobne?) to, čo bolo nesprávne zapísané, asi mysleli správne.

Hlavne sa dosť často vyskytli zápisy, ktoré vyzerali tak, že ste používali $x$ a $-x$, pričom ste pravdepodobne mali na mysli to, že máte nejaké kladné a nejaké záporné číslo.
Ak by niekde bola ešte napísaná podmienka $x>0$, tak je takéto niečo v poriadku. Ale ak $x$ môže byť ľubovoľné, tak pokojne $x$ môže byť niečo záporné a obrátene $-x$ môže byť kladné.

Napríklad sa vo viacerých odovzdaných úlohách vyskytlo niečo také, čo zhruba môžem parafrázovať ako:

Dostaneme dve triedy ekvivalencie:
$[x]=$ všetky kladné reálne čísla
$[-x]=$ všetky záporné reálne čísla

Zapísané takto to celkom ok nie je.
Ak by ste tam niekde napísali, že za $x$ ste si zobrali nejaké konkrétne kladné reálne číslo, tak takýto zápis je úplne v poriadku.
Dokonca by som nenamietal ani proti tomu, ak by ste si zobrali nejaké $x\ne0$ a povedali, že naše dve triedy sú $[x]$ a $[-x]$. (Toto je pravda - jedna z nich bude pozostávať zo všetkých kladných čísel a druhá zo všetkých záporných. Ktorá z týchto je $[x]$ a ktorá $[-x]$ závisí od znamienka čísla $x$.)