Sem budem písať, čo sme stihli na jednotlivých cvičeniach. (Môže byť užitočné, ak sa k tomu chcete vrátiť alebo ak ste chýbali na cviku.)
Tento topic by som chcel používať iba na tento účel. Takže ak budete mať otázky k niečomu, čo bolo na cviku, tak skúste v inom topicu. (Buď založiť nový alebo v nejakom už existujúcom, ak nájdete taký, kde sa vaša otázka hodí.)
Určite to nebude tak, že by som vždy robil na cvičeniach úplne presne rovnaké príklady, ako po minulé roky. Ak vás zaujíma, čo sa robilo v minulosti:
viewtopic.php?t=1565
viewtopic.php?t=1459
viewtopic.php?t=1310
viewtopic.php?t=1126
viewtopic.php?t=927
viewtopic.php?t=710
viewtopic.php?t=479
Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2021/22
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2021/22
Matematická indukcia
Prepočítali sme viacero príkladov na indukciu - zväčša sa týkali súm. (Aj jedna nerovnosť, na ktorú sme sa pozreli, obsahovala sumu.)
Boli to príklady z 01indukcia.pdf. K niektorým z nich nájdete ešte nejaké ďalšie komentáre v 01indukciaries.pdf
Konkrétne sme sa pozreli na:
Zobrazenia
Pozreli sme sa na zloženie $f\circ g$ a $g\circ f$ pre $g(x)=x^2$ a $f(x)=\sin x$. Videli sme, že v tomto prípade $g\circ f\ne f\circ g$. (Je to jedna z úloh v 01zobrazenia.pdf.)
Pri tejto príležitostí sme skúsili načrtnúť grafy funkcií $\sin x^2$ a $\sin^2x$. Pripomenuli sme si súčasne vzorce pre $\cos 2x$ a $\sin2x$ a rozmysleli sme si, že $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}2$.
Prepočítali sme viacero príkladov na indukciu - zväčša sa týkali súm. (Aj jedna nerovnosť, na ktorú sme sa pozreli, obsahovala sumu.)
Boli to príklady z 01indukcia.pdf. K niektorým z nich nájdete ešte nejaké ďalšie komentáre v 01indukciaries.pdf
Konkrétne sme sa pozreli na:
- $\sum\limits_{k=0}^n (2k-1) = (n+1)^2$ (tu sme videli aj dva obrázkové dôkazy a spomenuli sme si, že to je špeciálny príklad vzorca pre súčet aritmetickej postupnosti);
- $\sum\limits_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6$, t.j. súčet prvých $n$ štvorcov
Zobrazenia
Pozreli sme sa na zloženie $f\circ g$ a $g\circ f$ pre $g(x)=x^2$ a $f(x)=\sin x$. Videli sme, že v tomto prípade $g\circ f\ne f\circ g$. (Je to jedna z úloh v 01zobrazenia.pdf.)
Pri tejto príležitostí sme skúsili načrtnúť grafy funkcií $\sin x^2$ a $\sin^2x$. Pripomenuli sme si súčasne vzorce pre $\cos 2x$ a $\sin2x$ a rozmysleli sme si, že $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}2$.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2021/22
2. týždeň (28.9.):
Zobrazenia. Rátali sme úlohy z 01zobrazenia.pdf
Rozprávali sme sa o injekciách, surjekciách, bijekciách. Pripomenuli sme si definície a povedali, čo vlastne znamenajú. Ukázali sme si, ako vidno z grafu funkcie $\mathbb R\to\mathbb R$, či je injektívna/surjektívna - horizontal line test.
Prešli sme úlohy 3.1 a 3.2 t.j. vlastne dôkaz týchto dvoch tvrdení:
* Ak $g\circ f$ je surjekcia, tak $g$ je surjekcia.
* Ak $g\circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia.
A našli sme aj kontrapríklad ukazujúci, že opačná implikácia vo všeobecnosti neplatí.
Potom sme sa pozreli na "krátenie" injekciou resp. injekciou, to sú úlohy 3.6 a 3.7: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1360
Binárne operácie a grupy
Rátali sme úlohy z 02binop.pdf
Zopakovali sme definíciu grupy a komutatívnej grupy.
