10. týždeň
Utorkové cviko: (24.4.)
Písomka trvala dlhšie ako zvyčajne - takže vlastne sme sa stihli pozrieť iba na niektoré časti úlohy 5 z 06jordan.pdf. (Ak poznáme Jordanov tvar, vieme nájsť charakteristický polynóm, minimálny polynóm, niektoré ďalšie vlastnosti našej matice?)
Štvrkové cviko: (24.4.)
Prešli sme prednáškové úlohy 17 - to sú úlohy na Jordanov tvar.
Pri druhej z nich sme sa pozreli aj na to, ako vieme nájsť maticu $P$ pre ktorú máme $PAP^{-1}=J$. Niečo podobné je detailne vyriešené aj tu: viewtopic.php?t=656 (V našom príklade sme mali situáciu ľahšiu z dôvodu, že sme mali dva bloky veľkosti dva. V príklade na ktorý som dal linku sú bloky veľkosti 3 a 1, čo niektoré veci o trošičku skomplikuje.)
Okrem toho sme si ukázali ešte jeden príklad na ortogonálnu podobnosť - ako nájsť pre danú symetrickú maticu $A$ ortogonálnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, že platí $PAP^T=D$. (Na prednáške ste to síce zatiaľ nepreberali - neskôr si ukážete že takéto matice existujú pre ľubovoľnú symetrickú maticu $A$. Ale postup je veľmi podobný na určovanie podobnosti s diagonálnou maticou - jediný rozdiel je že musíme dať pozor aby sme vybrali vlastné vektory, ktoré sú navzájom kolmé a majú jednotkovú dĺžku - tak som to urobil už teraz.)
Príklad takéhoto typu je vyriešený tu: viewtopic.php?t=893
Viacero takýchto úloh je na konci súboru 07kvadform.pdf, my sme konkrétne urobili 11d.
Cvičenia LS 2017/18
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2017/18
11. týždeň
V utorok sa neučilo (štátny sviatok).
Štvrtkové cviko: (3.5.)
Príklady 1b a 6d z 07kvadform.pdf.
Prvý z nich sa týkal nájdenia kanonického tvaru, pričom sme si ukázali dve metódy (dopĺňanie na štvorec, striedavé riadkové a stĺpcové úpravy). Druhý príklad bol o kladnej definitnosti.
Nejaké príklady na úpravu kanonický tvar sa dajú nájsť vyriešené tu: viewtopic.php?t=677 a viewtopic.php?t=678
Kvadratické formy a extrémy funkcií viac premenných
Veľmi stručne sme sa porozprávali o tom, ako súvisí kladná definitnosť s tým, či nejaká funkcia nadobúda v danom bode maximum/minimum. Z toho, čo ste sa naučili rátať tu, by ste to vedeli vypočítať aspoň pre funkciu, ktorá má priamo tvar kvadratickej formy. Keď sa naučíte niečo z analýzy viac premenných, tak budete podobné veci vedieť rátať pre diferencovateľné funkcie. Pridám aspoň linku na WIkipédiu, ak si o tom niekde chcete prečítať viac: Second partial derivative test.
Do značnej miery sa to podobá na to, čo už poznáte z analýzy funkcií jednej premennej. Tam hľadáte body, kde je $f'(x)=0$. A podľa toho, či je druhá derivácia kladná alebo záporná viete povedať, či ide o minimum alebo maximu. Pri funkciách viac premenných sa tu objaví matica (ktorú získate pomocou parciálnych derivácií) a o nej budete chcieť zistiť, či je kladne alebo záporne definitná.
Nejaké príklady na hľadanie minima/maxima aspoň v prípade keď má daná funkcia tvar kvadratickej formy sa dajú nájsť v 09krivky.pdf. (Tieto príklady skôr berte ako príklady "navyše" - ako ukážku, že nejaké aspoň trochu zaujímavé veci vieme spočítať s tým, čo sme sa na lineárke naučili.) Neskôr, keď sa budete učiť diferenciálny počet pre funkcie viac premenných, budete riešiť úlohy takéhoto typu aj s komplikovanejšími funkciami.
V utorok sa neučilo (štátny sviatok).
Štvrtkové cviko: (3.5.)
Príklady 1b a 6d z 07kvadform.pdf.
Prvý z nich sa týkal nájdenia kanonického tvaru, pričom sme si ukázali dve metódy (dopĺňanie na štvorec, striedavé riadkové a stĺpcové úpravy). Druhý príklad bol o kladnej definitnosti.
Nejaké príklady na úpravu kanonický tvar sa dajú nájsť vyriešené tu: viewtopic.php?t=677 a viewtopic.php?t=678
Kvadratické formy a extrémy funkcií viac premenných
Veľmi stručne sme sa porozprávali o tom, ako súvisí kladná definitnosť s tým, či nejaká funkcia nadobúda v danom bode maximum/minimum. Z toho, čo ste sa naučili rátať tu, by ste to vedeli vypočítať aspoň pre funkciu, ktorá má priamo tvar kvadratickej formy. Keď sa naučíte niečo z analýzy viac premenných, tak budete podobné veci vedieť rátať pre diferencovateľné funkcie. Pridám aspoň linku na WIkipédiu, ak si o tom niekde chcete prečítať viac: Second partial derivative test.
