Cvičenia LS 2018/19

[Martin Sleziak]

Sem budem písať, čo sme stihli na jednotlivých cvičeniach. (Môže byť užitočné, ak sa k tomu chcete vrátiť alebo ak ste chýbali na cviku.)

Tento topic by som chcel používať iba na tento účel. Takže ak budete mať otázky k niečomu, čo bolo na cviku, tak skúste v inom topicu. (Buď založiť nový alebo v nejakom už existujúcom, ak nájdete taký, kde sa vaša otázka hodí.)

Síce cvičenia určite nebudú presne totožné ako v minulosti, ale budú do značnej miery podobné. Ak by ste sa chceli pozrieť, čo sa robilo po minulé roky:
viewtopic.php?t=1204
viewtopic.php?t=1027
viewtopic.php?t=840
viewtopic.php?t=593

[Martin Sleziak]

1. týždeň
Rátali sme príklady na determinanty z 11deter.pdf.
Na prvom determinante z úlohy 1 sme si ukázali výpočet determinantu pomocou riadkových operácií aj pomocou Laplaceovho rozvoja.
Ďalšie úlohy, ktoré sme stihli boli 4,5,6,7,12 a 18.
V úlohe 4 sme videli, že determinanty nám dávajú inú možnosť ako rátať hodnosť matice s parametrom.
Trochu viac času sme strávili s úlohou 20. Najprv sme sa pozreli sa na to ako funguje súčin blokových matíc. To sme potom použili na odvodenie nejakých vecí o determinantoch. Ešte raz pripomeniem, že podobný vzorec ako nám vyšiel tu by neplatí v prípade, že nemáme nad alebo pod diagonálou nulový blok: viewtopic.php?t=918

[Martin Sleziak]

2. týždeň
Povinnné cvičenie: (25.2.)
Prešli sme prednáškové úlohy č.1.
Potom sme rátali nejaké príklady z z 11deter.pdf.
Povedali sme si čo je Cramerovo pravidlo. Prepočítali sme po jednom príklade z úloh 2 a 3. Stručne som naznačil jednu možnosť dôkazu. (Iný dôkaz, využívajúci Laplaceov rozvoj a adjungovanú maticu, môžete nájsť v knihe.)

Spoiler:

Ak $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ vyhovuje sústave $A\vec x^T=\vec b^T$, tak stačí skontrolovať, že súčinom
$$A
\begin{pmatrix}
1 & & & x_1 & & \\
& 1 & & x_2 & & \\
& & \ddots & \vdots & & \\
& & & x_i & & \\
& & & \vdots & \ddots & \\
& & & x_n & & 1 \\
\end{pmatrix}
$$
dostaneme presne maticu $A_i$ ktorá vznikne z $A$ nahradením $i$-teho stĺpca pravými stranami. (Matica ktorou násobím je taká, že v jednotkovej matici sme $i$-ty stĺpec nahradili riešením.)
A potom skontrolovať, že pre determinanty týchto matíc dostaneme $|A|\cdot x_i = |A_i|$.

Spomenuli sme si výpočet inverznej matice pomocou adjungovanej matice. Vyskúšali sme si, že pre matice rozmerov $2\times2$ to vyjde
$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.$$

Výberové cvičenie (v piatok) tento týždeň nebude. Namiesto neho máte tento týždeň o jednu prednášku navyše: viewtopic.php?t=1395

[Martin Sleziak]

3. týždeň
Povinné cviko.
Okrem úlohy na Cramerovo pravidlo sme prešli prednáškové úlohy č. 2.
Bonusová úloha vlastne hovorí že determinant je až na skalárny násobok jednoznačne určený tým, že to je funkcia ktorá je alternujúca a multilineárna. Nerobili sme túto úlohu detailne - iba som naznačil dva možné postupy. Jeden z nich je rozmyslieť si čo sa deje pri riadkových operáciách a skontrolovať, že $F(EA)=\det(E)F(A)$. Druhý spočíva v prepísaní
$$F(\vec a_1, \vec a_2, \dots, \vec a_n)=\sum_{i_1=1}^n \sum_{i_2=1}^n \dots \sum_{i_n=1}^n a_{1,i_1}a_{2,i_2}\cdots a_{n,i_n} F(\vec e_{i_1}, \vec e_{i_2}, \dots, \vec e_{i_n}).$$
Potom ešte stále zostáva skontrolovať, čo sa stane pre matice takéhoto špeciálneho tvaru. (V každom riadku mám len jednu jednotku.)

