10. týždeň
Povinné cviko (19.4.)
Keďže o tom trochu bola reč, tak pridám opäť linky na nejaké rady k hľadaniu koreňov charakteristického polynómu: viewtopic.php?t=890 a viewtopic.php?t=1091
V súvislosti s jedno z bonusových úloh pripomeniem, že sme už videli, že projekcia nemôže mať vlastnú hodnotu $-1$: viewtopic.php?t=1657
Teraz už vieme aj to, že vlastné hodnoty môžu byť iba $0$ alebo $1$.
Výberové cviko (23.4.)
Determinanty blokových matíc.
Príklad 21 z 11deter.pdf.
Videli sme, že pre determinanty blokových matíc platí:
$\begin{vmatrix}
A&0\\
B&C\end{vmatrix}=|A|\cdot|C|$
Niečo k tomu je v tomto topicu: viewtopic.php?t=918
Nasledujúci príklad 22 nám dáva vyjadrenie $\det(A) \det (D-C A^{-1} B)$ za predpokladu, že $A$ je regulárna. Môžete sa zamyslieť aj nad touto úlohou - mala by sa dať odvodiť tiež podobne, t.j. pomocou vynásobenia vhodných matíc.
Podobnosť matíc.
Pozreli sme sa na to, že súčet koreňov charakteristického polynómu je stopa a ich súčin je determinant: viewtopic.php?t=642
Pritom sme pripomenuli Vietove vzťahy.
Tiež sme si rozmysleli, že túto vec dostaneme pomerne ľahko, ak by sme mali k dispozícii to, že naša matica je podobná s hornou trojuholníkovou maticou.
Prešli sme jednu úlohu typu: Pre danú maticu $A$ nájsť regulárnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, aby platilo $PAP^{-1}=D$ resp. $PA=DP$. (Čo je v podstate úloha nájsť vlastné čísla a vlastné vektory - takže sme si pripomenuli aj niečo o nich.)
Podobné matice majú rovnaký minimálny polynóm: viewtopic.php?t=657
V dôkaze sme videli, že pre ľubovoľný polynóm $f(x)$ z $B=PAP^{-1}$ vyplýva $f(B)=Pf(A)P^{-1}$, čiže aj matice $f(A)$ a $f(B)$ sú podobné.
Na minimálny polynóm sa dá pozerať ako na vlastnosti lineárnej transformácie - a teda by sme čakali, že to je niečo čo nezávisí od voľby bázy a vyjde to rovnako pre všetky podobné matice. (Podobná vec, akú sme spomenuli napríklad v súvislosti s determinantom.)
Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2020/21
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2020/21
11. týždeň
Na pondelkovom cviku bola chvíľu reč o ľavých/pravých (riadkových/stĺpcových) vlastných vektorov - k tomu pribudlo niečo aj na fóre: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1687
Výberové cviko (30.4.)
Mocniny matice $J-\lambda I$ (resp. $A-\lambda I$) a počty blokov rôznych veľkostí v Jordanovom tvare: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1688
Našli sme Jordanov tvar pre maticu $$A=
\begin{pmatrix}
4 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 4 & 2 & 1 \\
1 &-5 & 3 & 2 \\
-1 & 5 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}.
$$ Pozreli sme sa aj na to, ako sme v tomto prípade vedeli nájsť maticu $P$ takú, že $PAP^{-1}=J$.
Pripomeniem, že na fóre môžete nájsť vyriešených viacero príkladov na Jordanov tvar: viewtopic.php?t=1509
Minimálny polynóm
Pozreli sme sa na to, ako môžeme z Jordanovho tvaru vyčítať minimálny polynóm. (Bez dôkazu sme spomenuli, že každá vlastná hodnota musí byť koreňom minimálneho polynómu. Aspoň stručne sme si vysvetlili, že sa stačí pozerať na to, pri akej mocnine sa vynulujú jednotlivé bloky.)