Do značnej miery sa to podobá na to, čo už poznáte z analýzy funkcií jednej premennej. Tam hľadáte body, kde je $f'(x)=0$. A podľa toho, či je druhá derivácia kladná alebo záporná viete povedať, či ide o minimum alebo maximu. Pri funkciách viac premenných sa tu objaví matica (ktorú získate pomocou parciálnych derivácií) a o nej budete chcieť zistiť, či je kladne alebo záporne definitná.
Nejaké príklady na hľadanie minima/maxima aspoň v prípade keď má daná funkcia tvar kvadratickej formy sa dajú nájsť v 09krivky.pdf. (Tieto príklady skôr berte ako príklady "navyše" - ako ukážku, že nejaké aspoň trochu zaujímavé veci vieme spočítať s tým, čo sme sa na lineárke naučili.) Neskôr, keď sa budete učiť diferenciálny počet pre funkcie viac premenných, budete riešiť úlohy takéhoto typu aj s komplikovanejšími funkciami.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2017/18
12. týždeň
V utorok sa neučilo (štátny sviatok).
Štvrtkové cviko: (10.5.)
Robili sme prednáškové úlohy týkajúce sa kvadratických foriem. (Úprava na kanonický tvar, Konkrétne PU18/2,3, PU20/1,2,3, PU21/1. Popri nich sme si všimli aj to, že symetrická matica je kladne definitná práve vtedy, keď má kladné vlastné hodnoty. A pozreli sme sa na súvis medzi vlastnými hodnotami matice $A$ a matice $A-cI$. (T.j. keď odčítame násobok jednotkovej matice.)
Okrem toho sme si povedali nejaké základné veci o kužeľosečkách - niečo z toho, čo je aj v 08kuzelosecky.pdf. Najmä som povedal, ako vyzerá rovnica elipsy, hyperboly a paraboly. Jediné čo som stihol aj naozaj odvodiť bolo, že ako množinu bodov takých, že súčet vzdialeností od zadaných bodov je konštanta, je naozaj presne elipsa. (Odvodenie pre hyperbolu by bolo ale dosť podobné.)
Ak si o nich chcete prečítať viac, pridám linky na články na Wikipédii o elipse, hyperbole a parabole. Nejaké dalšie súvisiace veci, ktoré sú azda zaujímavé: Keplerove zákony, šikmý vrh, parabola a reflektory/zrkadlá. V súvislosti s hyperbolou sú v texte, ktorý som vám dal, spomenuté i hyperbolické funkcie (na cviku sme však o nich nehovorili).
Dohodli sme sa, že budúci týždeň je na výberovom cviku (v utorok) malá písomka - téma sú kvadratické formy. (Napríklad veci ako kanonický tvar, kladná definitnosť a pod.) Týka sa ale iba tých, čo nemajú A-čko už z doterajších písomiek.
V utorok sa neučilo (štátny sviatok).
Štvrtkové cviko: (10.5.)
Robili sme prednáškové úlohy týkajúce sa kvadratických foriem. (Úprava na kanonický tvar, Konkrétne PU18/2,3, PU20/1,2,3, PU21/1. Popri nich sme si všimli aj to, že symetrická matica je kladne definitná práve vtedy, keď má kladné vlastné hodnoty. A pozreli sme sa na súvis medzi vlastnými hodnotami matice $A$ a matice $A-cI$. (T.j. keď odčítame násobok jednotkovej matice.)
Okrem toho sme si povedali nejaké základné veci o kužeľosečkách - niečo z toho, čo je aj v 08kuzelosecky.pdf. Najmä som povedal, ako vyzerá rovnica elipsy, hyperboly a paraboly. Jediné čo som stihol aj naozaj odvodiť bolo, že ako množinu bodov takých, že súčet vzdialeností od zadaných bodov je konštanta, je naozaj presne elipsa. (Odvodenie pre hyperbolu by bolo ale dosť podobné.)
Ak si o nich chcete prečítať viac, pridám linky na články na Wikipédii o elipse, hyperbole a parabole. Nejaké dalšie súvisiace veci, ktoré sú azda zaujímavé: Keplerove zákony, šikmý vrh, parabola a reflektory/zrkadlá. V súvislosti s hyperbolou sú v texte, ktorý som vám dal, spomenuté i hyperbolické funkcie (na cviku sme však o nich nehovorili).
Dohodli sme sa, že budúci týždeň je na výberovom cviku (v utorok) malá písomka - téma sú kvadratické formy. (Napríklad veci ako kanonický tvar, kladná definitnosť a pod.) Týka sa ale iba tých, čo nemajú A-čko už z doterajších písomiek.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia LS 2017/18
13. týždeň
Utorkové cviko: (15.5.)
Kužeľosečky. Viacero úloh takýchto typov nájdete vyriešených a okomentovaných na fóre:
viewtopic.php?t=901
viewtopic.php?t=902
viewtopic.php?t=903
viewtopic.php?t=909
viewtopic.php?t=910
Štvrtkové cviko - písomka.
Utorkové cviko: (15.5.)
Kužeľosečky. Viacero úloh takýchto typov nájdete vyriešených a okomentovaných na fóre:
viewtopic.php?t=901
viewtopic.php?t=902
viewtopic.php?t=903
viewtopic.php?t=909
viewtopic.php?t=910
Štvrtkové cviko - písomka.