msleziak.com

1. týždeň

Povinné cviko: (22.9.)

Riešili sme úlohy z tejto sady.

Stihli sme celú úlohu 1 a úlohu 2a,e,f,g.
Pri nej sme si povedali o vzorcoch:
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+ab^{n-2}+b^{n-1})$
$a^{2k+1}+b^{2k+1}=(a+b)(a^{2k}-a^{2k-1}b+\dots-ab^{2k-1}+b^{2k})$
(Druhý funguje pre iba pre párne exponenty.)

Potom sme stihli ešte vyriešiť dve sústavy rovníc. Ukázali sme si aj maticovú metódu riešenia sústav a tiež násobenie matice vektorom - najmä kvôli tomu, že tieto veci budeme neskôr preberať podrobnejšie; možno nezaškodí, že ste ich videli už teraz.

Výberové cviko: Odpadne - dekanské voľno (imatrikulácia).

2. týždeň:

Povinné cviko: (29.9.)
Riešili sme prednáškové úlohy z tejto sady.
Pri číslovaní, ktoré je uvedené tam, sme stihli 1,2,3,4,5,8 celé.
Z úlohy 7 (t.j. 1.2.9(4)) sme stihli iba asociatívnosť. Povedal som vám ako majú vyjsť ostatné časti. Ak bude treba tak sa vrátime k tejto úlohe na výberovom cviku.
Úlohu 6 (t.j. 1.2.9(2)) sme neriešili vôbec - tiež by bolo rozumné sa pri nej trochu zastaviť na piatkovom cviku.

Na stránku som pridal aj novú sadu úloh na zobrazenia: http://msleziak.com/vyuka/2015/lag/01zobrazenia.pdf
A aj sadu úloh na binárne operácie a grupy: http://msleziak.com/vyuka/2015/lag/02binop.pdf
Predpokladám však, že v piatok sa stihneme dostať iba k úlohám z prvej sady.

Výberové cviko: (2.10.)
Dokončili sme prednáškové úlohy, ktoré sme nestihli v utorok. K obom som riešenia napísal aj na fórum.
Potom sme sa zaoberali príkladmi na zobrazenia z tejto sady úloh: http://msleziak.com/vyuka/2015/lag/01zobrazenia.pdf
Vyskúšali sme si zložiť nejaké zobrazenia v dvoch rôznych poradiach (úloha 2a z časti o skladaní zobrazení).
Urobili sme si nejaké dôkazy a kontrapríklady týkajúce sa surjekcií a injekcií - konkrétne úlohy 1 a 2 z časti venovanej týmto typom zobrazení.

Budúci týždeň bude na výberovom cviku prvá písomka.
Jeden príklad bude na veci aké sme robili minulý týždeň (opakovanie zo strednej školy, sústavy, úpravy výrazov).
Jeden príklad bude na zobrazenia (Napríklad také typy úloh ako sú v tej sade, z ktorej sme pár prerátali dnes. Keďže som sa na cviku nedostal vôbec k inverznému zobrazeniu, tak ani na písomke nezadám príklad, kde by bolo treba používať tento pojem.)

3. týždeň:

Povinné cviko: (6.10.)
Riešili sme prednáškové úlohy z tejto sady.
Pri číslovaní, ktoré je uvedené tam, sme stihli 1,2,3,4,6,7,11. Na ostatné sa skúsime pozrieť na piatkovom cvičení.

Výberové cviko: (9.10.)
Písali sme prvú malú písomku.
Dokončili sme prednáškové úlohy, okrem poslednej (ktorá sa týka relácií ekvivalencie).

4. týždeň:

Povinné cviko: (13.10.)
Riešili sme prednáškové úlohy z tejto sady.
Pri číslovaní, ktoré je uvedené tam, sme stihli 1,2,5,6,7. Na ostatné sa skúsime pozrieť na piatkovom cvičení

EDIT: Nakoniec sme sa k nim nedostali na výberovom cviku - robili sme radšej faktorové grupy. Ale tie príklady, ktoré sme nestihli v utorok sú buď vyriešené na fóre alebo ide o vetu, ktorej dôkaz je v knihe. Linky na tie dva príklady, pre ktoré som dal riešenia na fórum: viewtopic.php?f=29&t=737 a viewtopic.php?f=29&t=738

Výberové cviko: (16.10.)
Riešili sme úlohy na relácie ekvivalencie a faktorové grupy. Konkrétne sme stihli spomedzi týchto úloh prejsť úlohy 1a,1b,1c,1d,1n z časti o reláciách ekvivalencie. Z úloh o faktorových grupách sme vyriešili iba úlohu 1a: Ukázali sme si dve riešenia - priamo z definície faktorovej grupy a cez vetu o izomorfizme.

Budúci týždeň budeme na piatkovom cviku opäť písať malú písomku (a.k.a. rozcvičku). Jeden príklad bude na binárne operácie a grupy. Druhý príklad by mal byť zameraný na vlastnosti relácií ekvivalencie.