Potom sme sa pozreli na $\mathbb R$ s operáciou $a*b=a+b-1$ a na $\mathbb R\setminus\{-1\}$ s operáciou $a*b=ab+a+b$. To sú úlohy 2.1h a 2.3.
Trochu sme sa pri tom rozprávali o tom, ktoré vlastnosti sa dedia na podmnožiny. (T.j. keď sme asociatívnosť a komutatívnosť ukázali pre celé $\mathbb R$, tak to platí aj po zúžení na $\mathbb R\setminus\{-1\}$. Ale treba byť opatrnejší, ak sa pýtame, či je to binárna operácia a tiež či má neutrálny a inverzný prvok.)
Niečo k tejto grupe je aj tu: viewtopic.php?t=495
Zobrazenia. Rátali sme úlohy z 01zobrazenia.pdf
Rozprávali sme sa o injekciách, surjekciách, bijekciách. Pripomenuli sme si definície a povedali, čo vlastne znamenajú. Ukázali sme si, ako vidno z grafu funkcie $\mathbb R\to\mathbb R$, či je injektívna/surjektívna - horizontal line test.
Prešli sme úlohy 3.1 a 3.2 t.j. vlastne dôkaz týchto dvoch tvrdení:
* Ak $g\circ f$ je surjekcia, tak $g$ je surjekcia.
* Ak $g\circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia.
A našli sme aj kontrapríklad ukazujúci, že opačná implikácia vo všeobecnosti neplatí.
Potom sme sa pozreli na "krátenie" injekciou resp. injekciou, to sú úlohy 3.6 a 3.7: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1360
Binárne operácie a grupy
Rátali sme úlohy z 02binop.pdf
Zopakovali sme definíciu grupy a komutatívnej grupy.
Potom sme sa pozreli na $\mathbb R$ s operáciou $a*b=a+b-1$ a na $\mathbb R\setminus\{-1\}$ s operáciou $a*b=ab+a+b$. To sú úlohy 2.1h a 2.3.
Trochu sme sa pri tom rozprávali o tom, ktoré vlastnosti sa dedia na podmnožiny. (T.j. keď sme asociatívnosť a komutatívnosť ukázali pre celé $\mathbb R$, tak to platí aj po zúžení na $\mathbb R\setminus\{-1\}$. Ale treba byť opatrnejší, ak sa pýtame, či je to binárna operácia a tiež či má neutrálny a inverzný prvok.)
Niečo k tejto grupe je aj tu: viewtopic.php?t=495
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2021/22
3. týždeň (8.10.):
Pridám sem aj takúto linku týkajúcu sa PU2/4: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=727
Úloha 1.2.9(2) - komutatívna grupa na trojprvkovej množine
Binárne operácie a grupy Rátali sme úlohy z 02binop.pdf
Úloha 1.2.: Ľubovoľné uzátvorkovanie 4 prvkov dá pre asociatívnu operáciu to isté. (Bez dôkazu sme spomenuli, že to platí aj pre ľubovoľný počet.) Pre zaujímavosť spomeniem, že počet všetkých možných uzátvorkovaní $n$-prvkov je $n$-té Catalanove číslo.
Ukázali sme si, že v grupe platia zákony o krátení - úloha 2.5. (Môžete sa zamyslieť nad tým, čo to hovorí o tabuľke grupovej operácie - túto vec som na cviku zabudol spomenúť.)
Úloha 2.7: Videli sme, že v grupe je zobrazenie $f_a\colon G\to G$, $f_a(x)=a*x$ bijekcia. (Dokázali sme to dvoma spôsobmi: Najprv sme skontrolovali injektívnosť a surjektívnosť. Potom sme overili, že $f_{a^{-1}}$ je k nemu inverzné.)
Pri tom sme sa krátko rozprávali aj o tom, že pre konečnú množinu platí $M$, platí, že ak $f\colon M\to M$ je injektívne, tak je aj bijektívne. (A to isté platí pre surjektívne zobrazenia.)
Podgrupy. Rátali sme úlohy z 03podgrp.pdf
Zopakovali sme definíciu a aj kritérium podgrupy - pričom sme spomenuli bez dôkazu, že pre konečné podgrupy stačí overiť uzavretosť na binárnu operáciu (úloha 1.4.6(4) v LAG1).