Na pondelkovom cviku bola chvíľu reč o ľavých/pravých (riadkových/stĺpcových) vlastných vektorov - k tomu pribudlo niečo aj na fóre: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1687
Výberové cviko (30.4.)
Mocniny matice $J-\lambda I$ (resp. $A-\lambda I$) a počty blokov rôznych veľkostí v Jordanovom tvare: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1688
Našli sme Jordanov tvar pre maticu $$A=
\begin{pmatrix}
4 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 4 & 2 & 1 \\
1 &-5 & 3 & 2 \\
-1 & 5 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}.
$$ Pozreli sme sa aj na to, ako sme v tomto prípade vedeli nájsť maticu $P$ takú, že $PAP^{-1}=J$.
Pripomeniem, že na fóre môžete nájsť vyriešených viacero príkladov na Jordanov tvar: viewtopic.php?t=1509
Minimálny polynóm
Pozreli sme sa na to, ako môžeme z Jordanovho tvaru vyčítať minimálny polynóm. (Bez dôkazu sme spomenuli, že každá vlastná hodnota musí byť koreňom minimálneho polynómu. Aspoň stručne sme si vysvetlili, že sa stačí pozerať na to, pri akej mocnine sa vynulujú jednotlivé bloky.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2020/21
12. týždeň
Na pondelkovom cviku bol spomenutý výpočet koeficientov charakteristického polynómu pomocou minorov - niečo o tom je napísané tu: viewtopic.php?t=1689
Výberové cviko (7.5.)
Jordanov tvar a minimálny polynóm Ešte sme sa vrátili k úlohe vyčítať z Jordanovho tvaru minimálny polynóm a potom sme aj vyjadrili $A^{-1}$ ako polynóm od $A$ - úloha 5c z 06jordan.pdf.
Kanonický tvar kvadratickej formy.
Pre danú kvadratickú formu sme našli kanonický tvar a príslušnú diagonálnu maticu. Urobili sme to doplnením na štvorec a aj pomocou riadkových a stĺpcových operácií. Konkrétne sme prešli príklad 1.1a z 07kvadform.pdf.
Neriešili sme otázku ako sa to dá urobiť, ak máme na diagonálne nuly. (Napríklad pre kvadratickú formu $x_1x_2$.) Len sme si povedali, že tu nastáva problém pri postupoch, ktoré sme skúšali - treba tam trochu viac pošpekulovať. Zostalo to pre vás na rozmýšľanie - s tým, že takýto typ úlohy je medzi prednáškovými úlohami, takže to uvidíte na pondelkovom cviku.
Takisto sme sa na cviku nevenovali ani kladnej definitnosti (ktorú viem zistiť z kanonického tvaru alebo aj pomocou Sylvestrovho kritéria. Aj v tomto prípade platí, že nejakú úlohu na túto tému máte medzi najbližšími prednáškovými úlohami.
Kvadratické formy a extrémy funkcií viac premenných.
Povedali sme niečo o tom, ako súvisia kvadratické formy s hľadaním maxima/minima pre funkcie viac premenných: viewtopic.php?t=1428
(Aj keď tu sme sa museli použiť pár vecí, ktoré ešte len budete preberať - čiže na viac miestach som povedal, že nejaké veci fungujú v istom zmysle podobne pre viac premenných ako pre jednu premennú a čo presne sa tým myslí.)
Nejaké príklady na hľadanie minima/maxima aspoň v prípade keď má daná funkcia tvar kvadratickej formy sa dajú nájsť v 07kvadform.pdf. (Tieto príklady skôr berte ako príklady "navyše" - ako ukážku, že nejaké aspoň trochu zaujímavé veci vieme spočítať s tým, čo sme sa na lineárke naučili.) Neskôr, keď sa budete učiť diferenciálny počet pre funkcie viac premenných, budete riešiť úlohy takéhoto typu aj s komplikovanejšími funkciami.
