10. týždeň
Výberové cviko (23.11.):
Po písomke sme riešili úlohy z 09rtm.pdf. Konkrétne sme sa pozerali na úlohy 5, 8 a 10. Tiež sme si spomenuli, že $h(A)=h(A^T)$, čo znamená, že stĺpcové úpravy neovplyvnia hodnosť. (A teda pri výpočte hodnosti môžeme kombinovať riadkové a stĺpcové úpravy. Dohodli sme sa, že túto vec môžete používať, hoci dôkaz na prednáške ešte len bude.)
Dohodli sme sa, že budúci týždeň bude posledná písomka na výberovom cviku. (T.j. budú sa vám rátať zo štyroch písomiek tri najlepšie - nie ako sme sa pôvodne dohodli, štyri najlepšie z piatich.) Na písomke budú presne veci, ktoré sa dajú rátať pomocou úpravy na redukovaný tvar.
Na fóre nájdete vyriešené nejaké príklady na hodnosť s parametrom:
viewtopic.php?f=6&t=782
viewtopic.php?f=6&t=783
viewtopic.php?f=21&t=160
Pridám linku, kde je vymenovaných viacero typov úloh, ktoré sa dajú riešiť pomocou úpravy na redukovaný stupňovitý tvar: viewtopic.php?f=29&t=540
(Niektoré z nich sme sa ešte neučili - konkrétne veci začínajúce v tom zozname od matice zobrazenia. Tej by sme sa chceli venovať budúci týždeň - videli ste, že nejaké veci súvisiace s maticou zobrazenia sú aj medzi prednáškovými úlohami.)
Povinné cviko (24.11.):
Stihli sme prejsť prednáškové úlohy 14 a 15.
Z PÚ 16 a 17 sme stihli 3.1.8(7) a 3.2.19(3). Na ostatné, t.j. 3.1.8(2),(3), 3.2.19(2),(7),(10), sa dá stále prihlasovať.
Cvičenia ZS 2016/17 - 1MAT
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2016/17 - 1MAT
11. týždeň
Výberové cviko (30.11.):
Po písomke sme z 10lzob stihli úplne prvý príklad (lineárne závislé vektory sa zobrazia na lineárne závislé).
Pozreli sme sa na výpočet matice zobrazenia. Detailné riešenie príkladu, na ktorom sme si to ukázali, môžete nájsť tu ako úlohu 5.3.1: http://msleziak.com/vyuka/2015/alg/alg.pdf
Potom sme ešte hovorili o výpočte inverznej matice. Nejaký čas sme strávili tým, že sme si ukázali že pri tomto výpočte sa dá robiť skúška aj "v strede výpočtu": viewtopic.php?f=29&t=531
Povinné cviko (1.12):
Prednáškové úlohy 18 a 19: http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/PU1819.pdf
Okrem toho sme sa pozreli na niektoré úlohy z z 10lzob týkajúce sa súčinu matíc. Konkrétne sme si ukázali, že súčin súvisí s riadkovými operáciami a dá sa interpretovať ako robenie lineárnych kombinácii riadkov resp. stĺpcov matice. Potom sme sa pozreli na to, že $S_{AB} \subseteq S_B$ a $h(AB)\le h(B)$.
K tejto úlohe pridám aj nejaké linky:
How to prove $\text{Rank}(AB)\leq \min(\text{Rank}(A), \text{Rank}(B))$?
How to prove and interpret $\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{min}(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B))$?
Pripomeniem, že sa dá stále prihlasovať na tie úlohy z PÚ 16 a 17, ktoré sme minule neurobili.
Výberové cviko (30.11.):
Po písomke sme z 10lzob stihli úplne prvý príklad (lineárne závislé vektory sa zobrazia na lineárne závislé).