Úloha 1.4: Nájsť všetky podgrupy v $\mathbb Z_4$ a v $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$.
Teda tieto grupy nie sú izomorfné - majú totiž rôzny počet dvojprvkových podgrúp. Pojem izomorfizmu, síce na prednáške ešte len bude - ale asi je aspoň zhruba jasné, čo to znamená, že dve grupy sú "v podstate rovnaké". Niečo k tomu je napísané aj tu: viewtopic.php?t=495
Úloha takéhoto typu pre $\mathbb Z_{12}$ je vyriešená aj na fóre: viewtopic.php?t=770
Pritom sme napríklad videli, že ak $x$ patrí do 2-prvkovej podgrupy, tak nevyhnutne musí spĺňať $x^2=e$.
Spomenuli sme to, že počet prvkov podgrupy delí počet prvkov celej grupy - Lagrangeova veta. (Aspoň pre komutatívne grupy budeme vidieť dôkaz Lagrangeovej vety na tomto predmete.)
Pridám sem aj takúto linku týkajúcu sa PU2/4: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=727
Úloha 1.2.9(2) - komutatívna grupa na trojprvkovej množine
Binárne operácie a grupy Rátali sme úlohy z 02binop.pdf
Úloha 1.2.: Ľubovoľné uzátvorkovanie 4 prvkov dá pre asociatívnu operáciu to isté. (Bez dôkazu sme spomenuli, že to platí aj pre ľubovoľný počet.) Pre zaujímavosť spomeniem, že počet všetkých možných uzátvorkovaní $n$-prvkov je $n$-té Catalanove číslo.
Ukázali sme si, že v grupe platia zákony o krátení - úloha 2.5. (Môžete sa zamyslieť nad tým, čo to hovorí o tabuľke grupovej operácie - túto vec som na cviku zabudol spomenúť.)
Úloha 2.7: Videli sme, že v grupe je zobrazenie $f_a\colon G\to G$, $f_a(x)=a*x$ bijekcia. (Dokázali sme to dvoma spôsobmi: Najprv sme skontrolovali injektívnosť a surjektívnosť. Potom sme overili, že $f_{a^{-1}}$ je k nemu inverzné.)
Pri tom sme sa krátko rozprávali aj o tom, že pre konečnú množinu platí $M$, platí, že ak $f\colon M\to M$ je injektívne, tak je aj bijektívne. (A to isté platí pre surjektívne zobrazenia.)
Podgrupy. Rátali sme úlohy z 03podgrp.pdf
Zopakovali sme definíciu a aj kritérium podgrupy - pričom sme spomenuli bez dôkazu, že pre konečné podgrupy stačí overiť uzavretosť na binárnu operáciu (úloha 1.4.6(4) v LAG1).
Úloha 1.4: Nájsť všetky podgrupy v $\mathbb Z_4$ a v $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$.
Teda tieto grupy nie sú izomorfné - majú totiž rôzny počet dvojprvkových podgrúp. Pojem izomorfizmu, síce na prednáške ešte len bude - ale asi je aspoň zhruba jasné, čo to znamená, že dve grupy sú "v podstate rovnaké". Niečo k tomu je napísané aj tu: viewtopic.php?t=495
Úloha takéhoto typu pre $\mathbb Z_{12}$ je vyriešená aj na fóre: viewtopic.php?t=770
Pritom sme napríklad videli, že ak $x$ patrí do 2-prvkovej podgrupy, tak nevyhnutne musí spĺňať $x^2=e$.
Spomenuli sme to, že počet prvkov podgrupy delí počet prvkov celej grupy - Lagrangeova veta. (Aspoň pre komutatívne grupy budeme vidieť dôkaz Lagrangeovej vety na tomto predmete.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2021/22
4. týždeň (15.10.):
Pridám sem aj takúto linku týkajúcu sa PU3/bonus: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=726
Úloha 1.2.9(4) - "komplexné" násobenie dvojíc
Podgrupy a homomorfizmy.
Ukázali sme, že ak $H$ je konečná podmnožina $G$, pričom $H\ne\emptyset$ a $H$ je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu, tak už $H$ musí byť podgrupa. (Inak povedané, pre konečnú množinu $H$ môžeme v kritériu podgrupy vynechať uzavretosť na inverzný prvok.)