Na pondelkovom cviku bol spomenutý výpočet koeficientov charakteristického polynómu pomocou minorov - niečo o tom je napísané tu: viewtopic.php?t=1689
Výberové cviko (7.5.)
Jordanov tvar a minimálny polynóm Ešte sme sa vrátili k úlohe vyčítať z Jordanovho tvaru minimálny polynóm a potom sme aj vyjadrili $A^{-1}$ ako polynóm od $A$ - úloha 5c z 06jordan.pdf.
Kanonický tvar kvadratickej formy.
Pre danú kvadratickú formu sme našli kanonický tvar a príslušnú diagonálnu maticu. Urobili sme to doplnením na štvorec a aj pomocou riadkových a stĺpcových operácií. Konkrétne sme prešli príklad 1.1a z 07kvadform.pdf.
Neriešili sme otázku ako sa to dá urobiť, ak máme na diagonálne nuly. (Napríklad pre kvadratickú formu $x_1x_2$.) Len sme si povedali, že tu nastáva problém pri postupoch, ktoré sme skúšali - treba tam trochu viac pošpekulovať. Zostalo to pre vás na rozmýšľanie - s tým, že takýto typ úlohy je medzi prednáškovými úlohami, takže to uvidíte na pondelkovom cviku.
Takisto sme sa na cviku nevenovali ani kladnej definitnosti (ktorú viem zistiť z kanonického tvaru alebo aj pomocou Sylvestrovho kritéria. Aj v tomto prípade platí, že nejakú úlohu na túto tému máte medzi najbližšími prednáškovými úlohami.
Kvadratické formy a extrémy funkcií viac premenných.
Povedali sme niečo o tom, ako súvisia kvadratické formy s hľadaním maxima/minima pre funkcie viac premenných: viewtopic.php?t=1428
(Aj keď tu sme sa museli použiť pár vecí, ktoré ešte len budete preberať - čiže na viac miestach som povedal, že nejaké veci fungujú v istom zmysle podobne pre viac premenných ako pre jednu premennú a čo presne sa tým myslí.)
Nejaké príklady na hľadanie minima/maxima aspoň v prípade keď má daná funkcia tvar kvadratickej formy sa dajú nájsť v 07kvadform.pdf. (Tieto príklady skôr berte ako príklady "navyše" - ako ukážku, že nejaké aspoň trochu zaujímavé veci vieme spočítať s tým, čo sme sa na lineárke naučili.) Neskôr, keď sa budete učiť diferenciálny počet pre funkcie viac premenných, budete riešiť úlohy takéhoto typu aj s komplikovanejšími funkciami.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Ortogonálna podobnosť
Ortogonálna podobnosť
Príklady týkajúce sa úlohy nájsť ortogonálnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, že platí $PAP^T=D$.
Nejaké takéto príklady nájdete vyriešené aj na fóre: viewtopic.php?t=1509
Pridal som video, kde je prepočítaných niekoľko príkladov takéhoto typu: https://web.microsoftstream.com/video/9 ... 7fa1c7985a
Tu sú veci, ktoré som písal: http://msleziak.com/vyuka/2020/lag2/20210512.pdf a http://msleziak.com/vyuka/2020/lag2/20210512.zip
Tu sú tie isté príklady: http://msleziak.com/vyuka/2020/lag2/ortog.pdf
Výhoda videa je, že si ho môžete zastaviť alebo niektoré časti preskočiť.
Na piatkovom cviku sa môžeme dohodnúť, či vám stačí to, že máte niekde takéto príklady aj s riešeniam a môžeme sa venovať iným témam. (Napríklad kreslením kužeľosečiek, alebo aj niečím iným, ak budete mať pocit, že sa ešte k niečomu treba vrátiť.)
