msleziak.com

Počas prerušenia prezenčnej výuky budem v tomto vlákne postupne zverejňovať linky na videá k prednáške - v týchto videách sa budem snažiť porozprávať zhruba to, čo by som hovoril reálne na prednáške. (A nejaké sem pridám nejaké ďalšie komentáre k jednotlivým častiam.)
Detailnejší pokec k tomu, ako bude teraz prebiehať výuka tohoto predmetu, pridám do samostatného topicu: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1506

Videá sa by mali byť k dispozícii vo formátoch mkv aj mp4. Formát mp4 by mal fungovať vo väčšine bežných prehrávačov, ak budete mať problém s formátom mkv, ten by mal prehrať napríklad VLC media player.

Videá budem zverejňovať zatiaľ na mojej stránke. Okrem toho videá vo formáte mp4 budem dávať na Google Drive: https://drive.google.com/open?id=1eQWAl ... gTuUA1NfQE (Tu by ste si ich mohli pozrieť aj bez toho aby ste si ich museli stiahnuť.)

Takisto sa dajú linky na všetky videá vidieť aj tu: https://msleziak.com/vid/alg2inf/

EDIT: Ak by ste narazili na nejaké problémy s videami, tak mi skúste dať vedieť mailom. (Napríklad ak nepôjdu prehrať online na Google Drive alebo ak nepôjdu prehrať ani po stiahnutí:)
Nie som si istý, či s tým budem vedieť pomôcť - ale určite sa aspoň pokúsim.

Rozklad grupy podľa podgrupy
Slajdy a poznámky, ktoré som písal: 03fact.pdf a 03fact.zip.
* 03fact_01relekv.mkv a 03fact_01relekv.mp4: Stručné zopakovanie vecí o reláciách ekvivalencie a rozkladoch.
* 03fact_02rozklad.mkv a 03fact_02rozklad.mp4: Rozklad grupy podľa podgrupy.
* 03fact_03lagrange.mkv a 03fact_03lagrange.mp4: Lagrangeova veta a jej dôsledky.

Doplnil som niečo na slajdy a poznámky: 03fact.pdf a 03fact.zip.
* 03fact_04normal.mkv a 03fact_04normal.mp4: Normálne podgrupy.
* 03fact_05fakt.mkv a03fact_05fakt.mp4: Faktorové grupy.
* 03fact_06izom.mkv a 03fact_06izom.mp4: Kanonický homomorfizmus a veta o izomorfizme.

Niečo k tomu, čo znamená že nejaká operácia je dobre definovaná: viewtopic.php?t=1293
Tu sú nejaké príklady na faktorové grupy: https://msleziak.com/vyuka/2019/lag/faktorove.pdf

04okr_01hom.mkv a 04okr_01hom.mp4:
Okruhy. Základné definície a niekoľko príkladov. (Okrem pár konkrétnych príkladov - číselné okruhy, matice - sme videli aj dve konštrukcie ako z okruhov vyrábať nové okruhy, konkrétne $R_1\times R_2$ a $R^M$, kde $M$ je ľubovoľná indexová množina.)
Stručne som povedal aj čo je karteziánsky súčin nekonečne veľa množín a že rovnako to môžeme urobiť pre okruhy. (Obvykle na prednáške robím iba $R^M$, ale azda je to užitočná vec, ak ste sa s tým nestretli inde, tak sa môžete pozrieť do poznámok alebo na video.)
Podokruh. Okruh bez deliteľov nuly, obor integrity, teleso, pole.
Homomorfizmy. Definícia homomorfizmu a izomorfizmu okruhov. Niekoľko príkladov.
Pri homomorfizmoch sme sa trochu rozprávali aj o tom, že komplexné čísla sa dajú interpretovať ako matice: viewtopic.php?t=571
Spomeniem aj to, že ako príklad telesa, ktoré nie je poľom (t.j. nie je komutatívne) sa dajú použiť kvaternióny. (Na prednáške o nich nezvyknem hovoriť - jednak by to zabralo dosť času a navyše na tejto prednáške nás zaujímajú hlavne komutatívne okruhy.)


04okr_02fakt.mkv a 04okr_02fakt.mp4
Ideály. Definícia ideálu. Jediné ideály v poli sú $\{0\}$ a $R$. Jadro homomorfizmu je ideál.
Tu azda vidno nejakú podobnosť medzi ideálmi a normálnymi podgrupami. (Normálne podgrupy sú presne jadrá grupových homomorfizmov. Ideály sú presne jadrá okruhových homomorfizmov.)
Faktorové okruhy. Faktorový okruh - ukázali sme si, ako sa zadefinuje, že to je skutočne okruh a tiež že $R/I$ je komutatívny (okruh s jednotkou) ak $R$ je komutatívny (okruh s jednotkou a $R\ne I$.)
Pri veľa veciach v tejto časti sme sa odvolávali na to, čo sme už predtým dokázali pre grupy. Často sme používali najmä to, kedy sa rovnajú dve triedy: $a+I=b+I \Leftrightarrow a-b\in I$.
Kanonický homomorfimus. Veta o izomorfizme.