Pripomenul som definíciu priameho súčinu grúp a tiež niečo také, že ak $H_1$ je podgrupa $G_1$, $H_2$ je podgrupa $G_2$, tak $H_1\times H_2$ je podgrupa grupy $G_1\times G_2$.
Pozreli sme sa na takéto úlohy:
* Nájsť všetky podgrupy $\mathbb Z_3\times\mathbb Z_3$ a zdôvodniť $\mathbb Z_3\times\mathbb Z_3\ncong\mathbb Z_9$.
* Zdôvodniť, že $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_5\cong \mathbb Z_{10}$. (Tu už sme nerobili časť o nájdení všetkých podgrúp.)
* Na tabuľu som napísal aj podobnú úlohu o $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_4$. K tej sme sa nedostali
Riešili sme tieto úlohy tak, že sme využívali fakt, že počet prvkov podgrupy delí počet prvkov grupy. (Toto je Lagrangeova veta, je dôkaz uvidíme neskôr - zrejme by ste sa k nemu mohli dostať už budúci týždeň.)
Keďže sa pri tomto type úloh nejako prirodzene vyskytli, spomenul som pojmy cyklická grupa a generátor.
Ukázali sme, že pre podgrupy $H_{1,2}$ v grupe $G$ platí: $H_1\cup H_2$ je podgrupa $\Leftrightarrow$ $H_1\subseteq H_2$ alebo $H_2\subseteq H_1$.
Pridám sem aj takúto linku týkajúcu sa PU3/bonus: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=726
Úloha 1.2.9(4) - "komplexné" násobenie dvojíc
Podgrupy a homomorfizmy.
Ukázali sme, že ak $H$ je konečná podmnožina $G$, pričom $H\ne\emptyset$ a $H$ je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu, tak už $H$ musí byť podgrupa. (Inak povedané, pre konečnú množinu $H$ môžeme v kritériu podgrupy vynechať uzavretosť na inverzný prvok.)
Pripomenul som definíciu priameho súčinu grúp a tiež niečo také, že ak $H_1$ je podgrupa $G_1$, $H_2$ je podgrupa $G_2$, tak $H_1\times H_2$ je podgrupa grupy $G_1\times G_2$.
Pozreli sme sa na takéto úlohy:
* Nájsť všetky podgrupy $\mathbb Z_3\times\mathbb Z_3$ a zdôvodniť $\mathbb Z_3\times\mathbb Z_3\ncong\mathbb Z_9$.
* Zdôvodniť, že $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_5\cong \mathbb Z_{10}$. (Tu už sme nerobili časť o nájdení všetkých podgrúp.)
* Na tabuľu som napísal aj podobnú úlohu o $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_4$. K tej sme sa nedostali
Riešili sme tieto úlohy tak, že sme využívali fakt, že počet prvkov podgrupy delí počet prvkov grupy. (Toto je Lagrangeova veta, je dôkaz uvidíme neskôr - zrejme by ste sa k nemu mohli dostať už budúci týždeň.)
Keďže sa pri tomto type úloh nejako prirodzene vyskytli, spomenul som pojmy cyklická grupa a generátor.
Ukázali sme, že pre podgrupy $H_{1,2}$ v grupe $G$ platí: $H_1\cup H_2$ je podgrupa $\Leftrightarrow$ $H_1\subseteq H_2$ alebo $H_2\subseteq H_1$.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2021/22
5. týždeň (22.10.):
Relácie ekvivalencie.
Pozreli sme sa na niektoré relácie z 04faktor.pdf a overili, či sú to relácie ekvivalencie. (A tiež sme sa pozreli na to, ako vyzerajú triedy ekvivalencie a zodpovedajúci rozklad.)
Na začiatku sme spomenuli, že veľa relácií ekvivalencie, s ktorými sa stretneme, sa dá dostať ako špeciálne prípady takýchto relácií:
* $x\sim y$ $\Leftrightarrow$ $x-y\in H$, kde $H$ je nejaká podgrupa (komutatívnej) grupy $G$
* $x\sim y$ $\Leftrightarrow$ $f(x)=f(y)$, kde $f\colon X\to Y$ je nejaké surjektívne zobrazenie
Z úlohy 1.1 sme sa pozreli na častí a, b, c, d, f, h.
