msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých cvičeniach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť - aby si mohli pozrieť, čo sa vlastne robilo.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach alebo cvičeniach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Budem sa snažiť s oboma skupina robiť dosť podobné veci, čiže snáď sa to bude dať zmysluplne písať do toho istého topicu.

1. týždeň (14.2):
Príklady, ktoré sme robili boli z 01skal.pdf. (Tie isté -alebo veľmi podobné - príklady sa dajú nájsť aj v poznámkach k prednáške.)$\newcommand{\dd}{\; \mathrm{d}}$
Skalárne súčiny:
Overenie, či daný predpis určuje skalárny súčin na $\mathbb R^3$.
Overenie, že predpis $\vec xA\vec y^T$ pre symetrickú maticu $A$ spĺňa prvé tri podmienky z definície skalárneho súčinu.
Ukázali sme, že $\langle f,g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x) \dd x$ dáva skalárny súčin na priestore všetkých spojitých funkcií z $\langle0,1\rangle$ do $\mathbb R$.
Ortogonálny doplnok:
Definícia ortogonálneho doplnku a nejaké jednoduché príklady.
Pozreli sme sa na to, ako nájsť pre daný podpriestor bázu a dimenziu $S^\bot$ v $\mathbb R^4$.
V príkladoch, ktoré sme videli, platilo $S^{\bot\bot}=S$ a $d(S)+d(S^\bot)=d(V)$; na prednáške si časom ukážeme, že takéto niečo platí v každom konečnorozmernom euklidovskom priestore.

2. týždeň (21.2)
Hľadanie ortogonálneho doplnku pre daný podpriestor v $\mathbb R^4$. (Prešli sme postup cez Gram-Schmidtov proces aj postup pomocou sústav. S oboma skupinami som prešiel príklad, ktorý je vyriešený v poznámkach - s jednou skupinou ešte okrem toho jeden ďalší.)
Priestor $\ell_2$ a v ňom príklad podpriestoru takého, že $S\ne S^{\bot\bot}$: viewtopic.php?t=1654
S jednou skupinou sme stihli ešte ukázať, že $S\subseteq S^{\bot\bot}$ a $S^\bot=S^{\bot\bot\bot}$.
K úlohe o $S^\bot=S^{\bot\bot\bot}$ pridám aj linku na staršie študentské riešenie: viewtopic.php?t=1699
Na konci ukázali aj to, že ak nejaké vektory $\vec x_1,\dots,\vec x_n$ sú nenulové a ortogonálne, tak sú lineárne nezávislé.

3. týždeň (28.2)
Vrátil som sa k $S^\bot=S^{\bot\bot\bot}$ (s tou skupinou, s ktorou som tento príklad nestihol minulý týždeň).
Ortogonálna projekcia
Pozreli sme sa na to, že pre ortogonálnu projekciu na podpriestor $S$ platí $\operatorname{Im}P=S$, $\operatorname{Ker}P=S^\bot$ a $P\circ P=P$.
Pri štandardnom skalárnom súčine sme vyjadrili maticu projekcie na jednorozmerný popriestor ako $\vec\alpha^T\vec\alpha$ (kde $\vec\alpha$ je jednotkový vektor generujúci $S$.)
Pre väčšiu dimenziu podobne máme maticu $\vec\alpha_1^T\vec\alpha_1+\dots+\vec\alpha_k^T\vec\alpha_k$, kde $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_k$ tvoria ortonormálnu bázu podpriestoru $S$. (Z toho vidíme aj fakt, že matica ortogonálnej projekcie pri štandardnom skalárnom súčine je symetrická.)
Kvadratické formy
Prerátali sme nejaké príklady typu "nájdite kanonický tvar" - dvoma spôsobmi, dopĺňaním na štvorec. riadkovými a stĺpcovými úpravami. (A tiež sme si vysvetlili, ako riadkové a stĺpcové úpravy súvisia s týmto problémom.)
a) $x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2$
b) $x_1^2-4x_1x_2+2x_1x_3+4x_2^2+x_3^2$
(Druhý príklad som stihol iba s jednou skupinou.)
Na fóre sú nejaké príklady takéhoto typu vyriešené tu:
viewtopic.php?t=677
viewtopic.php?t=678

