msleziak.com

Sem budem písať, čo sme stihli na jednotlivých cvičeniach. (Môže byť užitočné, ak sa k tomu chcete vrátiť alebo ak ste chýbali na cviku.)

Tento topic by som chcel používať iba na tento účel. Takže ak budete mať otázky k niečomu, čo bolo na cviku, tak skúste v inom topicu. (Buď založiť nový alebo v nejako už existujúcom, ak nájdete taký, kde sa vaša otázka hodí.)

Určite to nebude tak, že by som vždy robil na cvičeniach úplne presne rovnaké príklady, ako po minulé roky. Ak vás zaujíma, čo sa robilo v minulosti:
viewtopic.php?t=927
viewtopic.php?t=710
viewtopic.php?t=479

1. týždeň

Výberové cviko (25.9.):
Rátali sme tieto príklady.
Z príkladov na indukciu sme stihli úlohy 8 a 6.
Pri dôkaze nerovnosti sme $\sum\limits_{k=1}^n \frac1{k^2} \le 2-\frac1n$ sme sa pozreli aj na súčet $\sum\limits_{k=2}^n \frac1{k(k-1)}$, ktorý je príkladom teleskopickej sumy.
Z príkladov na algebraické úpravy sme stihli 1a, 1b, 1c.
Ešte sme si ukázali, že $\sqrt2+\sqrt3$ je iracionálne číslo. (Zo strednej školy by ste mali poznať dôkaz, že $\sqrt2$ nie je racionálne - ktorý sa dá skoro bez zmeny aplikovať na $\sqrt3$, $\sqrt5$, $\sqrt6$ a pod. Inak povedané, na $\sqrt a$, kde $a$ nie je druhá mocnina celého čísla.)

Ako jednu z úloh na indukciu sme dokazovali, že $\left(\sum\limits_{k=1}^n k\right)^2 = \sum\limits_{k=1}^n k^3$. Pridám k tejto úlohe nejaké linky:
* Squared triangular number na Wikipédii
* Proving $1^3+ 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ using induction na math.SE
* Proving Nicomachus's theorem without induction na math.SE

Povinné cviko (26.9.):
Dnešné cviko bolo asi viac prednáškou, než cvičením.
Pozreli sme sa trochu na injektívne a surjektívne zobrazenia. Robili sme nejaké príklady z 01zobrazenia.pdf a tiež sme sa dostali k nejakým tvrdeniam z LAG1.
Ukázali sme, že:

• Ak $g\circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia. (Ukázali sme si na konkrétnom príklade, že nemusí nutne platiť, že $g$ je injekcia.)
• Zloženie dvoch injekcií/surjekcií/bijekcií je opäť injekcia/surjekcia/bijekcia. (Veta 1.1.14 z LAG1)
• Zadefinovali sme inverzné zobrazenie (k bijektívnemu zobrazeniu) a ukázali, že aj $f^{-1}$ je bijekcia. (Veta a definícia 1.1.9 z LAG1.)

Čo som už nestihol - ale ešte by som sa k tomu chcel dostať - sú Veta 1.1.15 a Dôsledok 1.1.16 - k nim sa vrátim na pondelkovom cvičení.

2. týždeň

Výberové cviko (2.10.): Stále sme sa venovali úlohám o zobrazeniach.
Ukázali sme si, že ak $g\circ f$ je surjekcia, tak $g$ je surjekcia. (A na príklade sme videli, že $f$ surjekcia vo všeobecnosti nemusí byť.)
Trochu sme sa porozprávali o tom, ako súvisia injekcia a surjekcie s počtom prvkov konečných množín. (Ak existuje injekcia $A\to B$, tak $|A|\le|B|$. Ak existuje surjekcia $A\to B$, tak $|A|\ge|B|$. Neskôr na diskrétnej matematike budete niečo podobné robiť aj s nekonečnými množinami, keď budete definovať pojem kardinality.)
Zadefinovali sme, čo je $id_A$ a ukázali sme vetu 1.1.15 a dôsledok 1.1.16 z LAG1.
Potom sme sa venovali ešte tomu, že ak $A$ je konečná množina a $f\colon A\to A$, tak sú ekvivalentné tieto podmienky: i) $f$ je bijekcia, ii) $f$ je injekcia, iii) $f$ je surjekcia. Dokázali sme iba niektoré časti tohoto tvrdenia. (K tomuto sme sa dostali od otázky, či aspoň niekedy z $|A|=|B|$ vieme usúdiť, že $f\colon A\to B$ je bijekcia. Môžete si rozmyslieť, že z predchádzajúceho už ľahko dostaneme, že platí: Ak $f\colon A\to B$ je injekcia a $|A|=|B|$, tak $f$ je aj bijekcia.) V dôkaze sme použili niečo, čomu sa hovorí holubníkový princíp alebo tiež Dirichletov princíp: viewtopic.php?t=1137

Na budúci týždeň bude prvá písomka na výberovom cviku. Budú dva príklady. Počítajte s nejakým príkladom na indukciu a tiež s nejaký príkladom na zobrazenia (injektívnosť, surjektívnosť, bijektívnosť).