Pripomeniem, že pri týchto výpočtoch sa nám môže hodiť fakt, že k rôznym vlastným hodnotám dostaneme navzájom kolmé vlastné vektory: viewtopic.php?t=1691
My sme zvyknutí pracovať s riadkovými vektormi - ak vlastné vektory píšete do stĺpcov, tak dostanete namiesto $PAP^T=D$ rovnosť $Q^TAQ=D$: viewtopic.php?t=1687
Ako zaujímavosť spomeniem Hadamardovu hypotézu, čo je pomerne známy otvorený problém. (V jednom z príkladov nám vyšla takáto matica - pozostávajúca len z $\pm1$ a riadky boli na seba kolmé.)
Príklady týkajúce sa úlohy nájsť ortogonálnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, že platí $PAP^T=D$.
Nejaké takéto príklady nájdete vyriešené aj na fóre: viewtopic.php?t=1509
Pridal som video, kde je prepočítaných niekoľko príkladov takéhoto typu: https://web.microsoftstream.com/video/9 ... 7fa1c7985a
Tu sú veci, ktoré som písal: http://msleziak.com/vyuka/2020/lag2/20210512.pdf a http://msleziak.com/vyuka/2020/lag2/20210512.zip
Tu sú tie isté príklady: http://msleziak.com/vyuka/2020/lag2/ortog.pdf
Výhoda videa je, že si ho môžete zastaviť alebo niektoré časti preskočiť.
Na piatkovom cviku sa môžeme dohodnúť, či vám stačí to, že máte niekde takéto príklady aj s riešeniam a môžeme sa venovať iným témam. (Napríklad kreslením kužeľosečiek, alebo aj niečím iným, ak budete mať pocit, že sa ešte k niečomu treba vrátiť.)
Pripomeniem, že pri týchto výpočtoch sa nám môže hodiť fakt, že k rôznym vlastným hodnotám dostaneme navzájom kolmé vlastné vektory: viewtopic.php?t=1691
My sme zvyknutí pracovať s riadkovými vektormi - ak vlastné vektory píšete do stĺpcov, tak dostanete namiesto $PAP^T=D$ rovnosť $Q^TAQ=D$: viewtopic.php?t=1687
Ako zaujímavosť spomeniem Hadamardovu hypotézu, čo je pomerne známy otvorený problém. (V jednom z príkladov nám vyšla takáto matica - pozostávajúca len z $\pm1$ a riadky boli na seba kolmé.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2020/21
13. týždeň
PÚ o kvadratickej forme $x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3$: viewtopic.php?t=677
Výberové cviko (14.5.)
Krivky druhého rádu.
Pripomeniem, že nejaký prehľad vecí o kužeľosečkách, ktoré by ste asi zväčša mali poznať zo strednej školy, je v 08kuzelosecky.pdf.
Ak si o nich chcete prečítať viac, pridám linky na články na Wikipédii o elipse, hyperbole a parabole. Nejaké dalšie súvisiace veci, ktoré sú azda zaujímavé: Keplerove zákony, šikmý vrh, parabola a reflektory/zrkadlá. V súvislosti s hyperbolou sú v texte, ktorý som vám dal, spomenuté i hyperbolické funkcie.
Pozreli sme sa na nejakú krivku druhého rádu - ako vieme zistiť, či je to elipsa/hyperbola/parabola a ktorým smerom idú osi. Konkrétne sme prešli úplne prvý príklad z 09krivky.pdf.
V tomto príklade vyšla elipsa.
Najprv sme našli stred: viewtopic.php?t=901
Potom sme našli maticu otočenia, po ktorej už boli nové súradnice v smeroch hlavnej a vedľajšej osi elipsy. (T.j. vlastne sme robili postup z vety o hlavných osiach - ale pre veľmi jednoduchý prípad, išlo iba o maticu $2\times2$. Tiež sme spomenuli, že
Popritom sme si povedali viacero faktov, ktoré platia všeobecne. Veci, ktoré sme uvideli bez dôkazu (a dôkaz nebol ani na prednáške) bolo zdôvodnenie, prečo stred naozaj môžeme nájsť uvedeným spôsobom a tiež to, že $\delta$ a $\Delta$ sa nemenia pri posunutí a otočení.