Výberové cviko.
Budúci týždeň na malú písomku treba vedieť ako hľadať ortogonálnu bázu a ako hľadať ortogonálny doplnok.
Okrem toho sme na cvičeniach stihli dva príklady, kde sme hľadali maticu ortogonálne projekcie. (Ukázali sme si viac spôsobov ako takúto úlohu riešiť.) Úlohu tohoto typu nájdete aj na fóre: viewtopic.php?t=824
Takisto na fóre môžete nájsť aj viacero ďalších príkladov súvisiacich so skalárnymi súčinmi: viewtopic.php?t=993
Tiež sme sa pozreli na to, že táto matica sa dá (pre štandardný skalárny súčin) vyjadriť v tvare $$P=\vec u_1^T \vec u_1 + \vec u_2^T \vec u_2 + \dots + \vec u_k^T \vec u_k,$$ z čoho vidno aj to, že je symetrická.

[Martin Sleziak]

4. týždeň (11.3.)
Prešli sme prednáškové úlohy č. 3. (Úlohu č. 5 sme nerobili - ak by ju niekto chcel odprezentovať, môže nabudúce.)
V jednej z nich sme odvodili pomocou skalárneho súčinu rovnobežníkové pravidlo. Porozprávali sme si nejaké veci o O(n) a SO(n), ktoré zhrniem nižšie.
Urobili sme aj bonusovú úlohu - popritom sme si pripomenuli že ak $P$ je matica ortogonálnej projekcie (pri štandardnom skalárnom súčine), tak musí byť symetrická. Platí pre ňu $P^2=P$. Matica $P'=I-P$ je matica projekcie na $S^\bot$. Pre tieto matice platí $PP'=P'P=0$, t.j. $P(I-P)=(I-P)P=0$.
Okrem toho sme urobili úlohu 3 z 00skal.pdf - hľadanie kolmého priemetu daného vektora do zadaného podpriestoru. Pripomeniem, že viacero takýchto úloh je vyriešených aj na fóre: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=993
Malá písomka nabudúce bude na hľadanie kolmého priemetu a matice projekcie.

Trochu sme sa rozprávali o maticových grupách O(n) (orthogonal group) a SO(n) (special orthogonal group). Spomenuli sme napríklad toto:

• Matica patrí do $O(n)$ práve vtedy, keď jej riadky sú na seba kolmé a majú dĺžku $1$.
  Spoiler:

  Ak $A=\begin{pmatrix}\vec a_1\\\vec a_2\\\vdots\\\vec a_n\end{pmatrix}$, tak matica $AA^T$ má na pozícii $(i,j)$ hodnotu $\vec a_i \vec a_j^T=\langle \vec a_i, \vec a_j \rangle$. Z rovnosti $AA^T=I$ nám potom vyjde $|\vec a_i|^2=0$ a $\langle \vec a_i, \vec a_j \rangle=0$.
• Ukázali sme si, že $SO(2)=\{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}; a,b\in\mathbb R, a^2+b^2=1\}$. Podobne sa dá dokázať aj $O(2)=\{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}; a,b\in\mathbb R, a^2+b^2=1\}$
• Zobrazenia určené maticami z $O(n)$ zachovávajú skalárny súčin - a teda zachovávajú aj dĺžky a uhly vektorov. (Śpeciálne pre $n=2$ dostaneme presne rotácie a rotácie zložené s osovými symetriami.)
  Spoiler:

  $\langle \vec xA,\vec yA \rangle = \vec x A (\vec y A)^T = \vec x A A^T \vec y^T = \vec x \vec y^T = \langle \vec x, \vec y\rangle$

Ešte spomeniem, že matice podobného tvaru sa vyskytli v maticovom popise komplexných čísel http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=571 (A pre kvaternióny tiež máme maticovú reprezentáciu, ktorá sa podobá na jednu z matíc z tejto sady prednáškových úloh.)

[Martin Sleziak]

5. týždeň (18.3.)

Prešli sme prednáškové úlohy. Pri nich sme trochu odbočili ku geometrickej interpretácii barycentrických súradníc. A pri jednej z úloh sme sa pozreli aj na to, ako z parametrického vyjadrenia priamky/roviny dostať všeobecné vyjadrenie.