04okr_03maxprvo.mkv a 04okr_03maxprvo.mp4:
Pre komutatívne okruhy s jednotkou platí: $R/I$ je obor integrity $\Leftrightarrow$ $I$ je vlastný prvoideál. $R/I$ je obor pole $\Leftrightarrow$ $I$ je maximálny ideál.

Slajdy k veciam z tejto časti: 04okruhy1fakt.pdf

Okruhy polynómov. Polynómy, Okruh polynómov. Zadefinovali sme ako sa polynómy sčitujú a násobia.
Veta o delení so zvyškom. Pre okruh polynómov $F[x]$ nad poľom sme vetu o delení so zvyškom dokázali. Pre okruh $\mathbb Z$ sme ju iba vyslovili.
Polynómy a polynomické funkcie. Dosadzovací morfizmus. Rozdiel medzi polynómami a polynomickými funkciami.
Dôležité veci, ktoré sme si povedali o polynómoch sú vlastne tieto:

• Polynómy skutočne tvoria okruh.
• Do polynómov sa dá dosadzovať. (Máme dosadzovací homomorfizmus.)
• Polynómy a polynomické funkcie nie sú to isté. (Pre nekonečné polia by sme dostali izomorfné okruhy - ako si môžete prečítať v poznámkach k prednáške - na prednáške som to však nedokazoval. (Nebudem to ani skúšať.)

Video: 04okr2_01polyn.mkv a 04okr2_01polyn.mp4
Slajdy: 04okruhy2poly.pdf
Veci, ktoré som písal "na tabuľu": 04okr2.zip

Niečo k tomu, že polynomická funkcia nad $\mathbb R$ je nulová p.v.k. všetky koeficienty sú nulové: viewtopic.php?t=1349 (Niektoré z tých argumentov prejdú pre ľubovoľné nekonečné pole.)

Deliteľnosť v okruhoch. Definícia a základné vlastnosti deliteľnosti, asociované prvky, delitele jednotky. Dva prvky sú asociované práve vtedy, keď sa líšia iba vynásobením deliteľom jednotky.
Euklidovské okruhy. Definícia, $\mathbb Z$ aj $F[x]$ sú Euklidovské okruhy.
Okruhy hlavných ideálov. Definícia, dokázali sme, že každý euklidovský okruh je OHI.
Deliteľnosť v okruhoch hlavných ideálov. Vysvetlili sme si, že $(a)\subseteq(b)$ $\Leftrightarrow$ $b\mid a$.
Najväčší spoločný deliteľ. Zadefinovali sme najväčší spoločný deliteľ a jeho súvis s ideálom $(a,b)=\{ax+by; x,y\in R\}$.
$\gcd(a,b)$ sa dá vyjadriť v tvare $ax+by$. Ak $\gcd(a,b)=1$ a $a\mid bc$ tak $a\mid c$.
Platí $\gcd(bq+r,b)=\gcd(b,r)$; táto vlastnosť je základom rozšíreného Euklidovho algoritmu.
Gaussove okruhy (okruhy s jednoznačným rozkladom) Definícia ireducibilného prvku a okruhu s jednoznačným rozkladom. Ireducibilné prvky v OHI súvisia s prvoideálmi, platí pre ne $p\mid ab$ $\Rightarrow$ $p\mid a$ $\lor$ $p\mid b$.
Okruh hlavných ideálov je okruh s jednoznačným rozkladom.

Videá:
04okr3_01delit.mkv a 04okr3_01delit.mp4
04okr3_02OHI.mkv a 04okr3_02OHI.mp4
04okr3_03rozklad.mkv a 04okr3_03rozklad.mp4
Slajdy: 04okruhy3delit.pdf
04okr3.zip

K veciam z časti nazvanej "Okruhy polynómov II" nebudem robiť videá.
Tam ide skôr o počítanie príkladov - nejaké budete pravdepodobne robiť na cvikách, viacero príkladov je preriešených v poznámke na webe. (A takisto tu na fóre môžete nájsť staršie študentské riešenia.) Samozrejme, ak by k tomu bolo ešte treba niečo vysvetliť, dá sa pýtať na konzultáciách alebo na fóre.

Charakteristika poľa. Ukázali sme, že ak $K$ je nadpole $F$, tak je to súčasne vektorový priestor nad $F$. Tento fakt má síce veľmi jednoduchý dôkaz, ale bude ešte často užitočný. Pripomeniem, že sa dal použiť napríklad na dôkaz, že $F=\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$ je pole: viewtopic.php?t=349 S nejakými dosť podobnými poľami budeme ešte dosť veľa robiť.)
Ukázali sme, že konečné pole má $p^n$ prvkov pre nejaké prvočíslo $p$.
V poli charakteristiky $p$ platí $(a+b)^p=a^p+b^p$.