Trochu som sa pozeral na to, či mám niekde tu na svojej stránke nejaké riešené úlohy na faktorové grupy. (Samozrejme, niečo máte aj v LAG1 a určite nájdete nejaké príklady aj na mnohých iných miestach.) Nie je tu toho veľa. V tomto texte sa dá pozrieť na príklady 3.4.2, 3.4.3, 3.5.5, 3.5.6, 3.5.7. (Pre istotu upozorním, že tam sa o faktorových grupách hovorí o niečo všeobecnejšie ako na tomto predmete. Nepožadujeme tam, aby pôvodná grupa bola komutatívna - treba potom ale pridať nejakú podmienku na podgrupu H. Takže si tam jednoducho nevšímajte veci, kde sa hovorí o nekomutatívnych grupách - ako napríklad príklad 3.5.8.) Na fóre je napríklad vyriešená takáto úloha: viewtopic.php?t=443

EDIT: Aj na stránku cvičení som pridal nejaké vyriešené úlohy na faktorové grupy.

A ešte pripomeniem, že sme sa dnes trochu rozprávali aj o možnostiach termínu prvej písomky z povinného cvika: viewtopic.php?f=29&t=740

5. týždeň:

Povinné cviko: (20.10.)
Riešili sme prednáškové úlohy z tejto sady: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/pu4.pdf
Jediná úloha, ktorú sme nestihli, bola siedma úloha.

Výberové cviko: (23.10.)
Na začiatku sme písali písomku - opäť, keď ju budem mať opravenú, tak dám na fórum nejaké komentáre k riešeniam.
Stihli sme pár príkladov na izomorfizmy grúp: $(\mathbb Z_4,+)$ nie je izomorfná s $(\mathbb Z_2,+)$ ani s $(\mathbb Z_2\times \mathbb Z_2,+)$. Je však izomorfná s $(\mathbb Z_5^*,\cdot)$.
Skúsil som pri tom trochu aj vysvetliť nejakú intuíciu súvisiacu s tým, čo znamená, že dve grupy sú izomorfné. (A presne to isté bude pre vás užitočné, keď sa budete učiť o izomorfných vektorových priestoroch.)
Pridám k tejto téme ešte takúto linku: Intuition on group homomorphisms - Math.SE

A ešte sme prešli dva príklady na faktorové grupy:
Faktorizovali sme $\mathbb Z_8$ podľa podgrupy $H=\{0,4\}$ a ukázali sme, že faktorová grupa je izomorfná s $\mathbb Z_4$.
Faktorizovali sme $\mathbb C^*$ podľa podgrupy $\mathbb R^+$ a ukázali sme , že faktorová grupa je izomorfná s grupou $S=\{c\in\mathbb C; |c|=1\}$.
(Tento príklad sme už na cviku nestihli poriadne dokončiť. Ale zopár vás zostalo aj po cviku na konzultáciách - tam sme ho dokončili poriadne. A je vyriešený aj v tom súbore faktorove.pdf, čo som vám dal na stránku.)

6. týždeň:

Povinné cviko: (27.10.)
Riešili sme prednáškové úlohy z tejto sady: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/pu5.pdf
Nestihli sme 8,9,10. (Snáď k nim časom stihnem napísať niečo na fórum, alebo sa k nim ešte vrátime.)

Niektorí z vás ste vravel, že na stránke prednášajúceho ste videli iba prvú časť z úloh (t.j. žiadne z 2.3.14). A takisto ste hovorili, že namiesto 2.2.9(5) tam bola úloha 2.2.9(4). Keď sa však pozerám na stránku teraz, tak tie úlohy tam vidím s takými číslami, ako v tom súbore pu5.pdf, na ktorý som dal linku vyššie.
http://thales.doa.fmph.uniba.sk/korbas/ ... ulohy9.pdf
http://thales.doa.fmph.uniba.sk/korbas/ ... lohy10.pdf

EDIT: Nemohlo to byť tým, že sú tie úlohy zoradené na stránke abecedne, a teda súbor prednulohy10.pdf sa objavil za prednulohy1.pdf a pred prednulohy2.pdf?

Výberové cviko:
Tento týždeň odpadne. (Rektorské voľno.)

Niektorí ste sa po dnešnom cviku pýtali, či na najbližšom výberovom cviku (t.j. o 2 týždne) píšeme písomku a z čoho bude.
Písomku na výberovom cviku vždy dopredu ohlásim - keďže som o písomke nič nehovoril, tak platí, že písomka nie je.
(Presnejšie povedané bude náhradná písomka pre tých, čo druhú písomku nepísali minulý týždeň - ale to sa týka iba pár ľudí, ktorí minulý piatok chýbali.)

Keďže teraz rátame dosť veľa vecí, kde treba riešiť sústavy, pridám nejakú linku o tom, ako sa dá pri sústavách (nejakým efektívnym spôsobom) robiť skúška: viewtopic.php?f=29&t=522

7. týždeň:

Povinné cviko: (3.11.)
Riešili sme prednáškové úlohy z tejto sady: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/pu06.pdf
Jediná úloha, ktorú sme nestihli, je úloha 5 (t.j. 2.5.7(1)).