(T.j. relácie $M\times M$, rovnosť, $x-y\in\mathbb Z$ na množine $\mathbb R$, $a+d=b+c$ na množine $\mathbb Z\times\mathbb Z$, $|a-b|\le 1$ na $\mathbb R$. Jeden z príkladov boli podmnožiny $\mathbb N$ také, že symetrická diferencia $A\triangle B$ je konečná.)
Ukázali sme si, že ak $R_{1,2}$ sú relácie ekvivalencie na tej istej množine, tak ich prienik $R_1\cap R_2$ je tiež relácia ekvivalencie. Zjednotenie $R_1\cup R_2$ ale vo všeobecnosti nemusí byť relácia ekvivalencie.
Relácie ekvivalencie.
Pozreli sme sa na niektoré relácie z 04faktor.pdf a overili, či sú to relácie ekvivalencie. (A tiež sme sa pozreli na to, ako vyzerajú triedy ekvivalencie a zodpovedajúci rozklad.)
Na začiatku sme spomenuli, že veľa relácií ekvivalencie, s ktorými sa stretneme, sa dá dostať ako špeciálne prípady takýchto relácií:
* $x\sim y$ $\Leftrightarrow$ $x-y\in H$, kde $H$ je nejaká podgrupa (komutatívnej) grupy $G$
* $x\sim y$ $\Leftrightarrow$ $f(x)=f(y)$, kde $f\colon X\to Y$ je nejaké surjektívne zobrazenie
Z úlohy 1.1 sme sa pozreli na častí a, b, c, d, f, h.
(T.j. relácie $M\times M$, rovnosť, $x-y\in\mathbb Z$ na množine $\mathbb R$, $a+d=b+c$ na množine $\mathbb Z\times\mathbb Z$, $|a-b|\le 1$ na $\mathbb R$. Jeden z príkladov boli podmnožiny $\mathbb N$ také, že symetrická diferencia $A\triangle B$ je konečná.)
Spoiler:
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2021/22
6. týždeň (29.10.):
Faktorové grupy.
Pozreli sme sa na viaceré príklady z: http://msleziak.com/vyuka/2020/lag/faktorove.pdf (V tomto súbore nájdete viacero vyriešených úloh týkajúcich sa faktorových grúp.)
Vždy to bola úloha typu ukázať $G/H\cong G'$ pre nejaké komutatívne grupy $G$, $G'$ a podgrupu $H$ v $G$.
Snažil som sa vo všetkých prípadoch ukázať postup priamo z definície aj postup s využitím vety o izomorfizme. Tiež som sa na viacerých príkladoch snažil ukázať, že operácia vo faktorovej grupe je dobre definovaná (nezávisí od výberu reprezentantov).
Konkrétne sme videli:
* $\mathbb Z/4\mathbb Z\cong \mathbb Z_4$.
* Faktorová grupa $(\mathbb R^2,+)$ podľa $H=\{(t,2t); t\in\mathbb R\}$ je izomorfná s $(\mathbb R,+)$.
* Izomorfizmus medzi faktorovou grupou $(\mathbb C\setminus\{0\},\cdot)$ podľa podgrupy $S=\{x\in\mathbb C; |x|=1\}$ (teda podľa jednotkovej kružnice) a grupou $(\mathbb R^+,\cdot)$. (Ak niektorí z vás neviete toho veľa o komplexných číslach, môžete si rozmyslieť light verziu tohto príkladu: $\mathbb R/\{\pm1\}\cong\mathbb R^+$.)
Faktorové grupy.
Pozreli sme sa na viaceré príklady z: http://msleziak.com/vyuka/2020/lag/faktorove.pdf (V tomto súbore nájdete viacero vyriešených úloh týkajúcich sa faktorových grúp.)
Vždy to bola úloha typu ukázať $G/H\cong G'$ pre nejaké komutatívne grupy $G$, $G'$ a podgrupu $H$ v $G$.
Snažil som sa vo všetkých prípadoch ukázať postup priamo z definície aj postup s využitím vety o izomorfizme. Tiež som sa na viacerých príkladoch snažil ukázať, že operácia vo faktorovej grupe je dobre definovaná (nezávisí od výberu reprezentantov).
