30. apríla
Zasharoval som na OneDrive video z cvičenia aj to čo som písal na "tabuľu", ak by sa vám to náhodou hodilo. Dá sa to nájsť aj tu:
20200430.zip.
Jordanov tvar
Viacero úloh na Jordanov tvar nájdete vyriešených na fóre, linky sú zozbierané v tomto topicu:
viewtopic.php?t=1509
Na začiatku sme zopakovali, ako sa dá zistiť či matica je podobná s diagonálnou. (A spomenul som, že to je špeciálny prípad Jodanovho tvaru a nejakých pár ďalších poznámok okolo toho.)
Potom sme sa pozreli na mocniny matíc tvaru
$$A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\qquad
B=\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & \lambda \\
\end{pmatrix}$$
Toto je prvý príklad v
06jordan.pdf.
Spomenuli sme si, že binomická veta v tvare $(X+Y)^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom nk X^{n-k}Y^k$ funguje pre matice také, že $XY=YX$, t.j. ak matice $X$ a $Y$
komutujú. To nám môže pomôcť pri dôkaze toho ako vyzerajú mocniny $B^n=(\lambda I+A)^n$.
Pridám aj nejaké linky:
* Wikipédia:
Jordan normal form § Matrix functions (
current revision)
* MSE:
Why does the n-th power of a Jordan matrix involve the binomial coefficient?
Trochu sme sa rozprávali aj o tom, prečo sa počty blokov nejakých veľkostí dajú zistiť s hodností mocnín matice $A-\lambda I$. (Podstatné bolo uvedomiť si, že matica matica $(A-\lambda I)^k$ je podobná s $(J-\lambda I)^k$ a potom už zostávalo uvedomiť si ako vyzerajú mocniny matice $J-\lambda I$, ak $J$ už je v Jordanovom tvare.)
Prepočítali sme dve úlohy na Jordanov tvar, konkrétne 2a a 2d z
06jordan.pdf.
Pretože budeme v tejto časti semestra pomerne často riešiť úlohy, kde bude treba vypočítať charakteristický polynóm a jeho korene, tak tu sú nejaké veci užitočné pri hľadaní koreňov:
viewtopic.php?t=890 (Postupne by sme mali viaceré z nich na cviku spomenúť.)
Neskôr by sme sa chceli dostať aj k príkladom, kde budú rozmery matíc väčšie. (V tých čo sme počítali zatiaľ sme mali najviac dvojnásobnú vlastnú hodnotu.)
A trochu by sme sa chceli porozprávať aj o tom, ako by sme našli maticu $P$ takú, že $PAP^{-1}=J$. (Zatiaľ to vieme spraviť v prípade, že $J$ je diagonálna matica.)