Úloha 8a z poslednej časti v 01afin.pdf. Body $A\equiv(a_1,a_2)$, $B\equiv(b_1,b_2)$, $C\equiv(c_1,c_2)$ ležia na jednej priamke práve vtedy keď
$$\det
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{pmatrix}=0.
$$
Oplatí sa všimnúť si, že sa to podobá na to, čo sme robili pri overovaní či body tvoria barycentrický súradnicový systém. A tiež sa môžete zamyslieť nad tým, že podobne by fungovalo kritérium či 4 body v 3-rozmernom priestore ležia v jednej rovine. (Alebo všeobecnejšie v n-rozmernom priestore by sme mali podobné kritérium pre nadrovinu.)

Na malú písomku na budúci týždeň treba vedieť veci súvisiace s barycentrickými súradnicami.

[Martin Sleziak]

6. týždeň (25.3)
Dnes sme stihli prejsť prednáškové úlohy č. 5.
Okrem toho sme sa pozreli na úlohu 7 z 02vzaj.pdf. (Príklad afinných podpriestorov v $\mathbb R^4$, ktoré nie sú ani rovnobežné, ani rôznobežné, ani mimobežné.

Malá písomka budúci týždeň sa bude týkať vzájomných polôh afinných podpriestorov.

[Martin Sleziak]

7. týždeň (1.4)
Dnes sme stihli prejsť prednáškové úlohy č. 6 (okrem bonusovej úlohy).
Okrem toho sme si povedali výsledky uvedené ako úlohy 1 a 2 v 04vzdial.pdf. (Tie môžu byť užitočné pri počítaní vzdialeností afinných podpriestorov.) A okrem toho sme z tejto sady úloh ešte vyrátali úlohu 4a.
Dohodli sme sa, že budúci týždeň bude malá písomka na vzdialenosti.

Viacero úloh na vzdialenosti sa dá nájsť vyriešených na fóre - napríklad:
viewtopic.php?t=623
viewtopic.php?t=628
viewtopic.php?t=870
viewtopic.php?t=1051
viewtopic.php?t=1076

[Martin Sleziak]

8. týždeň (8.4)
Dnes sme stihli prejsť prednáškové úlohy č. 7. (Okrem úlohy 3 - ak by niekto chcel, tak ju môže odprezentovať nabudúce.) Pri jednej z prednáškových úloh sme si povedali niečo o tom, ako sa dajú použiť normálovo kolmé nadroviny na výpočet vzdialenosti: viewtopic.php?t=1051
Trochu dlhšie sme sa zdržali pri úlohách týkajúcich sa metódy najmenších štvorcov. Videli sme, že približné riešenie sústavy $AX=B$ je súčasne riešením sústavy $A^TAX=A^TB$. Tiež sme sa na to pozreli ako na hľadanie minima pomocou parciálnych derivácií. (Nutná podmienka pre minimum je, že derivácie majú nulové. Detailnejšie sa budete zaoberať s extrémami funkcii viac premenných na druháckej analýze - podmienka pre druhé derivácie v prípade funkcií viac premenných súvisí s kvadratickými formami - a ich kladnou definitnosťou - čo je jedna z tém, ktorými sa budeme zaoberať na tejto prednáške.)
EDIT: Na fórum som pridal riešenie nejakých úloh týkajúcich sa metódy najmenších štvorcov: viewtopic.php?t=1429 a viewtopic.php?t=1433

[Martin Sleziak]

9. týždeň (15.4)
Pozreli sme sa na úlohu zistiť, či matice $2\times2$ sú navzájom podobné resp. či sú podobné diagonálnej matici. Urobili sme príklady a, b z úlohy 1.1 v 05podob.pdf. Nejaké takéto úlohy (vrátane tých, čo sme urobili na cviku) nájdete vyriešené aj tu: viewtopic.php?t=655

Veci aké sme rátali dnes budú o čosi jednoduchšie, keď budeme vedieť viac z teórie. (Hlavne veci o Jordanovom tvare.)
Pretože budeme v tejto časti semestra pomerne často riešiť úlohy, kde bude treba vypočítať charakteristický polynóm a jeho korene, tak tu sú nejaké veci užitočné pri hľadaní koreňov: viewtopic.php?t=890 (Postupne by sme mali viaceré z nich na cviku spomenúť.)

Dohodli sme sa, že na najbližšom cviku bude malá písomka, na ktorú treba vedieť rátať charakteristický polynóm, vlastné čísla, vlastné vektory.