Ako zvyčajne, na fóre sa dá nájsť viacero vyriešených úloh z tejto témy, linky sú v tomto topicu: viewtopic.php?t=1509
Na konci bola trochu diskusia o krivkách, ktoré vyzerajú "podobne ako elipsa" - pridám aspoň nejaké linky na Wikipédiu: Superellipse a Bézier curve.
Lineárne rekurencie
Stručne sme sa pozreli na riešenie lineárnych homogénnych rekurencií s konštantnými koeficientami. Konkrétne sme sa pozerali na rekurenciu tvaru $x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n$.
Ukázali sme si, že priestor všetkých postupností, ktoré spĺňajú, je dvojrozmerný. Ak $t_{1,2}$ sú dva rôzne korene rovnice $x^2-ax-b=0$, tak $t_1^n$, $t_2^n$ tvoria bázu tohoto podpriestoru a teda každé riešenie rekurencie má tvar $x_n=c_1t_1^n+c_2t_2^n$ pre nejaké konštanty $c_{1,2}$.
Napríklad pre Fibonacciho čísla takto dostanete Binetov vzorec, ktorý poznáte z predmetu Diskrétna matematika.
Bez dôkazu sme spomenuli, že ak máme násobný koreň, tak každé riešenie môžeme zapísať ako $x_n=c_1t^n+c_2nt^n$.
Pozreli sme sa ešte na to, že to isté sa maticovo dá zapísať ako $\begin{pmatrix}x_{n_1}\\x_n\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}x_1\\x_0\end{pmatrix}$ pre maticu $$
\begin{pmatrix}
a & b \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
$$
Ak sa pozrieme na $A^n=PJ^nP^{-1}$ tak vidíme, že dostaneme
$$x_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n$$
resp. pre Jordanov blok veľkosti dva
$$x_n=c_1\lambda^n+c_2n\lambda^{n-1}.$$
Nejaké miesta, kde sa dá prečítať niečo viac o tejto téme: http://edu.fmph.uniba.sk/~winczer/diskr ... ed2z03.pdf a http://mj.ucw.cz/papers/linrec.pdf
(Určite online nájdete veľa ďalších zdrojov.)
Veci o súvise riešenia takejto rekurencie s Jordanovým tvarom mám aj v poznámkach k predmetu Algebra (3) na odbore informatika: https://sluzby.fmph.uniba.sk/infolist/SK/2-INF-182.html http://msleziak.com/vyuka/alg3.html
Keďže som spomenul Fibonnaciho čísla, tak pridám ešte linku, kde sú niektoré vlastnosti odvodené pomocou maticového vyjadrenia: viewtopic.php?t=640
PÚ o kvadratickej forme $x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3$: viewtopic.php?t=677
Výberové cviko (14.5.)
Krivky druhého rádu.
Pripomeniem, že nejaký prehľad vecí o kužeľosečkách, ktoré by ste asi zväčša mali poznať zo strednej školy, je v 08kuzelosecky.pdf.
Ak si o nich chcete prečítať viac, pridám linky na články na Wikipédii o elipse, hyperbole a parabole. Nejaké dalšie súvisiace veci, ktoré sú azda zaujímavé: Keplerove zákony, šikmý vrh, parabola a reflektory/zrkadlá. V súvislosti s hyperbolou sú v texte, ktorý som vám dal, spomenuté i hyperbolické funkcie.
Pozreli sme sa na nejakú krivku druhého rádu - ako vieme zistiť, či je to elipsa/hyperbola/parabola a ktorým smerom idú osi. Konkrétne sme prešli úplne prvý príklad z 09krivky.pdf.
V tomto príklade vyšla elipsa.
