Sem budem písať, čo sme stihli na jednotlivých cvičeniach. (Môže byť užitočné, ak sa k tomu chcete vrátiť alebo ak ste chýbali na cviku.)
Tento topic by som chcel používať iba na tento účel. Takže ak budete mať otázky k niečomu, čo bolo na cviku, tak skúste v inom topicu. (Buď založiť nový alebo v nejako už existujúcom, ak nájdete taký, kde sa vaša otázka hodí.)
Cvičenia ZS 2016/17 - 1MAT
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2016/17 - 1MAT
1. týždeň
Výberové cviko (21.9.):
Rátali sme tieto príklady.
Z príkladov na indukcie sme stihly úlohy 7 a 8.
Z príkladov na algebraické úpravy sme stihli 1a, 1b, 2d a 3. (V tejto úlohe sa vyskytlo číslo, ktorému sa hovorí zlatý rez. Ak si o ňom chcete prečítať viac, pridám linku na Wikipédiu..)
A ešte sme sa pozreli na úplne posledné príklady: $\sqrt2$, $\sqrt3$ a $\sqrt2+\sqrt3$ sú iracionálne čísla.
Ako jednu z úloh na indukciu sme dokazovali, že $\left(\sum\limits_{k=1}^n k\right)^2 = \sum\limits_{k=1}^n k^3$. Pridám k tejto úlohe nejaké linky:
* Squared triangular number na Wikipédii
* Proving $1^3+ 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ using induction na math.SE
* Proving the identity $\sum_{k=1}^n {k^3} = \big(\sum_{k=1}^n k\big)^2$ without induction na math.SE
Povinné cviko (22.9.):
Začali sme rátať príklady na zobrazenia z 01zobrazenia.pdf.
Konkrétne sme stihli prvé tri príklady (počet všetkých zobrazení, počet injekcií, čo sa deje ak niektorá z množín je prázdna).
Z časti o skladaní zobrazení sme urobili 1b a 1e. (Pričom 1e sme sa snažili skôr kresliť ako naozaj počítať.)
Z poslednej časti sme stihli príklad 2: Ak $g\circ f$ je injekcia tak $f$ je injekcia. Na rozmyslenie ste dostali rozmyslieť si, či ak $g\circ f$ je injekcia, tak $g$ musí byť injekcia. (A ak to nemusí platiť, tak skúsiť nájsť kontrapríklad.)
Narazili sme pri tom na otázku, či je rozumné definovať $0^0=0$, alebo či sa to hodí aspoň v niektorých prípadoch. Viac sa o tom dá nájsť tu: viewtopic.php?t=343
Dôvod, prečo sme rátali iba počet všetkých zobrazení a počet injekcií z $m$-prvkovej množiny do $n$-prvkovej bol ten, že pre surjekcie by to bolo ťažšie. Ale koho by to zaujímalo, môže si o tom prečítať niečo tu:
* Stirling numbers of the second kind na Wikipédii
* Calculating the total number of surjective functions na math.SE
(Je vcelku pravdepodobné, že so Stirlingovými číslami sa stretnete na niektorom inom predmete. Ale aj na LAG1 budeme preberať veci súvisiace s reláciami ekvivalencia a rozkladmi. Keď sa naučíte niečo o rozkladoch, tak by možno mohlo byť jasnejšie, ako to súvisí s otázkou na výpočet počtu surjekcií a ako sa dajú odvodiť nejaké vzťahy pre Stirlingove čísla.)
Výberové cviko (21.9.):
Rátali sme tieto príklady.
Z príkladov na indukcie sme stihly úlohy 7 a 8.
Z príkladov na algebraické úpravy sme stihli 1a, 1b, 2d a 3. (V tejto úlohe sa vyskytlo číslo, ktorému sa hovorí zlatý rez. Ak si o ňom chcete prečítať viac, pridám linku na Wikipédiu..)
A ešte sme sa pozreli na úplne posledné príklady: $\sqrt2$, $\sqrt3$ a $\sqrt2+\sqrt3$ sú iracionálne čísla.