4. týždeň (7.3.)
Kvadratické formy, kladná definitnosť.
Rátali sme niektoré príklady z 02kvadform.pdf.
Zistenie kladnej definitnosti v závislosti od parametra. (Pritom sme si uvedomili to, že kladnú definitnosť neopvlyvní zmena poradia premenných.)
Overenie, či daný predpis určuje skalárny súčin.
Ak pre symetrickú maticu platí $D_1>0, D_2>0, \dots, D_n>0$, tak $a_{nn}>0$.
S jednou skupinou sme stihli ešte vypočítať rohové determinanty pre $\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 + \sum\limits_{1\le i<k\le n} x_ix_k$. (A vyšlo nám, že je kladne definitná.)
Extrémy funkcie viac premenných.
Snažil som sa aspoň stručne ukázať, že veci čo preberáme teraz súvisia s hľadaním maxima a minima pre funkcia viac premenných.
Pre funkcie dvoch premenných sme nakreslili ako vyzerajú grafy kvadratických foriem po úprave na kanonický tvar - dostali sme paraboloidy.
Potom sme stručne pripomenuli ako ste hľadali extrémy pre funkcie jednej premennej. A aspoň stručne sme povedali niečo k tomu, že pri funkciách viac premenných budú hrať podobnú úlohu ako znamienko druhej derivácie kladná resp. záporná definitnosť nejakej kvadratickej formy.
Pridám ešte raz túto linku: viewtopic.php?t=1428

5. týždeň (14.3.)
Podobnosť matíc$\newcommand{\vp}{\varphi}$
Pozreli sme sa na niektoré príklady odtiaľto: https://msleziak.com/vyuka/2022/alg3/03podob.pdf
Niektoré jednoduché vlastnosti podobnosti matíc:

• Podobnosť matíc je relácia ekvivalencie.
• Nulová matica aj každá matica tvaru $cI$ je podobná iba sama so sebou (a so žiadnou inou maticou).
• Matica $AB$ a $BA$ sú podobné, ak aspoň jedna z nich je regulárna, (Ale neplatí to po vynechaní predpokladu o regulárnosti.)
• Podobné matice majú rovnakú hodnosť, determinant, stopu.
• Matice $$A=
  \begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
  a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
  \vdots & & \ddots & \vdots \\
  a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
  \end{pmatrix}
  \qquad\text{a}\qquad
  B=
  \begin{pmatrix}
  a_{\vp(1)\vp(1)} & a_{\vp(1)\vp(2)} & \dots & a_{\vp(1)\vp(n)} \\
  a_{\vp(2)\vp(1)} & a_{\vp(2)\vp(2)} & \dots & a_{\vp(2)\vp(n)} \\
  \vdots & & \ddots & \vdots \\
  a_{\vp(n)\vp(1)} & a_{\vp(n)\vp(2)} & \dots & a_{\vp(n)\vp(n)}
  \end{pmatrix}
  $$
  sú podobné.
• Ak $A$, $B$ sú podobné regulárne matice, tak aj $A^{-1}$, $B^{-1}$ sú podobné
• Ak $A$, $B$ sú podobné, tak aj $A^n$, $B^n$ sú podobné.
• Ukázali sme, že iba matice tvaru $A=cI$ majú tú vlastnosť, že majú jednoprvkovú triedu ekvivalencie. (Argument, ktorý sme použili funguje pre $F\ne\mathbb Z_2$; tam by to bolo treba vymyslieť trochu inak.)