Konkrétne sme videli:
* $\mathbb Z/4\mathbb Z\cong \mathbb Z_4$.
* Faktorová grupa $(\mathbb R^2,+)$ podľa $H=\{(t,2t); t\in\mathbb R\}$ je izomorfná s $(\mathbb R,+)$.
* Izomorfizmus medzi faktorovou grupou $(\mathbb C\setminus\{0\},\cdot)$ podľa podgrupy $S=\{x\in\mathbb C; |x|=1\}$ (teda podľa jednotkovej kružnice) a grupou $(\mathbb R^+,\cdot)$. (Ak niektorí z vás neviete toho veľa o komplexných číslach, môžete si rozmyslieť light verziu tohto príkladu: $\mathbb R/\{\pm1\}\cong\mathbb R^+$.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2021/22
7. týždeň (5.11.):
Euklidov algoritmus.
Ukázali sme si na niekoľkých príkladoch rozšírený Euklidov algoritmus. Ukázali sme si zápis do tabuľky a spomenuli sme aj to, že sa pomocou neho dajú hľadať inverzné prvky v poli $\mathbb Z_p$, kde $p$ je prvočíslo.
Euklidov algoritmus ste videli aj na konzultáciách k prednáške. Niečo o ňom sa dá nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=1346 a viewtopic.php?t=298
Veľkosti tried, Lagrangeova veta
Ukázali sme, že pre ľubovoľnú triedy rozkladu $G$ podľa $H$ máme bijekciu medzi $[x]$ a $|H|$.
Z toho sme vedeli odvodiť Lagrangeovu vetu, t.j. fakt, že $|G/H|\cdot|H|=|G|$.
Polia.
Overovali sme, či nejaké množiny reálnych čísel s obvyklým sčitovaním a násobením tvoria pole. Keďže sme v podmnožinách $\mathbb R$ a berieme obvyklé $+$ a $\cdot$, tak viaceré vlastnosti sme mali zadarmo. (Bolo sa treba zamerať najmä na to, či ide o binárnu operáciu a či inverzné prvky padnú do danej množiny.) Konkrétne sme zistili, že (s obvyklým sčitovaním a násobením):
Pripomeniem, že v týchto úlohách sa ako pomerne užitočné ukázalo to, že sme vedeli dokázať, že pre ľubovoľné $a,b,c,d\in\mathbb Q$ platí:
\begin{gather*}
a+b\sqrt2=0 \Leftrightarrow a=b=0\\
a+b\sqrt2=c+d\sqrt 2 \Leftrightarrow a=c \land b=d
\end{gather*}
Podobne by sa dalo ukázať, že
$$a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6=0 \Leftrightarrow a=b=c=d=0.$$
Tu sa ukázalo užitočným všimnúť si, že $a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6=(a+b\sqrt2)+(c+d\sqrt2)\sqrt3=x+y\sqrt2$ pre vhodné $x,y\in F_1$. Toto by nám pomohlo aj pri overovaní, že $F_3$ je pole. (Túto úlohu sme nedoriešili iba naznačili ako by sa to robilo - uzavreli sme ju s tým, že ďalej by to šlo už dosť podobne ako v prípade poľa $F_1$.)
Na fóre sa dá nájsť niečo k prvej z týchto troch úloh:
viewtopic.php?t=84
viewtopic.php?t=505
viewtopic.php?t=521
Pridám tu ešte linku na niečo o poli $\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$: viewtopic.php?t=349 (Aj keď toto je príklad, ktorý sme nerobili.)
Ešte spomeniem, že na Algebra 2 sa budete učiť niečo o rozšíreniach polí - s vecami, ktoré sa naučíte tam, budú také príklady ako sme vyskúšali riešiť tu ľahké.
Euklidov algoritmus.
Ukázali sme si na niekoľkých príkladoch rozšírený Euklidov algoritmus. Ukázali sme si zápis do tabuľky a spomenuli sme aj to, že sa pomocou neho dajú hľadať inverzné prvky v poli $\mathbb Z_p$, kde $p$ je prvočíslo.