Ako jednu z úloh na indukciu sme dokazovali, že $\left(\sum\limits_{k=1}^n k\right)^2 = \sum\limits_{k=1}^n k^3$. Pridám k tejto úlohe nejaké linky:
* Squared triangular number na Wikipédii
* Proving $1^3+ 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ using induction na math.SE
* Proving the identity $\sum_{k=1}^n {k^3} = \big(\sum_{k=1}^n k\big)^2$ without induction na math.SE
Povinné cviko (22.9.):
Začali sme rátať príklady na zobrazenia z 01zobrazenia.pdf.
Konkrétne sme stihli prvé tri príklady (počet všetkých zobrazení, počet injekcií, čo sa deje ak niektorá z množín je prázdna).
Z časti o skladaní zobrazení sme urobili 1b a 1e. (Pričom 1e sme sa snažili skôr kresliť ako naozaj počítať.)
Z poslednej časti sme stihli príklad 2: Ak $g\circ f$ je injekcia tak $f$ je injekcia. Na rozmyslenie ste dostali rozmyslieť si, či ak $g\circ f$ je injekcia, tak $g$ musí byť injekcia. (A ak to nemusí platiť, tak skúsiť nájsť kontrapríklad.)
Narazili sme pri tom na otázku, či je rozumné definovať $0^0=0$, alebo či sa to hodí aspoň v niektorých prípadoch. Viac sa o tom dá nájsť tu: viewtopic.php?t=343
Dôvod, prečo sme rátali iba počet všetkých zobrazení a počet injekcií z $m$-prvkovej množiny do $n$-prvkovej bol ten, že pre surjekcie by to bolo ťažšie. Ale koho by to zaujímalo, môže si o tom prečítať niečo tu:
* Stirling numbers of the second kind na Wikipédii
* Calculating the total number of surjective functions na math.SE
(Je vcelku pravdepodobné, že so Stirlingovými číslami sa stretnete na niektorom inom predmete. Ale aj na LAG1 budeme preberať veci súvisiace s reláciami ekvivalencia a rozkladmi. Keď sa naučíte niečo o rozkladoch, tak by možno mohlo byť jasnejšie, ako to súvisí s otázkou na výpočet počtu surjekcií a ako sa dajú odvodiť nejaké vzťahy pre Stirlingove čísla.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2016/17 - 1MAT
2. týždeň
Výberové cviko (29.9.):
Dnes sme stále riešili príklady na zobrazenia: http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/01zobrazenia.pdf
Konkrétne sme stihli z prvej časti úlohu 4 (o bijekcii, injekcii a surjekcii konečnej množiny na seba). (Keďže sa na to niekto pýtal, na chvíľu sme odbočili k tomu, že aj pre nekonečné množiny sa dá definovať niečo ako veľkosť či počet prvkov - hovorí sa tomu kardinalita alebo mohutnosť množiny, určite sa s týmto pojmom na matfyze stretnete, v prvom ročníku najmä na diskrétnej matematike.)
Z časti o injekciách, surjekciách a bijekciách sme stihli úlohy 1, 7 a 4a.
V súvislosti s úlohou 4 ešte pridám túto linku: viewtopic.php?f=6&t=68
Dohodli sme sa, že budúci týždeň bude na výberovom cviku krátka písomka. Môžete tam čakať nejaký príklad na indukciu a niečo na zobrazenia. (Zhruba také príklady, aké sú v týchto prvých dvoch sadách úloh. S tým, že žiadne úlohy na vzor a obraz množiny sme neriešili - a ani sa na písomke nevyskytnú.)
Povinné cviko (30.9.):
Prešli sme prednáškové úlohy 1 a 2.
Okrem toho sme ešte ukázali, že v grupe platia zákony o krátení.