Spomenuli sme pojem permutačnej matice - keďže sa prirodzene vyskytol v jednej z úloh.
Videli sme, že pre stopu platí $\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)$.
Využili sme, že násobenie regulárnou maticou nemení hodnosť - spomenuli sme (ale nedokazovali) aj nerovnosti $h(AB)\le h(A)$ a $h(AB)\le h(B)$.
K tejto téme pridám ešte dve linky: viewtopic.php?t=1416 a viewtopic.php?t=828

6. týždeň (21.3.)
Podobnosť s diagonálnou maticou, vlastné čísla, vlastné vektory
Príklady, ktoré boli na dnešnom cviku, sú v 04diag.pdf.
Urobili sme príklady 1, 2 a 3:
* Nula je vlastná hodnota p.v.k. A nie je regulárna. Vzťah medzi vlastnými hodnotami a vlastnými vektormi pre A a $A^{-1}$.
* Ak $A^2=A$, tak vlastné hodnoty môžu byť iba 0,1,.
* Vzťah medzi vlastnými hodnotami $A$ a $A+aI$.

Príklad 13 - časti c a a.
Pre danú maticu zistiť, či je podobná s diagonálnou a ak áno, tak nájsť maticu $P$ takú, že $PAP^{-1}=D$. (V 13c vyšli rôzne vlastné čísla a teda bola podobná s diagonálnou. V 13a zadaná matica nie je podobná s diagonálnou.)
Pritom sme videli štandardný postup ako hľadať vlastné čísla a vlastné vektory. Spomenuli sme aj nejaké veci, ktoré môžu byť užitočné pri hľadaní koreňov charakteristického polynómu: viewtopic.php?t=890

Príklad 9a - pre dané matice zistiť, či sú navzájom podobné - v tejto úlohe to vyšlo tak, že boli podobné s tou istou diagonálnou maticou.

K príkladu 9b sa vrátim nabudúce. (S jednou skupinou som stihol niečo povedať narýchlo na konci cvika, s druhou skupinou som ju nestihol.)
V príkladoch 9b a 10 nie je ani jedna z matíc podobná s diagonálnou - čiže s tým, čo vieme zatiaľ, je táto úloha o čosi náročnejšia. (Neskôr budeme takéto niečo schopní zistiť ľahšie pomocou Jordanovho normálneho tvaru.)
Niečo k takejto úlohe je aj tu na fóre: viewtopic.php?t=655

7. týždeň (28.3.)
Ešte raz sme sa vrátili k úlohe z minule - zistiť pre dané matice $2\times 2$ či sú podobné; ale v prípade, že matica nie je podobná s diagonálnou. Vedeli sme nejako prísť na to, že takáto matica musí byť v skutočnosti podobná s maticou tvaru $J=
\begin{pmatrix}
\lambda & 1 \\
0 & \lambda
\end{pmatrix}
$, a na prednáške
viewtopic.php?t=655

Ortogonálna podobnosť
Veci, na ktoré sme pozerali, sú v 05ortog.pdf.
Ukázali sme si príklad typu: Nájdite pre danú symetrickú maticu ortogonálnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, že $PAP^{-1}=D$. (Úmyselne sme robili príklad, kde charakteristický polynóm mal násobný koreň - takže bolo treba pri vlastných vektoroch k tomuto vlastnému číslu ešte nejako nájsť také, ktoré sú na seba kolmé.)

Rozmysleli sme si, že ortogonálne matice $2\times 2$ majú tvar
$$
\begin{pmatrix}
\cos\varphi & \sin\varphi \\
-\sin\varphi & \cos\varphi
\end{pmatrix}
\qquad\text{alebo}\qquad
\begin{pmatrix}
\cos\varphi & \sin\varphi \\
\sin\varphi &-\cos\varphi
\end{pmatrix}.
$$
Povedali sme si, že to je vlastne v prvom prípade je to rotácia a v druhom prípade je zložená ešte s osovou symetriou.
A trochu sme sa rozprávali aj o tom, čo nám geometrická predstava hovorí o takýchto zobrazeniach v trojrozmernom priestore.