Pozreli sme sa na výpočet matice zobrazenia. Detailné riešenie príkladu, na ktorom sme si to ukázali, môžete nájsť tu ako úlohu 5.3.1: http://msleziak.com/vyuka/2015/alg/alg.pdf
Potom sme ešte hovorili o výpočte inverznej matice. Nejaký čas sme strávili tým, že sme si ukázali že pri tomto výpočte sa dá robiť skúška aj "v strede výpočtu": viewtopic.php?f=29&t=531
Povinné cviko (1.12):
Prednáškové úlohy 18 a 19: http://msleziak.com/vyuka/2016/lag/PU1819.pdf
Okrem toho sme sa pozreli na niektoré úlohy z z 10lzob týkajúce sa súčinu matíc. Konkrétne sme si ukázali, že súčin súvisí s riadkovými operáciami a dá sa interpretovať ako robenie lineárnych kombinácii riadkov resp. stĺpcov matice. Potom sme sa pozreli na to, že $S_{AB} \subseteq S_B$ a $h(AB)\le h(B)$.
K tejto úlohe pridám aj nejaké linky:
How to prove $\text{Rank}(AB)\leq \min(\text{Rank}(A), \text{Rank}(B))$?
How to prove and interpret $\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{min}(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B))$?
Pripomeniem, že sa dá stále prihlasovať na tie úlohy z PÚ 16 a 17, ktoré sme minule neurobili.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2016/17 - 1MAT
12. týždeň
Výberové cviko (7.12.):
Robili sme príklady na determinanty. Ukázali sme si výpočet pomocou Laplaceovho rozvoja aj pomocou riadkových/stĺpcových operácií (na jednom z determinantov z úlohy 1). Pozreli sme sa na úlohu 5 a porozprávali sa trochu o geometrickom význame determinantu (objem rovnobežnostena; resp. ako sa objem zväčšuje lineárnym zobrazením). Na úlohe 4 sme videli, že determinant sa dá využiť aj na riešenie úloh na zistenie hodnosti matice s parametrom. (Toto je spomenuté aj v úlohách tohoto typu vyriešených na fóre - linky som dával v jednom z predošlých cvík) Ešte sme potom vyriešili úlohu 14. Tá sa dá nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=577
Povinné cviko (8.12.):
Z PU2021.pdf sme stihli prejsť 4.4.6(5), 4.4.6(6), 4.5.6(2), 4.6.11(2), 4.6.11(3). O úlohách 4.5.6(3) a 4.5.6(8) sme si povedali, ako sa riešia, ale detailne sme ich nerátali.
Popritom sme si spomenuli zopár užitočných vecí:
* Ako súvisí injektívnosť a surjektívnosť s jadrom, obrazom, hodnosťou matice.
* Ako sa dá vyrátať pre maticu $2\times2$ inverzná zo vzorca využívajúceho adjungovanú maticu.
* Čo sa deje s mocninami matíc takých, že na diagonále a pod ňou majú nuly.
* Že pre matice funguje $(I+B+\dots+B^{n-1})(I-B)=I-B^n$ a že občas môže byť užitočný. (Nám pomohol pri odvodení inverznej matice k matici z úlohy 4.6.11(3).)
Stále platí to, že sa môžu prezentovať aj staršie prednáškové úlohy, ktoré neboli urobené na cvičeniach. A že jedna sa môže odovzdať písomne.
Rozprávali sme sa aj o opravnej písomke: viewtopic.php?f=29&t=975 (Ale na termíne ste sa zatiaľ nevedeli dohodnúť.)