EDIT: Jedna z úloh, ktorú sme robili, sa dá pozrieť aj tu: viewtopic.php?t=727
Dohodli sme sa, že prihlasovanie na prednáškové úlohy bude aj zvyšok semestra fungovať na fórum: viewtopic.php?f=29&t=935
Výberové cviko (29.9.):
Dnes sme stále riešili príklady na zobrazenia: http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/01zobrazenia.pdf
Konkrétne sme stihli z prvej časti úlohu 4 (o bijekcii, injekcii a surjekcii konečnej množiny na seba). (Keďže sa na to niekto pýtal, na chvíľu sme odbočili k tomu, že aj pre nekonečné množiny sa dá definovať niečo ako veľkosť či počet prvkov - hovorí sa tomu kardinalita alebo mohutnosť množiny, určite sa s týmto pojmom na matfyze stretnete, v prvom ročníku najmä na diskrétnej matematike.)
Z časti o injekciách, surjekciách a bijekciách sme stihli úlohy 1, 7 a 4a.
V súvislosti s úlohou 4 ešte pridám túto linku: viewtopic.php?f=6&t=68
Dohodli sme sa, že budúci týždeň bude na výberovom cviku krátka písomka. Môžete tam čakať nejaký príklad na indukciu a niečo na zobrazenia. (Zhruba také príklady, aké sú v týchto prvých dvoch sadách úloh. S tým, že žiadne úlohy na vzor a obraz množiny sme neriešili - a ani sa na písomke nevyskytnú.)
Povinné cviko (30.9.):
Prešli sme prednáškové úlohy 1 a 2.
Okrem toho sme ešte ukázali, že v grupe platia zákony o krátení.
EDIT: Jedna z úloh, ktorú sme robili, sa dá pozrieť aj tu: viewtopic.php?t=727
Dohodli sme sa, že prihlasovanie na prednáškové úlohy bude aj zvyšok semestra fungovať na fórum: viewtopic.php?f=29&t=935
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2016/17 - 1MAT
3. týždeň
Výberové cviko (5.10.):
Po písomke sme sa pozreli na úlohy na binárne operácie a grupy: http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/02binop.pdf
Konkrétne z časti o grupách sme stihli 1a,b,c,h,i a 17. K jednej z úloh pridám linku na tento starší post: viewtopic.php?t=495
Ešte napíšem k písomke: Keď ich budem mať opravené, tak sa budem snažiť sem napísať niečo k tomu, ako sa úlohy mali riešiť prípadne aj aké chyby sa vyskytovali v riešeniach. A takisto keď budú na webe body za prvú písomku, napíšem to sem: viewtopic.php?f=29&t=934
K druhému príkladu azda ale stačí, keď pridám linky na post k tej istej úlohe zo starších písomiek: viewtopic.php?t=493 a viewtopic.php?t=735
Povinné cviko (6.10.):
Prešli sme prednáškové úlohy: http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/PU0506.pdf
Pri jednej z úloh sme si uvedomili, že keď už vieme niečo o podgrupách, tak iná možnosť ako dokázať, že niečo je grupa, je overiť, že to je podgrupa nejakej už známej grupy. (T.j. ak sme napríklad už razu ukázali, že $(\mathbb C^*,\cdot)$ je grupa, tak keď v budúcnosti budeme o nejakej množine komplexných čísel s násobením chcieť ukázať, že to je grupa, tak si kopec roboty môžeme ušetriť - nemusíme napríklad overovať asociatívnosť.)
Ak by niekomu vadilo, že v úlohe o komplexných číslach sme asociatívnosť preskočili, tak sa môže pozrieť napríklad sem: viewtopic.php?t=726
V súvislosti s úlohou o zjednotení podgrúp sme sa rozprávali o takomto niečo a sľúbil som, že sa k tomu na niektorom cvičení (či už stredajšom alebo štvrtkovom) možno ešte vrátime: "Nech $G$ je grupa a $H_1$, $H_2$ sú jej podgrupy. Dokážte, že $H_1\cup H_2$ je podgrupa práve vtedy, keď $H_1\subseteq H_2$ alebo $H_2\subseteq H_1$." (Inak povedané, zjednotenie podgrúp je opäť podgrupa iba v triviálnych prípadoch.)