Povinné cviko. (3.10.)
Riešili sme prednáškové úlohy č.1 - stihli sme všetky okrem poslednej.
Trochu sme hovorili aj o počte všetkých zobrazení a počte všetkých injekcií z $m$-prvkovej množiny do $n$-prvkovej. Pre surjekcie by to bolo ťažšie. Ale koho by to zaujímalo, môže si o tom prečítať niečo tu:
* Stirling numbers of the second kind na Wikipédii
* Calculating the total number of surjective functions na math.SE
* Budete sa časom učiť o princípe zapojenia vypojenia, ktorý sa tiež dá použiť na odvodenie nejakého vyjadrenia pre počet surjekcií. Pridám napríklad tieto linky: Number of surjections from $\{1,...,m\}$ to $\{1,...,n\}$ a Stirling numbers combinatorial proof

Tiež sme pri počítaní počtu podmnožín $n$-prvkovej množiny trochu odbočili k binomickým koeficientom a binomickej vete. Ukázali sme, že neexistuje bijekcia medzi $A$ a $\mathcal P(A)$ pre konečnú množinu $A$. Oplatí sa spomenúť, že niečo podobné platí aj pre nekonečné množiny - na diskrétnej matematike sa s tým stretnete pod názvom Cantorova veta.

3. týždeň

Výberové cviko (9.10.): Písali sme prvú malú písomku (matematická indukcia, zobrazenia).
Pozreli sme sa na nejaké cvičenia o binárnych operáciách a grupách: 02binop.pdf.
Konkrétne úlohy 2 a 3 z časti o binárnych operáciách.
T.j. videli sme, že ľubovoľné uzátvorkovanie 4 prvkov dá pre asociatívnu operáciu to isté. (Bez dôkazu sme spomenuli, že to platí aj pre ľubovoľný počet.) Pre zaujímavosť spomeniem, že počet všetkých možných uzátvorkovaní $n$-prkov je $n$-té Catalanove číslo.
V súvislosti s úlohou 3 sme si povedali niečo o tom, čo vlastne znamená izomorfizmus. Nejaký komentár k inej úlohe, kde sa izomorfizmus dá použiť podobným spôsobom, je tu: viewtopic.php?t=495
Pridám k téme homomorfizmov ešte takúto linku: Intuition on group homomorphisms - Math.SE
Okrem toho sme sa pozreli na prvú úlohu z časti o grupách, trochu sme sa pri tom rozprávali o tom, ktoré vlastnosti sa dedia na podmnožiny.

Povinné cviko (9.10.): Riešili sme prednáškové úlohy 2 a 3: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/korbas/pulag/PU0203.pdf
Stihli sme konkrétne 1.2.9(2), 1.3.6(6), 1.3.6(3), 1.4.6(4), 1.4.6(5).
Popritom sme si ukázali aj to, že v grupe platia zákony o krátení. (To je vlastne úloha 5 v 02binop.pdf.)
Výsledok z úlohy 1.4.6(4) - že pre konečnú podgrupu stačí kontrolovať uzavretosť na binárnu operáciu - býva občas užitočný, oplatí sa zapamätať si ho.
K niektorým úlohám z tejto sady sa dá niečo nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=727 a viewtopic.php?t=726

4. týždeň

Výberové cviko (16.10.):
Grupy a homomorfizmy. Ukázali sme si, že $(S_3,\circ)$ je grupa, ktorá nie je komutatívna. (Resp. všeobecnejšie to platí pre $S_n$, kde $n\ge3$.) Celá tabuľka grupy $S_3$ sa dá nájsť v 03podgrp.pdf.
Pozreli sme sa na nejaké izomorfizmy grúp. Ako jednoduché príklady sme spomenuli dve grupy, ktoré nie sú izomorfné lebo majú rôzny počet prvkov. Potom dve grupy, kde jedna je komutatívna a druhá nie.
Ešte sme sa pozreli na štvorprvkové grupy $(\mathbb Z_4,+)$, $(\mathbb Z_5\setminus\{0\},\cdot)$ a $(\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2,+)$. Zistili sme, že prvé dve sú izomorfné, tretia s nimi nie je izomorfná.
Relácie ekvivalencie. Pozreli sme sa na overenie, či zadaná relácia je relácia ekvivalencie - konkrétne príklady 1b, 1c, 1f z 04faktor.pdf.