Najprv sme našli stred: viewtopic.php?t=901
Potom sme našli maticu otočenia, po ktorej už boli nové súradnice v smeroch hlavnej a vedľajšej osi elipsy. (T.j. vlastne sme robili postup z vety o hlavných osiach - ale pre veľmi jednoduchý prípad, išlo iba o maticu $2\times2$. Tiež sme spomenuli, že
Popritom sme si povedali viacero faktov, ktoré platia všeobecne. Veci, ktoré sme uvideli bez dôkazu (a dôkaz nebol ani na prednáške) bolo zdôvodnenie, prečo stred naozaj môžeme nájsť uvedeným spôsobom a tiež to, že $\delta$ a $\Delta$ sa nemenia pri posunutí a otočení.
Ako zvyčajne, na fóre sa dá nájsť viacero vyriešených úloh z tejto témy, linky sú v tomto topicu: viewtopic.php?t=1509
Na konci bola trochu diskusia o krivkách, ktoré vyzerajú "podobne ako elipsa" - pridám aspoň nejaké linky na Wikipédiu: Superellipse a Bézier curve.
Lineárne rekurencie
Stručne sme sa pozreli na riešenie lineárnych homogénnych rekurencií s konštantnými koeficientami. Konkrétne sme sa pozerali na rekurenciu tvaru $x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n$.
Ukázali sme si, že priestor všetkých postupností, ktoré spĺňajú, je dvojrozmerný. Ak $t_{1,2}$ sú dva rôzne korene rovnice $x^2-ax-b=0$, tak $t_1^n$, $t_2^n$ tvoria bázu tohoto podpriestoru a teda každé riešenie rekurencie má tvar $x_n=c_1t_1^n+c_2t_2^n$ pre nejaké konštanty $c_{1,2}$.
Napríklad pre Fibonacciho čísla takto dostanete Binetov vzorec, ktorý poznáte z predmetu Diskrétna matematika.
Bez dôkazu sme spomenuli, že ak máme násobný koreň, tak každé riešenie môžeme zapísať ako $x_n=c_1t^n+c_2nt^n$.
Pozreli sme sa ešte na to, že to isté sa maticovo dá zapísať ako $\begin{pmatrix}x_{n_1}\\x_n\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}x_1\\x_0\end{pmatrix}$ pre maticu $$
\begin{pmatrix}
a & b \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
$$
Ak sa pozrieme na $A^n=PJ^nP^{-1}$ tak vidíme, že dostaneme
$$x_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n$$
resp. pre Jordanov blok veľkosti dva
$$x_n=c_1\lambda^n+c_2n\lambda^{n-1}.$$
Nejaké miesta, kde sa dá prečítať niečo viac o tejto téme: http://edu.fmph.uniba.sk/~winczer/diskr ... ed2z03.pdf a http://mj.ucw.cz/papers/linrec.pdf
(Určite online nájdete veľa ďalších zdrojov.)
Veci o súvise riešenia takejto rekurencie s Jordanovým tvarom mám aj v poznámkach k predmetu Algebra (3) na odbore informatika: https://sluzby.fmph.uniba.sk/infolist/SK/2-INF-182.html http://msleziak.com/vyuka/alg3.html
Keďže som spomenul Fibonnaciho čísla, tak pridám ešte linku, kde sú niektoré vlastnosti odvodené pomocou maticového vyjadrenia: viewtopic.php?t=640
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2020/21
Duálne príestory
Pridal som na stránku aj úlohy týkajúce sa duálnych priestorov: http://msleziak.com/vyuka/2020/lag2/10dual.pdf (Aj keď toto je téma, ku ktorej sme na cvičení nestihli dostať.)
Pridal som na stránku aj úlohy týkajúce sa duálnych priestorov: http://msleziak.com/vyuka/2020/lag2/10dual.pdf (Aj keď toto je téma, ku ktorej sme na cvičení nestihli dostať.)