Výberové cviko (7.12.):
Robili sme príklady na determinanty. Ukázali sme si výpočet pomocou Laplaceovho rozvoja aj pomocou riadkových/stĺpcových operácií (na jednom z determinantov z úlohy 1). Pozreli sme sa na úlohu 5 a porozprávali sa trochu o geometrickom význame determinantu (objem rovnobežnostena; resp. ako sa objem zväčšuje lineárnym zobrazením). Na úlohe 4 sme videli, že determinant sa dá využiť aj na riešenie úloh na zistenie hodnosti matice s parametrom. (Toto je spomenuté aj v úlohách tohoto typu vyriešených na fóre - linky som dával v jednom z predošlých cvík) Ešte sme potom vyriešili úlohu 14. Tá sa dá nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=577
Povinné cviko (8.12.):
Z PU2021.pdf sme stihli prejsť 4.4.6(5), 4.4.6(6), 4.5.6(2), 4.6.11(2), 4.6.11(3). O úlohách 4.5.6(3) a 4.5.6(8) sme si povedali, ako sa riešia, ale detailne sme ich nerátali.
Popritom sme si spomenuli zopár užitočných vecí:
* Ako súvisí injektívnosť a surjektívnosť s jadrom, obrazom, hodnosťou matice.
* Ako sa dá vyrátať pre maticu $2\times2$ inverzná zo vzorca využívajúceho adjungovanú maticu.
* Čo sa deje s mocninami matíc takých, že na diagonále a pod ňou majú nuly.
* Že pre matice funguje $(I+B+\dots+B^{n-1})(I-B)=I-B^n$ a že občas môže byť užitočný. (Nám pomohol pri odvodení inverznej matice k matici z úlohy 4.6.11(3).)
Stále platí to, že sa môžu prezentovať aj staršie prednáškové úlohy, ktoré neboli urobené na cvičeniach. A že jedna sa môže odovzdať písomne.
Rozprávali sme sa aj o opravnej písomke: viewtopic.php?f=29&t=975 (Ale na termíne ste sa zatiaľ nevedeli dohodnúť.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Cvičenia ZS 2016/17 - 1MAT
13. týždeň
Výberové cviko (14.12.):
Spravili sme príklad 15 z 11deter.pdf.
Snažili sme sa robiť nejaké veci týkajúce sa skalárneho súčinu. V podstate sme sa zo 12skal.pdf.
Vlastne sme viacerými spôsobmi vyriešili úlohu 14. Popritom sme si ukázali ako nájsť bázu $L^\bot$ pre zadaný podpriestor $L$ a ako hľadať kolmý priemet na jednorozmerný podpriestor.
Pripomeniem, že viacero úloh takéhoto typu nájdete vyriešených na fóre: viewtopic.php?f=29&t=993
Neviem, do akej miery sa to dalo sledovať - lebo sme robili nejaké veci, ku ktorým ste zatiaľ nemali vybudovanú teóriu. Ale snažil som sa to vždy ukázať na dvoj- a trojrozmernom prípade, ktorý si vieme predstaviť. Dohodli sme sa, že zajtra môžeme pokračovať v skalárnych súčinoch - ak sa vám to bude zdať zmysluplné - alebo namiesto toho robiť prednáškové úlohy alebo ďalšie úlohy na determinanty.
Výberové cviko (14.12.):
Spravili sme príklad 15 z 11deter.pdf.
Snažili sme sa robiť nejaké veci týkajúce sa skalárneho súčinu. V podstate sme sa zo 12skal.pdf.
Vlastne sme viacerými spôsobmi vyriešili úlohu 14. Popritom sme si ukázali ako nájsť bázu $L^\bot$ pre zadaný podpriestor $L$ a ako hľadať kolmý priemet na jednorozmerný podpriestor.
Pripomeniem, že viacero úloh takéhoto typu nájdete vyriešených na fóre: viewtopic.php?f=29&t=993
Neviem, do akej miery sa to dalo sledovať - lebo sme robili nejaké veci, ku ktorým ste zatiaľ nemali vybudovanú teóriu. Ale snažil som sa to vždy ukázať na dvoj- a trojrozmernom prípade, ktorý si vieme predstaviť. Dohodli sme sa, že zajtra môžeme pokračovať v skalárnych súčinoch - ak sa vám to bude zdať zmysluplné - alebo namiesto toho robiť prednáškové úlohy alebo ďalšie úlohy na determinanty.