Výberové cviko (5.10.):
Po písomke sme sa pozreli na úlohy na binárne operácie a grupy: http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/02binop.pdf
Konkrétne z časti o grupách sme stihli 1a,b,c,h,i a 17. K jednej z úloh pridám linku na tento starší post: viewtopic.php?t=495
Ešte napíšem k písomke: Keď ich budem mať opravené, tak sa budem snažiť sem napísať niečo k tomu, ako sa úlohy mali riešiť prípadne aj aké chyby sa vyskytovali v riešeniach. A takisto keď budú na webe body za prvú písomku, napíšem to sem: viewtopic.php?f=29&t=934
K druhému príkladu azda ale stačí, keď pridám linky na post k tej istej úlohe zo starších písomiek: viewtopic.php?t=493 a viewtopic.php?t=735
Povinné cviko (6.10.):
Prešli sme prednáškové úlohy: http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/PU0506.pdf
Pri jednej z úloh sme si uvedomili, že keď už vieme niečo o podgrupách, tak iná možnosť ako dokázať, že niečo je grupa, je overiť, že to je podgrupa nejakej už známej grupy. (T.j. ak sme napríklad už razu ukázali, že $(\mathbb C^*,\cdot)$ je grupa, tak keď v budúcnosti budeme o nejakej množine komplexných čísel s násobením chcieť ukázať, že to je grupa, tak si kopec roboty môžeme ušetriť - nemusíme napríklad overovať asociatívnosť.)
Ak by niekomu vadilo, že v úlohe o komplexných číslach sme asociatívnosť preskočili, tak sa môže pozrieť napríklad sem: viewtopic.php?t=726
V súvislosti s úlohou o zjednotení podgrúp sme sa rozprávali o takomto niečo a sľúbil som, že sa k tomu na niektorom cvičení (či už stredajšom alebo štvrtkovom) možno ešte vrátime: "Nech $G$ je grupa a $H_1$, $H_2$ sú jej podgrupy. Dokážte, že $H_1\cup H_2$ je podgrupa práve vtedy, keď $H_1\subseteq H_2$ alebo $H_2\subseteq H_1$." (Inak povedané, zjednotenie podgrúp je opäť podgrupa iba v triviálnych prípadoch.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2016/17 - 1MAT
4. týždeň
Výberové cviko (12.10.):
Pozreli sme sa na to, či je grupa $(\mathbb Z_4,+)$ izomorfná so $(\mathbb Z_5^*,\cdot)$ a $(\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2,+)$. T.j. úlohy 2 a 5 z časti o homomorfizmoch v https://msleziak.com/vyuka/2016/lag/03podgrp.pdf
Potom sme sa pozreli na úlohy o reláciách ekvivalencie - stihli sme 1b,c,e,n,r: https://msleziak.com/vyuka/2016/lag/04faktor.pdf
Dohodli sme sa, že budúci týždeň bude na výberovom cviku krátka písomka. Témy: binárne operácie a grupy, relácie ekvivalencie.
Povinné cviko (13.10.):
Riešili sme prednáškové úlohy. https://msleziak.com/vyuka/2016/lag/PU0506.pdf
Výberové cviko (12.10.):
Pozreli sme sa na to, či je grupa $(\mathbb Z_4,+)$ izomorfná so $(\mathbb Z_5^*,\cdot)$ a $(\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2,+)$. T.j. úlohy 2 a 5 z časti o homomorfizmoch v https://msleziak.com/vyuka/2016/lag/03podgrp.pdf
Potom sme sa pozreli na úlohy o reláciách ekvivalencie - stihli sme 1b,c,e,n,r: https://msleziak.com/vyuka/2016/lag/04faktor.pdf
Dohodli sme sa, že budúci týždeň bude na výberovom cviku krátka písomka. Témy: binárne operácie a grupy, relácie ekvivalencie.