Keďže sa tu objavili nejaké príklady na súčet podpriestorov, pridám link na starší príklad, ktorý je vyriešený na fóre: viewtopic.php?f=29&t=582
(A aj vo všeobecnosti je možno rozumné si poprezerať staršie príspevky na fóre, či tam nie sú vyriešené nejaké príklady, ktoré by vám mohli pomôcť.)

Výberové cviko: (6.11.)
Pozreli sme sa na to, ako zapísať množinu riešení sústavy pomocou parametrov a ktoré premenné sa dajú voliť za parametre. (Konkrétne sme si to ukázali na sústavách z úlohy 4 odtiaľto: http://msleziak.com/vyuka/2015/lag/07sustavy.pdf )
Rozprávali sme dosť dlho aj o tom, ako sa dá robiť skúška: viewtopic.php?f=29&t=522
Pozreli sme sa na úlohu ako zistiť, či dané vektory tvoria bázu. Porozprávali sme sa o postupe pomocou sústavy rovníc a aj pomocou elementárnych riadkových operácií. (Úloha 2 z časti o báze a dimenzii v http://msleziak.com/vyuka/2015/lag/08baza.pdf )
Ešte sme sa pozreli na úlohu 3 z tej istej časti, kde sme hovorili o priestore $P_n$, ktorého prvky sú polynómy stupňa najviac $n$. Pri tom sme sa dostali aj k tomu, že polynóm je rovný nule práve vtedy, keď všetky koeficienty sa rovnajú nule.

Dohodli sme sa, že budúci piatok je na výberovom cviku písomka. Počítajte s príkladmi na témy:
* sústavy
* báza, dimenzia, lineárny obal, lineárna nezávislosť a pod.

8. týždeň:

Povinné cviko: (10.11.)
Preriešili sme prednáškové úlohy z tejto sady http://thales.doa.fmph.uniba.sk/niepel/CV/pu07.pdf
(Boli tam hlavne úlohy týkajúce sa riadkovej ekvivalencie.)

Výberové cviko: (13.11.)
Písali sme písomku, pred ňou ste mali ešte zopár otázok k tým témam, ktoré mali byť na písomke.
Takže vlastne sme nakoniec stihli prejsť iba jeden príklad na súčty a prieniky podpriestorov - konkrétne úlohu 2d z časti o súčtoch podpriestorov z tejto sady: http://msleziak.com/vyuka/2015/lag/08baza.pdf
(Ako obvykle, ľudia, čo nemohli prísť na dnešné cviko si môžu písomku nahradiť na ďalšom. Bolo by fajn, ak by ste mi dali vedieť, kto sa chystá prísť na náhradnú písomku - nech zhruba viem, koľko zadaní mi bude treba.)

9. týždeň:

Povinné cviko: (17.11.)
Odpadlo (sviatok).

Výberové cviko: (20.11.)
Urobili sme príklad 4 z http://msleziak.com/vyuka/2015/lag/09rtm.pdf
Na tomto príklade sme si ukázali aj ako sa dá robiť (aspoň čiastočná) skúška správnosti pri úprave na RTM: viewtopic.php?f=29&t=531

Potom sme sa (na váš návrh) ešte raz vrátili k nejakej úlohe na súčty podpriestorov. Konkrétne sme riešili úlohu nájsť dimenziu a bázu $S+T$ a $S\cap T$ pre $S=[(-1,1,1,0),(1,0,-2,0),(0,1,-1,1)]$ a $T=[(0,1,-1,0),(1,1,-1,1)]$. (Vyšlo nám, že $S+T=\mathbb R^4$ a $S\cap T=[(0,1,-1,0)]$.)
Ak si ich chcete precvičiť, tak nejaké úlohy na súčty podpriestorov sú aj medzi úlohami, ktoré sa dajú riešiť na fóre: viewtopic.php?f=29&t=728

Nakoniec sme ešte stihli aspoň jeden príklad na hodnosť s parametrom. Na fóre nájdete vyriešené nejaké príklady takéhoto typu:
viewtopic.php?f=6&t=782
viewtopic.php?f=6&t=783
viewtopic.php?f=21&t=160

Budúci týždeň by na písomke mal byť:
* Nejaký príklad na súčet podpriestorov.
* Nejaký príklad, kde sa bude dať použiť úprava na RTM.

Pridám linku, kde je vymenovaných viacero typov úloh, ktoré sa dajú riešiť pomocou úpravy na redukovaný stupňovitý tvar: viewtopic.php?f=29&t=540
(Niektoré z nich sme sa ešte neučili - konkrétne veci začínajúce v tom zozname od matice zobrazenia. Tej by sme sa chceli venovať budúci týždeň - videli ste, že nejaké veci súvisiace s maticou zobrazenia sú aj medzi prednáškovými úlohami.)