Euklidov algoritmus ste videli aj na konzultáciách k prednáške. Niečo o ňom sa dá nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=1346 a viewtopic.php?t=298
Veľkosti tried, Lagrangeova veta
Ukázali sme, že pre ľubovoľnú triedy rozkladu $G$ podľa $H$ máme bijekciu medzi $[x]$ a $|H|$.
Z toho sme vedeli odvodiť Lagrangeovu vetu, t.j. fakt, že $|G/H|\cdot|H|=|G|$.
Polia.
Overovali sme, či nejaké množiny reálnych čísel s obvyklým sčitovaním a násobením tvoria pole. Keďže sme v podmnožinách $\mathbb R$ a berieme obvyklé $+$ a $\cdot$, tak viaceré vlastnosti sme mali zadarmo. (Bolo sa treba zamerať najmä na to, či ide o binárnu operáciu a či inverzné prvky padnú do danej množiny.) Konkrétne sme zistili, že (s obvyklým sčitovaním a násobením):
- $F_1=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$ je pole;
- $F_2=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3; a,b,c\in\mathbb Q\}$ nie je pole;
- $F_3=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6; a,b,c,d\in\mathbb Q\}$ je pole.
Pripomeniem, že v týchto úlohách sa ako pomerne užitočné ukázalo to, že sme vedeli dokázať, že pre ľubovoľné $a,b,c,d\in\mathbb Q$ platí:
\begin{gather*}
a+b\sqrt2=0 \Leftrightarrow a=b=0\\
a+b\sqrt2=c+d\sqrt 2 \Leftrightarrow a=c \land b=d
\end{gather*}
Podobne by sa dalo ukázať, že
$$a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6=0 \Leftrightarrow a=b=c=d=0.$$
Tu sa ukázalo užitočným všimnúť si, že $a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6=(a+b\sqrt2)+(c+d\sqrt2)\sqrt3=x+y\sqrt2$ pre vhodné $x,y\in F_1$. Toto by nám pomohlo aj pri overovaní, že $F_3$ je pole. (Túto úlohu sme nedoriešili iba naznačili ako by sa to robilo - uzavreli sme ju s tým, že ďalej by to šlo už dosť podobne ako v prípade poľa $F_1$.)
Na fóre sa dá nájsť niečo k prvej z týchto troch úloh:
viewtopic.php?t=84
viewtopic.php?t=505
viewtopic.php?t=521
Pridám tu ešte linku na niečo o poli $\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$: viewtopic.php?t=349 (Aj keď toto je príklad, ktorý sme nerobili.)
Ešte spomeniem, že na Algebra 2 sa budete učiť niečo o rozšíreniach polí - s vecami, ktoré sa naučíte tam, budú také príklady ako sme vyskúšali riešiť tu ľahké.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2021/22
8. týždeň (12.11.):
Podpriestory.
Riešili sme niektoré úlohy z 06vpry.pdf.
Pre niektoré podmnožiny $\mathbb R^3$ sme overili, či ide o podpriestor - časti a,b,c,d,f z úlohy 2.1.
Tiež sme skúsili niektoré podpriestory priestoru všetkých reálnych funkcií - časti a,b,c,d z úlohy 2.2.
Pri viacerých príkladoch sme sa snažili aj kresliť obrázky, aby sme mali aspoň v $\mathbb R^3$ a $\mathbb R^2$ nejakú geometrickú intuíciu o tom, ako vyzerajú podpriestory.
Pri príkladoch v $\mathbb R^3$ sme spomenuli, že sme videli viacero podpriestorov v tomto priestore: nulový podpriestor, priamka (prechádzajúca cez nulu), rovina (prechádzajúca cez nulu), celý priestor. Z vecí, čo budú na prednáške čoskoro nasledovať, bude vidieť to že v $\mathbb R^3$ už iné podpriestory nie sú.
Sústavy.
Vlastne sme len prešli to, ako by sme po úprave matice sústavy vyčítali z výslednej sústavy riešenia.
Takisto sme porozprávali niečo o skúške správnosti, zhruba to isté čo je napísané aj tu: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=522
Podpriestory.
Riešili sme niektoré úlohy z 06vpry.pdf.
Pre niektoré podmnožiny $\mathbb R^3$ sme overili, či ide o podpriestor - časti a,b,c,d,f z úlohy 2.1.