Povedali sme si, že pre blokové matice platí
$$\begin{vmatrix} A&0\\ D&C\end{vmatrix}=|A|\cdot|C|,$$
keďže sa to niekedy môže hodiť pri výpočte charakteristického polynómu. (S jednou skupinou sme stihli aj dôkaz.)
K tejto rovnosti je niečo aj v tomto topicu: viewtopic.php?t=918
Násobeniu blokových matíc je stručne spomenuté aj v tomto topicu: viewtopic.php?t=1008 (A aj v poznámkach k algebre 1.)

8. týždeň (4.4.)
Pripomeniem, že sme sa dohodli na termíne písomky s jednotlivými skupinami na 18. apríla a 25. apríla: viewtopic.php?t=1959

S jednou skupinou sme sa ešte vrátili k determinantu blokovej matice: viewtopic.php?t=918. (S tou druhou skupinou sme to stihli minulý týždeň.)

Jordanov tvar.
Riešili sme úlohy z 06jordan.pdf.

Pozreli sme sa na to, ako vyzerajú mocniny matíc
$$
A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\qquad
B=\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & \lambda \\
\end{pmatrix}
$$
Pri druhej z nich sme mocniny mohli vyčítať aj z $B=(\lambda I+A)^k$ na základe binomickej vety. Treba si ale uvedomiť, že pre matice binomická veta v tvare $(X+Y)^k=\sum\limits_{j=0}^k X^kY^{n-k}$ funguje iba v prípade, že $XY=YX$; t.j. ak tieto matice komutujú. To nám môže pomôcť pri dôkaze toho ako vyzerajú mocniny $B^n=(\lambda I+A)^n$.

Pridám aj nejaké linky:
* Wikipédia: Jordan normal form § Matrix functions (current revision)
* MSE: Why does the n-th power of a Jordan matrix involve the binomial coefficient?

Potom sme pre maticu $$\begin{pmatrix}
6 & 1 & -3 & 2 & 5 \\
-1 & 2 & 1 & -3 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 3 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 3 & -2 \\
-2 & 0 & 2 & 2 & -2
\end{pmatrix}$$ našli Jordanov tvar a pozreli sme sa aj na to, ako hľadať maticu $P$ takú, že $PAP^{-1}=J$. (Je to ten istý príklad, ktorý je uvedený aj v texte k prednáške.)
Popritom sme si ilustrovali pár vecí súvisiacich s Jordanovým tvarom, konkrétne sme videli aj vzťah medzi hodnosťami mocnín matice $A-\lambda I$ a počtami blokov. Opäť pripomeniem, že niečo k tomuto je v poznámkach - ale pridám aj linku tu na fóre: viewtopic.php?t=1688

11.4. bolo dekanské voľno

Dnes bolo cvičenia iba s jednou skupinou - druhá skupina dnes písala písomku.

10. týždeň (18.4.)
Lineárne rekurencie.
Dnes boli príklady odtiaľto: 07fibon.pdf.
Spomenul som príklad s jednoduchou sústavou dvoch lineárnych rekurencií ako typ úlohy, kde sa veľmi prirodzene nejako objavia vlastné čísla a vlastné vektory: viewtopic.php?t=639
Jordanov tvar a riešenia lineárnych rekurencií. (Ukázali sme si aj "prvácky" prístup - bez využitia Jordanovho tvaru.) Detailne sme to prešli pre rekurencie druhého rádu, ale spomenuli sme si aj to, ako to vyjde všeobecne.
Ukázali sme si maticové odvodenie niektorých vlastností Fibonacciho postupnosti: viewtopic.php?t=640
Pri vyjadrení pomocou mocnín matice $\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$ sme opäť pripomenuli Exponentiation by squaring.
Konkrétne sme si ukázali Cassiniho identitu, rovnosť $F_{m+n}=F_mF_{n+1}+F_{m-1}F_n$ a $F_{2n}=\sum_{k=0}^n{n \choose k}F_k$.