Povinné cviko (13.10.):
Riešili sme prednáškové úlohy. https://msleziak.com/vyuka/2016/lag/PU0506.pdf
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2016/17 - 1MAT
5. týždeň
Výberové cviko (19.10.):
Písomka dnes trvala dlhšie, než som čakal. (Nechám na vaše posúdenie, keď sa tu objavia aj riešenia, či to naozaj bolo také ťažké.)
Stihli sme potom už len úlohu 1a z časti o faktorových grupách v tomto súbore: http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/04faktor.pdf
Pripomeniem, že na stránke máte aj nejaké riešené úlohy na faktorové grupy: http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/faktorove.pdf
Povinné cviko (19.10.):
Riešili sme prednáškové úlohy: http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/PU0708.pdf
Nestihli sme poslednú - 2.1.18(9). Ak je záujem, tak niekto z ľudí, čo ešte nemajú dve úlohy, sa na ňu môže prihlásiť a odovzdať ju písomne.
Nestihli sme ani dôkaz vety 1.7.6 - skúsim sa niekedy vrátiť aspoň k tým častiam, kde je potrebné využiť, že $m$ je prvočíslo.
Pridám aj nejaké linky na príklad, ktorý sa týkal dôkazu indukciou o mocninách v komutatívnom okruhu: viewtopic.php?t=738 viewtopic.php?t=524
Rozprávali sme sa o tom, že dva polynómy (nad poľom $\mathbb R$ sa rovnajú práve vtedy, keď sa zhodujú všetky koeficienty. Táto vec sa dá ekvivalentne povedať tak, že polynóm je nulový práve vtedy, keď sú všetky koeficienty nulové. Môžete sa pozrieť sem alebo sem. A ak by mi náhodou zvýšil čas, tak k tomu niečo napíšem i na fórum
Niektorí ste sa po dnešnom cviku pýtali na to, ako vyzerá skúška. To je otázka skôr na iných ľudí ako mňa, ale môžete si prečítať čo je tu (prípadne tam i niečo napísať): viewtopic.php?t=834
Výberové cviko (19.10.):
Písomka dnes trvala dlhšie, než som čakal. (Nechám na vaše posúdenie, keď sa tu objavia aj riešenia, či to naozaj bolo také ťažké.)
Stihli sme potom už len úlohu 1a z časti o faktorových grupách v tomto súbore: http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/04faktor.pdf
Pripomeniem, že na stránke máte aj nejaké riešené úlohy na faktorové grupy: http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/faktorove.pdf
Povinné cviko (19.10.):
Riešili sme prednáškové úlohy: http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/PU0708.pdf
Nestihli sme poslednú - 2.1.18(9). Ak je záujem, tak niekto z ľudí, čo ešte nemajú dve úlohy, sa na ňu môže prihlásiť a odovzdať ju písomne.
Nestihli sme ani dôkaz vety 1.7.6 - skúsim sa niekedy vrátiť aspoň k tým častiam, kde je potrebné využiť, že $m$ je prvočíslo.
Pridám aj nejaké linky na príklad, ktorý sa týkal dôkazu indukciou o mocninách v komutatívnom okruhu: viewtopic.php?t=738 viewtopic.php?t=524
Rozprávali sme sa o tom, že dva polynómy (nad poľom $\mathbb R$ sa rovnajú práve vtedy, keď sa zhodujú všetky koeficienty. Táto vec sa dá ekvivalentne povedať tak, že polynóm je nulový práve vtedy, keď sú všetky koeficienty nulové. Môžete sa pozrieť sem alebo sem. A ak by mi náhodou zvýšil čas, tak k tomu niečo napíšem i na fórum
Niektorí ste sa po dnešnom cviku pýtali na to, ako vyzerá skúška. To je otázka skôr na iných ľudí ako mňa, ale môžete si prečítať čo je tu (prípadne tam i niečo napísať): viewtopic.php?t=834
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2016/17 - 1MAT
6. týždeň
Výberové cviko (26.10.):
Stále sme robili príklady na faktorové grupy: http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/04faktor.pdf Ešte sme sa vrátili k 1c (tentokrát cez vetu o izomorfizme) ďalej sme stihli ešte 1f, 1g a vyfaktorizovali sme ešte $G=\mathbb Z_3\times\mathbb Z_4$ podľa $H=\{(0,0),(0,2)\}$ (aby sme vyskúšali ešte raz príklad, kde tried je konečne veľa).
