11. týždeň (29.11.):
Inverzná matica. Inverzné zobrazenie k lineárnej bijekcii je opäť lineárne. Definícia inverznej matice. K matici A existuje inverzná práve vtedy, keď A je regulárna matica.
Izomorfizmus vektorových priestorov. Zadefinovali sme pojem izomorfizmu vektorových priestorov a ukázali sme, že každý konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom $F$ je izomorfný s $F^n$ pre nejaké $n$.
Chvíľu som hovoril niečo o tom, že izomorfizmus vlastne hovorí o tom, že dva vektorové priestory sú "v podstate rovnaké".
Niečo podobné si môžete prečítať tu: viewtopic.php?t=495
(Izomorfizmus sme pre grupy nedefinovali; ale princíp je podobný.)
Ešte som na konci spomenul veci ako: $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$, $(A^{-1})^{-1}=A$, $(AB)^T=B^TA^T$, $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$. (Dokázali sme z nich iba prvú rovnosť.)
Na prednáške nebudem robiť podkapitolu "elementárne riadkové operácie a súčin matíc". Nebudem z nej skúšať dôkazy - ale vedieť o súvise medzi súčinom a ERO sa oplatí. (A budete takéto niečo vidieť na cvičeniach.)
V súvislosti s tým som spomenul, že na súčin matíc sa dá pozerať aj takto: V matici $AB$ budú lineárne kombinácie riadkov matice $B$. Matica $A$ nám vlastne hovorí, aké koeficienty mám použiť v týchto lineárnych kombináciách.
Sústavy lineárnych rovníc. Zadefinovali sme základné pojmy a ukázali si maticový zápis sústavy. Množina riešení sa nemení pri elementárnych riadkových operáciách. (Dôkaz som povedal pomerne stručne, ale ukázal som ešte jeden dôkaz založený na vzťahu riadkových operácií a násobenia matíc.)
Homogénne sústavy. Množina riešení homogénnej sústavy tvorí podpriestor. Ukázali sme si, ako vyzerá báza priestoru riešení. (Na jej základe dostaneme to, že jeho dimenzia je $n-h(A)$; s tým začneme nabudúce.)
Veci, ktoré som počas prednášky písal: https://msleziak.com/vyuka/2021/alg/20211129inver.pdf a https://msleziak.com/vyuka/2021/alg/20211129sust.pdf
Prednášky ZS 2021/22 - algebra
Moderators: Martin Sleziak, TomasRusin, Veronika Lackova, Nina Hronkovičová, bpokorna, davidwilsch, jaroslav.gurican, makovnik
-
Martin Sleziak
- Posts: 5688
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2021/22 - algebra
12. týždeň (6.12.):
Homogénne sústavy. Ukázali sme, že dimenzia priestoru riešení homogénnej sústavy je $n-h(A)$. (Nerobil som vetu 5.7.11, ktorá hovorí, že každý podpriestor $F^n$ je množinou riešení nejakej sústavy. Nebudem ju ani skúšať.)
Hodnosť transponovanej matice. Dokázali sme, že $h(A)=h(A^T)$.
Nehomogénne sústavy. Dokázali sme Frobeniovu vetu a vetu o súvise riešení homogénnej a nehomogénnej sústavy.
Jadro a obraz. Túto časť som na prednáške preskočil. Na skúške od vás budem chcieť aby ste z nej vedeli: Definíciu jadra a obrazu. Ako sa pomocou jadra a obrazu dá charakterizovať injektívnosť a surjektívnosť. (Tu sú dôkazy ľahké, takže tie si môžete pozrieť.) A bez dôkazu vetu o dimenzii jadra a obrazu, t.j. vetu ktorá hovorí, že pre lineárne zobrazenie $f\colon V\to W$ platí $\dim(V)=\dim(\operatorname{Ker}f)+\dim(\operatorname{Im}f)$.
Determinanty. Na začiatku sme sa pozreli na plochu rovnobežníka resp. objem rovnobežnostena - aby sme neskôr videli, že to je to isté, čo dostaneme ako determinant. (Postup, ktorý sme robili, predpokladá že zo strednej školy poznáte vektorový súčin a skalárny súčin. Samozrejme, môžete sa zamyslieť aj nad tým, či by ste to isté vedeli odvodiť nejako inak. Na druhej strane, z vecí čo si neskôr ukážeme o determinante by mohlo byť vidieť, že zodpovedá ploche resp. objemu.)