Tiež sme skúsili niektoré podpriestory priestoru všetkých reálnych funkcií - časti a,b,c,d z úlohy 2.2.
Pri viacerých príkladoch sme sa snažili aj kresliť obrázky, aby sme mali aspoň v $\mathbb R^3$ a $\mathbb R^2$ nejakú geometrickú intuíciu o tom, ako vyzerajú podpriestory.
Pri príkladoch v $\mathbb R^3$ sme spomenuli, že sme videli viacero podpriestorov v tomto priestore: nulový podpriestor, priamka (prechádzajúca cez nulu), rovina (prechádzajúca cez nulu), celý priestor. Z vecí, čo budú na prednáške čoskoro nasledovať, bude vidieť to že v $\mathbb R^3$ už iné podpriestory nie sú.
Sústavy.
Vlastne sme len prešli to, ako by sme po úprave matice sústavy vyčítali z výslednej sústavy riešenia.
Takisto sme porozprávali niečo o skúške správnosti, zhruba to isté čo je napísané aj tu: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=522
-
Martin Sleziak
- Posts: 5517
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2021/22
9. týždeň (19.11.)
Polynómy.
Pozreli sme sa na to, že polynóm sa (všade) rovná nule iba vtedy, keď sú všetky koeficienty nulové. (A tiež na nejaké veci, ktoré s tým súvisia. Napríklad to, že počet koreňov je nanajvýš taký ako stupeň polynómu. A tiež fakt, že $x_0$ je koreň polynómy $p(x)$ p.v.k. $p(x)=(x-x_0)q(x)$ pre nejaký polynóm $q(x)$.)
Niečo viac o tom sa dá nájsť tu: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1349
(Na tomto mieste v princípe úplne stačí, ak tomuto faktu uveríte. Ale chcel som aspoň trochu ukázať prečo to platí. Navyše sme pritom mali možnosť spomenúť nejaké veci o koreňoch polynómov. Budúci semester budeme často potrebovať nájsť korene nejakého polynómu - preto je možno trochu užitočné spomenúť už teraz nejaké veci o polynómoch a ich koreňoch.)
Sústavy.
Prešli sme ešte nejaké úlohy z 07sustavy.pdf.
Ukázali sme riešenie sústavy, kde vyšli v množine dve riešení dva parametre. (Posledná sústava z úlohy 4.)
A ešte raz sme zopakovali veci týkajúce sa toho, ako sa dá urobiť skúška správnosti: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=522
Skúsili sme jednu úlohu takého typu, kde bolo treba nájsť množinu riešení sústavy v závislosti od parametra. (Konkrétne úlohu 8.)
Riešenie príkladu, ktorý je aspoň do istej miery podobný: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=579
Polynómy.
Pozreli sme sa na to, že polynóm sa (všade) rovná nule iba vtedy, keď sú všetky koeficienty nulové. (A tiež na nejaké veci, ktoré s tým súvisia. Napríklad to, že počet koreňov je nanajvýš taký ako stupeň polynómu. A tiež fakt, že $x_0$ je koreň polynómy $p(x)$ p.v.k. $p(x)=(x-x_0)q(x)$ pre nejaký polynóm $q(x)$.)
Niečo viac o tom sa dá nájsť tu: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1349
(Na tomto mieste v princípe úplne stačí, ak tomuto faktu uveríte. Ale chcel som aspoň trochu ukázať prečo to platí. Navyše sme pritom mali možnosť spomenúť nejaké veci o koreňoch polynómov. Budúci semester budeme často potrebovať nájsť korene nejakého polynómu - preto je možno trochu užitočné spomenúť už teraz nejaké veci o polynómoch a ich koreňoch.)
Sústavy.
Prešli sme ešte nejaké úlohy z 07sustavy.pdf.
Ukázali sme riešenie sústavy, kde vyšli v množine dve riešení dva parametre. (Posledná sústava z úlohy 4.)
A ešte raz sme zopakovali veci týkajúce sa toho, ako sa dá urobiť skúška správnosti: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=522
Skúsili sme jednu úlohu takého typu, kde bolo treba nájsť množinu riešení sústavy v závislosti od parametra. (Konkrétne úlohu 8.)
Riešenie príkladu, ktorý je aspoň do istej miery podobný: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=579