Pre istotu ešte raz pripomeniem, že na stránke sú nejaké riešené úlohy na faktorové grupy: http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/faktorove.pdf
Povinné cviko (27.10.):
Ešte sme sa vrátili k niektorým častiam dôkazu vety 1.7.6. (To bola jedna z prednáškových úloh, ktoré sme nestihli minule).
Potom sme riešili prednáškové úlohy 9 a 10 - nestihli sme úlohu 2.1.18(12), skúsime sa k nej ešte niekedy vrátiť. (A stále sa dá na ňu prihlasovať, ak by ju chcel niekto odprezentovať.)
Výberové cviko (26.10.):
Stále sme robili príklady na faktorové grupy: http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/04faktor.pdf Ešte sme sa vrátili k 1c (tentokrát cez vetu o izomorfizme) ďalej sme stihli ešte 1f, 1g a vyfaktorizovali sme ešte $G=\mathbb Z_3\times\mathbb Z_4$ podľa $H=\{(0,0),(0,2)\}$ (aby sme vyskúšali ešte raz príklad, kde tried je konečne veľa).
Pre istotu ešte raz pripomeniem, že na stránke sú nejaké riešené úlohy na faktorové grupy: http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/faktorove.pdf
Povinné cviko (27.10.):
Ešte sme sa vrátili k niektorým častiam dôkazu vety 1.7.6. (To bola jedna z prednáškových úloh, ktoré sme nestihli minule).
Potom sme riešili prednáškové úlohy 9 a 10 - nestihli sme úlohu 2.1.18(12), skúsime sa k nej ešte niekedy vrátiť. (A stále sa dá na ňu prihlasovať, ak by ju chcel niekto odprezentovať.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2016/17 - 1MAT
7. týždeň
Výberové cviko (2.11.):
Úlohy z http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/06vpry.pdf
Konkrétne úlohu 2 z časti o vektorových priestoroch. Z časti o podpriestoroch úlohy 1a,b,c,d,e; 2a,c; 3.
Povinné cviko (3.11.):
Riešili sme prednáškové úlohy 11 a 12. Stihli sme všetky okrem 2.2.9(6).
Na sústavu s parametrom podobnú, ako sa vyskytla v týchto PÚ (líši sa pravými stranami) sa môžete pozrieť tu: viewtopic.php?t=579
Ešte sme sa vrátili k úlohe z minulých PÚ o lineárnom obale, ktorá hovorila, že $[[M]]=[M]$.
Rozprávali sme sa trochu aj o skúške správnosti pri riešení sústav. Keďže sústavy budeme používať pomerne často, azda je to vec, nad ktorou sa oplatí aspoň trochu zamyslieť: viewtopic.php?f=29&t=522
Výberové cviko (2.11.):
Úlohy z http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/06vpry.pdf
Konkrétne úlohu 2 z časti o vektorových priestoroch. Z časti o podpriestoroch úlohy 1a,b,c,d,e; 2a,c; 3.
Povinné cviko (3.11.):
Riešili sme prednáškové úlohy 11 a 12. Stihli sme všetky okrem 2.2.9(6).
Na sústavu s parametrom podobnú, ako sa vyskytla v týchto PÚ (líši sa pravými stranami) sa môžete pozrieť tu: viewtopic.php?t=579
Ešte sme sa vrátili k úlohe z minulých PÚ o lineárnom obale, ktorá hovorila, že $[[M]]=[M]$.