Definícia determinantu. Stihli sme sa pozrieť na to, ako to vyjde pre matice $2\times2$ a $3\times3$. (Videli sme, že sme dostali to isté, čo nám vyšlo pri výpočte plochy rovnobežníka resp. objemu rovnobežnostena.)
Ukázali sme si Sarrusovo pravidlo.
Veci, ktoré som písal počas prednášky: https://msleziak.com/vyuka/2021/alg/20211206sust.pdf a https://msleziak.com/vyuka/2021/alg/20211206deter.pdf.
Homogénne sústavy. Ukázali sme, že dimenzia priestoru riešení homogénnej sústavy je $n-h(A)$. (Nerobil som vetu 5.7.11, ktorá hovorí, že každý podpriestor $F^n$ je množinou riešení nejakej sústavy. Nebudem ju ani skúšať.)
Hodnosť transponovanej matice. Dokázali sme, že $h(A)=h(A^T)$.
Nehomogénne sústavy. Dokázali sme Frobeniovu vetu a vetu o súvise riešení homogénnej a nehomogénnej sústavy.
Jadro a obraz. Túto časť som na prednáške preskočil. Na skúške od vás budem chcieť aby ste z nej vedeli: Definíciu jadra a obrazu. Ako sa pomocou jadra a obrazu dá charakterizovať injektívnosť a surjektívnosť. (Tu sú dôkazy ľahké, takže tie si môžete pozrieť.) A bez dôkazu vetu o dimenzii jadra a obrazu, t.j. vetu ktorá hovorí, že pre lineárne zobrazenie $f\colon V\to W$ platí $\dim(V)=\dim(\operatorname{Ker}f)+\dim(\operatorname{Im}f)$.
Determinanty. Na začiatku sme sa pozreli na plochu rovnobežníka resp. objem rovnobežnostena - aby sme neskôr videli, že to je to isté, čo dostaneme ako determinant. (Postup, ktorý sme robili, predpokladá že zo strednej školy poznáte vektorový súčin a skalárny súčin. Samozrejme, môžete sa zamyslieť aj nad tým, či by ste to isté vedeli odvodiť nejako inak. Na druhej strane, z vecí čo si neskôr ukážeme o determinante by mohlo byť vidieť, že zodpovedá ploche resp. objemu.)
Definícia determinantu. Stihli sme sa pozrieť na to, ako to vyjde pre matice $2\times2$ a $3\times3$. (Videli sme, že sme dostali to isté, čo nám vyšlo pri výpočte plochy rovnobežníka resp. objemu rovnobežnostena.)
Ukázali sme si Sarrusovo pravidlo.
Veci, ktoré som písal počas prednášky: https://msleziak.com/vyuka/2021/alg/20211206sust.pdf a https://msleziak.com/vyuka/2021/alg/20211206deter.pdf.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5688
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2021/22 - algebra
13. týždeň (13.12.):
Determinanty.
Pripomenuli sme definíciu determinantu. Transponovaná matica má rovnaký determinant ako pôvodná, t.j $|A|=|A^T|$. Ako menia riadkové úpravy determinant. (Dokázať som stihol výmenu riadkov, $c$-násobok. Ukázal som, aký je determinant matice, ktorá vznikla z dvoch matíc "súčtom v jednom riadku", kde ostatné riadky sú vo všetkých troch maticiach. Spomenul som - ale už nestihol dokázať - že determinant matice, kde sú dva riadky rovnaké, je nulový. Takisto to, že determinant sa nezmení, ak pripočítam násobok niektorého riadku
Determinant hornej trojuholníkovej a diagonálnej matice. (Toto tiež bolo bez dôkazu - opäť som to iba spomenul)
Nestihol som Laplaceov rozvoj a ani determinant súčinu matíc - tieto veci spomeniete na cvičení, keď budete rátať nejaké príklady. (K determinantu súčinu som stručne povedal niečo o tom, že to súvisí s geometrickým významom determinantu - dá sa naň pozerať aj tak, že $|A|$ nám hovorí, koľkokrát príslušné lineárne zobrazenie zväčšuje objem.)