Povinné cviko (17.10.):
Riešili sme prednáškové úlohy týkajúce sa relácií ekvivalencia a faktorových grúp: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/korbas/pulag/PU0405.pdf
Úloha o kanonickej projekcii je vyriešená aj tu na fóre: viewtopic.php?t=737

5. týždeň

Výberové cviko (23.10.):
Ukázali sme si, že existuje bijekcia medzi $H$ a ľubovoľnou triedou rozkladu $G$ podľa $H$. Z toho dostaneme, že počet prvkov podgrupy delí počet prvkov grupy. (Tento výsledok sa volá Lagrangeova veta a platí aj pre ľubovoľné grupy - tu na LAG1 sme všetky veci súvisiace s faktorovými grupami a rozkladmi definovali iba pre komutatívne grupy. Neskôr na Algebre (1) sa tieto veci budete učiť o niečo všeobecnejšie.)
Potom sme sa pozreli na nejaké príklady faktorových grúp. Špeciálne sme sa snažili aj o to, čo vieme dostať z vety o izomorfizme. Konkrétne sme videli, že $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)/\mathbb R^+\cong (\{\pm1\},\cdot)$ a $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)/\{\pm 1\}\cong (\mathbb R^+,\cdot)$. (Takmer rovnaké príklady ste videli na prednáške, len ste robili s $\mathbb C$ namiesto $\mathbb R$ a s jenotkovou kružnicou namiesto $\{\pm1\}$.) Ešte sme videli aj to, že $(\mathbb R^2,+)/H\cong\mathbb R$, kde $H=\{(x,y)\in\mathbb R^2; y-2x=0\}$. (V podstate rovnako to prejde pre ľubovoľnú priamku prechádzajúcu nulou.)
Takéto alebo veľmi podobné príklady nájdete aj medzi riešenými úlohami na faktorové grupy: http://msleziak.com/vyuka/2017/lag/faktorove.pdf (V príkladoch, ktoré som tam dal, som sa snažil ukázať postup z definície aj postup využívajúci vetu o izomorfizme. A kde to šlo tak som skúsil aj nakresliť nejaký obrázok ukazujúci o čo tam ide.)

Dohodli sme sa, že nabudúce (t.j. o 2 týždne - keďže budúci pondelok je dekanské voľno) bude krátka písomka zameraná na 1. Grupy a binárne operácie. 2. Relácie ekvivalencie.

Povinné cviko (24.10.):
Riešili sme prednáškové úlohy - nestihli sme 1.7.8(3) a 1.7.8(4).
Jedna z prednáškových úloh bola lema 1.1.7. V nej sme odvodili vyjadrenie n.s.d. dvoch čísel ako ich celočíselnej kombinácie. Tomuto výsledku sa niekedy hovorí aj Bézoutova identita.
K úlohe 1.7.8(10) pridám túto linku: viewtopic.php?t=738
V jednej úlohe sme sa pozreli na to, čo sa stane ak namiesto celých čísel vezmeme racionálne - skontrolovali sme, že $\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$ tvorí s obvyklým sčitovaním a násobením pole. (Jediný detail, ktorý sme preskočili, je overenie že pre racionálne čísla platí $a+b\sqrt2=0$ $\Leftrightarrow$ $a=b=0$.) Opäť pridám k tejto úlohe aj linku: viewtopic.php?t=84

6. týždeň - pondelok ani utorok sa neučilo - dekanské a rektorské voľno.

7. týždeň

Výberové cviko (6.11.): Písali sme písomku na relácie ekvivalencie a grupy.
Prerátali sme niektoré úlohy na podpriestory. (Pozerali sme sa na podpriestory v $\mathbb R^3$, z úlohy 1 sme spravili časti b, c, d, e.)
Okrem toho sme si ukázali, že množina $\mathbb R^M$ všetkých zobrazení $M\to\mathbb R$ (so sčitovaním a skalárným násobením definovaným "po bodoch") tvorí vektorový priestor nad $\mathbb R$. (Toto je príklad z 2.1.2(3). Dá sa naň pozerať aj ako na zovšeobecnenie $\mathbb R^n$; rozdiel je, že tu môžeme mať nekonečne veľa "súradníc".)