Rozprávali sme sa trochu aj o skúške správnosti pri riešení sústav. Keďže sústavy budeme používať pomerne často, azda je to vec, nad ktorou sa oplatí aspoň trochu zamyslieť: viewtopic.php?f=29&t=522
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2016/17 - 1MAT
8. týždeň
Výberové cviko (9.11.):
Ešte sme sa vrátilli k sústavám. Chvíľu sme sa znovu rozprávali o tom, ako sa dá robiť skúška a ako pomocou nej hľadať chybu - o tom sme hovorili už minule: viewtopic.php?f=29&t=522
Prerátali sme dve sústavy z http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/07sustavy.pdf
Z http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/08baza.pdf sme stihli prvú úlohu z časti "lineárna závislosť a nezávislosť" a prvú úlohu z časti "báza a dimenzia".
(Dohodli sme sa tiež, že najbližšia malá písomka bude venovaná témam priestory a podpriestory; sústavy. Nebude ale budúci týždeň, lebo vtedy máte písomku z iného predmetu.)
Povinné cviko (10.11.):
Prešli sme PU13.
Na konci sme sa tak narýchlo stihli pozrieť na bázu a dimenziu prieniku a súčtu podpriestorov. Konkrétne úlohu 1b odtiaľto. Skúsime sa k tomu na cviku vrátiť poriadnejšie.
Niečo sa dá nájsť aj na fóre, ale v týchto dvoch postoch sa viac venujem súčtu a nie prieniku. Využíva sa tam úprava matice na redukovaný tvar - k tomu sa ešte iba dostaneme.
viewtopic.php?t=118
viewtopic.php?t=582
Výberové cviko (9.11.):
Ešte sme sa vrátilli k sústavám. Chvíľu sme sa znovu rozprávali o tom, ako sa dá robiť skúška a ako pomocou nej hľadať chybu - o tom sme hovorili už minule: viewtopic.php?f=29&t=522
Prerátali sme dve sústavy z http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/07sustavy.pdf
Z http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/08baza.pdf sme stihli prvú úlohu z časti "lineárna závislosť a nezávislosť" a prvú úlohu z časti "báza a dimenzia".
(Dohodli sme sa tiež, že najbližšia malá písomka bude venovaná témam priestory a podpriestory; sústavy. Nebude ale budúci týždeň, lebo vtedy máte písomku z iného predmetu.)
Povinné cviko (10.11.):
Prešli sme PU13.
Na konci sme sa tak narýchlo stihli pozrieť na bázu a dimenziu prieniku a súčtu podpriestorov. Konkrétne úlohu 1b odtiaľto. Skúsime sa k tomu na cviku vrátiť poriadnejšie.
Niečo sa dá nájsť aj na fóre, ale v týchto dvoch postoch sa viac venujem súčtu a nie prieniku. Využíva sa tam úprava matice na redukovaný tvar - k tomu sa ešte iba dostaneme.
viewtopic.php?t=118
viewtopic.php?t=582
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2016/17 - 1MAT
9. týždeň
Výberové cviko (16.11.):
Ešte sme sa vrátili k úlohám na hľadanie dimenzie a bázy $U\cap V$ a $U+V$. Konkrétne sme prešli úlohy 1b a 1d z 08baza.pdf.
viewtopic.php?t=118
viewtopic.php?t=582
Z 09rtm.pdf sme sa pozreli na prvé dve úlohy a porozprávali sme sa o tom, ako sa pri úprave na redukovaný tvar robiť skúška: viewtopic.php?t=531
17.11 bolo voľno.
Výberové cviko (16.11.):
Ešte sme sa vrátili k úlohám na hľadanie dimenzie a bázy $U\cap V$ a $U+V$. Konkrétne sme prešli úlohy 1b a 1d z 08baza.pdf.
viewtopic.php?t=118
viewtopic.php?t=582
Z 09rtm.pdf sme sa pozreli na prvé dve úlohy a porozprávali sme sa o tom, ako sa pri úprave na redukovaný tvar robiť skúška: viewtopic.php?t=531
17.11 bolo voľno.