Veci o determinantoch som dokazoval trochu v inom poradí ako je v texte k prednáške. Najprv som - priamo z definície - dokázal že výmena riadkov mení znamienko. Toto by sa dá použiť (aspoň nad poľom $\mathbb R$) na dôkaz, že ak sa v matici opakujú riadky, tak $|A|=0$. V poznámkach je to urobené v opačnom poradí, ale tam v dôkaze používam Laplaceov rozvoj, o ktorom som zatiaľ nehovoril.
Veci, ktoré som písal počas prednášky: https://msleziak.com/vyuka/2021/alg/20211213deter.pdf
Na stránke predmetu nájdete prehľad základných vecí o determinantoch (je tam aj zopár riešených príkladov).
Niečo o geometrickom význame determinantu je napísané aj tu: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=555 a https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1621
Keď je reč o geometrickom význame determinantu, tak spomeniem toto pekné video: The determinant | Essence of linear algebra, chapter 6
Youtube kanál: 3Blue1Brown (Wikipédia: 3Blue1Brown) má veľa zaujímavých videí z rôznych oblastí matematiky, v súvislosti s týmto predmetom vás môže zaujímať playlist Essence of linear algebra.
Viaceré veci, ktoré sme preberali, sú tam pekne vizualizované - môže vám to pomôcť získať lepšiu geometrickú predstavu o týchto témach.
Determinanty.
Pripomenuli sme definíciu determinantu. Transponovaná matica má rovnaký determinant ako pôvodná, t.j $|A|=|A^T|$. Ako menia riadkové úpravy determinant. (Dokázať som stihol výmenu riadkov, $c$-násobok. Ukázal som, aký je determinant matice, ktorá vznikla z dvoch matíc "súčtom v jednom riadku", kde ostatné riadky sú vo všetkých troch maticiach. Spomenul som - ale už nestihol dokázať - že determinant matice, kde sú dva riadky rovnaké, je nulový. Takisto to, že determinant sa nezmení, ak pripočítam násobok niektorého riadku
Determinant hornej trojuholníkovej a diagonálnej matice. (Toto tiež bolo bez dôkazu - opäť som to iba spomenul)
Nestihol som Laplaceov rozvoj a ani determinant súčinu matíc - tieto veci spomeniete na cvičení, keď budete rátať nejaké príklady. (K determinantu súčinu som stručne povedal niečo o tom, že to súvisí s geometrickým významom determinantu - dá sa naň pozerať aj tak, že $|A|$ nám hovorí, koľkokrát príslušné lineárne zobrazenie zväčšuje objem.)
Veci o determinantoch som dokazoval trochu v inom poradí ako je v texte k prednáške. Najprv som - priamo z definície - dokázal že výmena riadkov mení znamienko. Toto by sa dá použiť (aspoň nad poľom $\mathbb R$) na dôkaz, že ak sa v matici opakujú riadky, tak $|A|=0$. V poznámkach je to urobené v opačnom poradí, ale tam v dôkaze používam Laplaceov rozvoj, o ktorom som zatiaľ nehovoril.
Veci, ktoré som písal počas prednášky: https://msleziak.com/vyuka/2021/alg/20211213deter.pdf
Na stránke predmetu nájdete prehľad základných vecí o determinantoch (je tam aj zopár riešených príkladov).
Niečo o geometrickom význame determinantu je napísané aj tu: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=555 a https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1621
Keď je reč o geometrickom význame determinantu, tak spomeniem toto pekné video: The determinant | Essence of linear algebra, chapter 6
Youtube kanál: 3Blue1Brown (Wikipédia: 3Blue1Brown) má veľa zaujímavých videí z rôznych oblastí matematiky, v súvislosti s týmto predmetom vás môže zaujímať playlist Essence of linear algebra.
Viaceré veci, ktoré sme preberali, sú tam pekne vizualizované - môže vám to pomôcť získať lepšiu geometrickú predstavu o týchto témach.