V poznámkach na webe je v jednom dôkaze využité aj podielové pole - časť o podielovom poli som však preskočil. (Nebude sa ani skúšať.) Jediné, čo tu však potrebujeme je ako rozšírime homomorfizmus $\mathbb Z\to F$ na homomorfizmus $\mathbb Q\to F$, čo je vysvetlené aj tu: viewtopic.php?t=1283

Videá: 05pole_01char.mkv 05pole_01char.mp4
Slajdy: 05polia1char.pdf 05pole_01char.zip

Rozšírenia polí. Definícia rozšírenia a konečného rozšírenia, stupeň rozšírenia. Pre každý ireducibilný polynóm $p(x)$ existuje rozšírenie, v ktorom má koreň. toto rozšírenie má rovnaký stupeň ako polynóm $p(x)$ a je jednoznačne určené - je izomorfné s $F[x]/(p(x))$. Príklady konečných rozšírení ($\mathbb C$, $\mathbb Q(\sqrt2)$ a 4-prvkové pole $\mathbb Z_2[x]/(x^2+x+1)$.)

Vetu 5.3.13, ktorá hovorí v istom zmysle o rozšírení izomorfizmu z poľa $F$ na väčšie pole $F(u)$, vynecháme. (Dá sa zatiaľ preskočiť bez toho, že by vám chýbala. Resp. dá sa na to pozrieť aj tak, že tvrdenie vety hovorí vec, ktorá je pomerne jasná - ale zapísať formálny dôkaz je zdĺhavejšie. Túto vetu budem potrebovať až pri dôkaze jednoznačnosti $p^n$-prvkového poľa.)

Ešte sem azda napíšem aj takúto vec, hoci vo videu som ju nespomenul. V tých pár príkladoch, ktoré sme robili, sme dostali také rozšírenie, kde $p(x)$ už mal toľko koreňov, koľko je jeho stupeň. T.j. dal sa rozložiť na koreňové činitele, (Vlastne to tak aj muselo vyjsť, keďže sme robili s polynómom stupňa 2.) Nefunguje to však vždy, nejaký kontrapríklad je aj tu na fóre: viewtopic.php?t=456

Videá: 05pole_02rozs.mp4 05pole_02rozs.mkv (video je aj na Google Drive)
Slajdy: 05polia2rozs.pdf 05pole_02rozs.zip

Algebraické rozšírenia. Definícia algebraického prvku, algebraického rozšírenia, minimálneho polynómu.
Prvok $u$ je algebraický práve vtedy, keď $F(u)$ je konečné rozšírenie $F$. Každé konečné rozšírenie je algebraické. Dôkaz rovnosti $[K:F]=[K:L].[L:F]$ a popis bázy dvojnásobného rozšírenia.
Ukážka výpočtu stupňa rozšírenia a minimálneho polynómu pre $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)=\mathbb Q(\sqrt2+\sqrt3)$.

Spomenul som, že kardinalita množiny reálnych čísel, ktoré nie sú algebraické, je rovná $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$. Dôkaz sa dá nájsť napríklad aj tu: temnonew.pdf - v podkapitole aplikácie kardinálnych čísel.
viewtopic.php?t=1503

Video:
05pole_03algroz.mkv a 05pole_03algroz.mp4
05pole_03algroz_priklad.mkv a 05pole_03algroz_priklad.mp4
Slajdy: 05polia3algroz.pdf 05pole_03algroz.zip

Rozkladové polia. Základná informácia v poslednej kapitole je: Pre každé $q=p^n$ existuje (až na izomorfizmus jediné) pole s $q$ prvkami a je to rozkladové pole polynómu $x^q-x$ nad $\mathbb Z_p$. (Teda vlastne máme kompletný popis konečných polí.)

Najprv sme zadefinovali rozkladové pole a ukázali, že pre každý polynóm existuje rozkladové pole. Dôkaz jednoznačnosti som nechal na koniec - keďže tam sa potrebujem vrátiť k nejakým starším veciam.
Ukázali sme, že pre $q=p^n$ dostaneme $q$-prvkové pole ako rozkladové pole polynómu $x^q-x$ nad $\mathbb Z_p$.
Na konci som sa venoval dôkazu jednoznačnosti rozkladového poľa - aj keď stále sú tam viaceré detaily, s ktorými by sa dalo stráviť aj viac času.

Video: 05pole_04rozkl.mkv a 05pole_04rozkl.mp4
Slajdy: 05pole_04rozkl.zip
Tabuľa: 05polia4rozkl.pdf

*****

Poznamenám, že po tomto videu už vlastne všetko čo zvyknem prednášať buď odznelo na začiatku semestra alebo k tomu máte video. (Vlastne tu je toho viac ako zvyčajne odprednášam - pretože záver už obvykle nestihnem alebo ho len stručne spomeniem.)
Podľa toho, či budem mať čas, možno ešte pridám nejaké doplňujúce veci. (Veľmi optimistický scenár je, že by som niekedy mohol pridať aj veci z tej prvej časti semestra, ktorá ešte fungovala štandardne.)