Povinné cviko (7.11.):
Počítali sme prednáškové úlohy 8 a 9. Stihli sme 2.1.18(2),(5),(6),(8) a 2.2.9(2),(3) (a začali sme 2.2.9(4)).Nejaká úloha na vyriešenie sústavy rovníc s parametrom (dosť podobná na úlohu z dnešného cvika - líši sa len pravými stranami) sa dá nájsť s riešením aj tu na fóre: viewtopic.php?t=579
Rozprávali sme sa trochu aj o skúške správnosti pri riešení sústav. Keďže sústavy budeme používať pomerne často, azda je to vec, nad ktorou sa oplatí aspoň trochu zamyslieť: viewtopic.php?t=522

8. týždeň

Výberové cviko (13.11.):
Z úloh v 08baza.pdf sme z časti o báze a dimenzii vyriešili úlohy 1a,b,c, 2a, 3 a 5.

V súvislosti s úlohou o priestore polynómov sme videli, že polynóm sa bude rovnať nule práve vtedy, keď sa všetky koeficienty rovnajú nule. Na tejto prednáške to môžete používať ako fakt, ale pozreli sme sa aj na to, ako sa to dá zdôvodniť. Pridám aj dve linky: môžete sa pozrieť sem alebo sem.

Takisto sme z jednej úlohy dosalidostali, že každý polynóm stupňa $n$ sa dá vyjadriť ako $c_n(x-1)^n+\dots+c_1(x-1)+c_0$ pre nejaké koeficienty $c_n,\dots,c_1,c_0$. Toto súvisí s niečím, čomu sa zvykne hovoriť Taylorov rozvoj polynómu: viewtopic.php?t=687 Na algebre 2 sa naučíme aj ako vyrátať tieto koeficienty. A tiež sa na to dá pozerať ako na špeciálny prípad Taylorovho radu, s ktorým by ste sa mohli stretnúť na analýze.

Povinné cviko (14.11.):
Písali sme písomku. (Keďže nechceme priveľmi zaostať za prednáškou, budú sa PÚ dať prezentovať budúci týždeň v pondelok aj v utorok.)

9. týždeň

Výberové cviko (20.11.): Pozreli sme sa na prednáškové úlohy PU10 - spravili sme 2.3.14(5) a 2.3.14(9). (Stále platí, že tie čo sme nerobili sa dajú prezentovať zajtra.)
Z 09rtm.pdf sme sa pozreli na 2a,b. Pritom sme sa porozprávali o tom ako sa dá urobiť (aspoň čiastočná) skúška správnosti pri úprave na redukovaný stupňovitý tvar: viewtopic.php?t=531
Pridám linku, kde je vymenovaných viacero typov úloh, ktoré sa dajú riešiť pomocou úpravy na redukovaný stupňovitý tvar: viewtopic.php?t=540
(Niektoré z nich sme sa ešte neučili - konkrétne veci začínajúce v tom zozname od matice zobrazenia. Tej by sme sa chceli venovať budúci týždeň - videli ste, že nejaké veci súvisiace s maticou zobrazenia sú aj medzi prednáškovými úlohami.)
Dohodli sme sa, že budúci pondelok bude malá písomka zameraná na podpriestory a sústavy.

Povinné cviko (21.11.):
Vrátili sme sa aj k prednáškovým úlohám 11 a potom sme robili PU 12 a 13. Stihli sme konkrétne: 2.4.15(5), 2.4.15(8), 2.4.15(11), 3.1.8(7), 3.2.19(2), 3.2.19(3).

Medzi týmito prednáškovými úlohami bolo niečo aj na hodnosť s parametrom. Viacero takýchto úloh je aj vyriešených na fóre:
Na fóre nájdete vyriešené nejaké príklady na hodnosť s parametrom:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160

10. týždeň

Výberové cviko (27.11.): Po písomke sme sa pozreli na nejaké príklady týkajúce sa súčinu matíc a matice zobrazenia. Konkrétne sme z 10lzob.pdf prešli úlohy 1 a 2 z časti o súčine matíc. (Tam sme spomenuli súvis medzi násobením matíc a elementárnymi riadkovými/stĺpcovými operáciami.) A ešte sme sa pozreli na výpočet matice zobrazenia - úlohy 2 a 4 v tejto časti.

Povinné cviko (28.11.): Riešili sme prednáškové úlohy 14 a 15. Stihli sme urobiť 4.2.4(1), 4.2.4(4)h, 4.2.4(7), 4.3.8(1), 4.3.8(2), 4.3.8(9), 4.4.6(5), 4.4.6(6).
V súvislosti so súčinom sme sa trochu rozprávali aj o tom, že násobenie maticou zľava zodpovedá tomu, že robíme lineárne kombinácie riadkov pravej matice. (A dá sa na to pozerať aj obrátene - pravá matica určuje koeficienty pomocou ktorých urobíme lineárne kombinácie stĺpcov ľavej matice.)