Cvičenia LS 2024/23 - Algebra 3

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých cvičeniach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť - aby si mohli pozrieť, čo sa vlastne robilo.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach alebo cvičeniach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. cvičenie (17.2):
Príklady, ktoré sme riešili, boli zväčša z 00grupy.pdf a 01podgrupy.pdf. (Tieto úlohy sa dajú nájsť aj medzi cvičeniami v texte na stránke.)
00grupy.pdf: V druhej úlohe sme vlastne videli ako sa dá dostať priamy súčin dvoch grúp. Potom sme sa ešte vrátili k prvej úlohe a videli sme, že to je špeciálny prípad.
Pozreli sme sa úlohu 7 - t.j. dopĺňanie tabuľky grupy "sudoku" štýlom. Pritom sme pripomenuli veci, ktoré sme tam používali - zákony o krátení a riešiteľnosť rovníc v grupe.
01podgrupy.pdf: Pozerli sme sa na niektoré časti z úlohy 3.

• Časť b by sa dala zovšeobecniť tak, že ak $H_1$ je podgrupa $G_1$, $H_2$ je podgrupa $G_2$, tak $H_1\times H_2$ je podgrupa $G_1\times G_2$.
• Videli sme, že matice tvaru $\begin{pmatrix}a & b\\-b&a\end{pmatrix}$ nejako súvisia s komplexnými číslami - sľúbil som, že niečo takéto ešte spomeniem a dá sa niečo o tom prečítať aj tu: viewtopic.php?t=571
• Výpočet inverznej matice k matici $2\times2$ (to je poznámka 6.5.4 v texte na stránke; pre takéto matice je spomenutý aj v topicu o komplexných číslach a maticiach, na ktorý som dal linku vyššie.).

Úloha 4 z 01podgrupy.pdf: Ak je nejaká podgrupa podmnožinou zjednotenia dvoch podgrúp, tak leží pod jednou z nich.

[Martin Sleziak]

2. cvičenie (24.2):
Príklady, ktoré sme riešili, boli z 02homizom.pdf
Viacero príkladov na overenie, či dané zobrazenie je homomorfizmus - konkrétne a, b, d, f z prvej úlohy.
Prešli sme viacero úloh, kde bolo treba rozhodnúť, či nejaké dve grupy sú izomorfné resp. či jedna z nich je homomorfným obrazom druhej.
Konkrétne to boli tieto:$\newcommand{\sm}{\setminus}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
$

• $G=(\Z_6,\oplus)$, $H=(S_3,\circ)$
• $G=(\R\sm\{0\},\cdot)\times(\R\sm\{0\},\cdot)$, $H=(\C\sm\{0\},\cdot)$
• $G=(\R\sm\{0\},\cdot)$, $H=(\Q\sm\{0\},\cdot)$
• $G=(\R\sm\{0\},\cdot)$, $H=(\C\sm\{0\},\cdot)$
• $G=(\Q,+)$, $H=(\Q^+,\cdot)$
• $G=(\Q,+)$, $H=(\Q\sm\{0\},\cdot)$

Pritom sme videli, že nám môže pomôcť, ak nájdeme nejakú vlastnosť, ktorú jedna z daných grúp má a druhá nemá. (A súčasne je to vlastnosť, ktorá sa prenáša izomorfizmom resp. surjektívnym homomorfizmom.)
Konkrétne nám pomohli napríklad komutatívnosť, kardinalita, rády prvkov, riešiteľnosť takejto rovnice: $(\forall b\in G)(\exists a\in G) a*a=b$ (t.j. niečo ako "grupová odmocnina").
Na konci sme sa ešte stihli pozrieť na úlohu 7, t.j. na otázku, kedy je $x\mapsto x^{-1}$ homomorfizmus resp. izomorfizmus. Dostali sme sa takto k opačnej grupe: viewtopic.php?t=1727 (T.j. "rovnaká" operácia len s "vymeneným poradím".)
Ukázali sme, že homomorfizmus je injektívny p.v.k. $\operatorname{Ker} f=\{e\}$.
Pri úlohe 2 sme si uvedomili, že izomorfizmus sa dá použiť na dôkaz, že niečo je grupa. A znovu sme pripomenuli maticové vyjadrenie komplexných čísel.

[Martin Sleziak]

3. cvičenie (3.3):
Na začiatku cvičenia som ešte dokončil vetu o rozklade na disjunktné cykly.
Rátali sme príklady z 03permrad.pdf.
Homomorfizmy
Úloha 1 o $f(a^n)=f(a)^n$ a vzťahu medzi rádmi $a$ a $f(a)$.
Úloha 3: Tieto dvojice prvkov majú rovnaký rád: $ab$, $ba$; $abc$, $bca$; $b$, $aba^{-1}$.
Permutácie.
Úloha 7: Pozreli sme sa na to ako nájsť rozklad permutácie na disjunktné cykly, rád permutácie, paritu permutácie. (Niektoré z vecí, ktoré sme používali, dokážeme až na najbližšej prednáške.)