msleziak.com

Pridám sem na začiatok aj linku na stránku k cvičeniam: https://msleziak.com/vyuka/2021/alg2/cvika/

1. týždeň (15.2.)
Prešli sme niektoré príklady z 00grupy.pdf.
Pripomenuli sme definíciu grupy a prešli prvé dve úlohy. V druhej úlohe sme vlastne videli ako sa dá dostať priamy súčin dvoch grúp. Potom sme sa ešte vrátili k prvej úlohe a videli sme, že to je špeciálny prípad.

Pozreli sme sa úlohu 7 - t.j. dopĺňanie tabuľky grupy "sudoku" štýlom. Pritom sme pripomenuli veci, ktoré sme tam používali - zákony o krátení a riešiteľnosť rovníc v grupe.

Pozreli sme sa na grupy matíc z úloh 4 a 5 - sú to vlastne špeciálna lineárna grupa a permutatčné matice.

2. týždeň (22.2.)
Pozreli sme sa na niektoré príklady z 01podgrupy.pdf.
Pripomenuli sme ekvivalentné podmienky k tomu, že $H$ je podgrupa $G$ a v úlohách 3a) až 3e) sme ich overili na konkrétnych príkladoch.
Súčasne som tieto úlohy využil na to, že sme spomenuli nejaké iné veci:

• Časť b by sa dala zovšeobecniť tak, že ak $H_1$ je podgrupa $G_1$, $H_2$ je podgrupa $G_2$, tak $H_1\times H_2$ je podgrupa $G_1\times G_2$.
• Trochu sme počítali s permutáciami.
• Pripomenuli sme niečo o počítaní s komplexnými číslami.
• Videli sme, že matice tvaru $\begin{pmatrix}a & b\\-b&a\end{pmatrix}$ nejako súvisia s komplexnými číslami - sľúbil som, že niečo takéto ešte spomeniem a dá sa niečo o tom prečítať aj tu: viewtopic.php?t=571
• Výpočet inverznej matice k matici $2\times2$ (to je poznámka 6.5.4 v texte k algebre 1; tento vzorec je spomenutý aj v topicu o komplexných číslach a maticiach, na ktorý som dal linku vyššie.).

Pozreli sme sa na úlohu 5 (príklad konečnej podgrupy v nekonečnej grupe), úlohu 7 (podgrupa $(V,+)$ nemusí byť podpriestorom).
Na konci sme ešte stihli úlohu 4: Ak $A,B,C$ sú podgrupy $G$ a $C\subseteq A\cup B$, tak $C\subseteq A$ alebo $C\subseteq B$. (S týmto súvisí fakt, že zjednotenie dvoch podgrúp je opäť podgrupa iba v prípade, že jedna z nich je podmnožinou druhej. Podobná vec platí aj pre podpriestory.)

3. týždeň (1.3.)
Homomorfizmy a izomorfizmy.
Pozreli sme sa na niektoré príklady z 02homizom.pdf.
Pripomenuli sme definíciu homomorfizmu a izomorfizmu a tiež to, že existencia izomorfizmu vlastne znamená, že dve grupy sú "v podstate rovnaké".
Ukázali sme, že homomorfizmus je injektívny p.v.k. $\operatorname{Ker} f=\{e\}$.
Pri úlohe 2 sme si uvedomili, že izomorfizmus sa dá použiť na dôkaz, že niečo je grupa. A znovu sme pripomenuli maticové vyjadrenie komplexných čísel.
Prešli sme viacero úloh, kde bolo treba rozhodnúť, či nejaké dve grupy sú izomorfné resp. či jedna z nich je homomorfným obrazom druhej.
Konkrétne to boli tieto:$\newcommand{\sm}{\setminus}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
$

• $G=(\Z_6,\oplus)$, $H=(S_3,\circ)$
• $G=(\R\sm\{0\},\cdot)\times(\R\sm\{0\},\cdot)$, $H=(\C\sm\{0\},\cdot)$
• $G=(\R\sm\{0\},\cdot)$, $H=(\Q\sm\{0\},\cdot)$
• $G=(\R\sm\{0\},\cdot)$, $H=(\C\sm\{0\},\cdot)$
• $G=(\Q,+)$, $H=(\Q^+,\cdot)$
• $G=(\Q,+)$, $H=(\Q\sm\{0\},\cdot)$

Pritom sme videli, že nám môže pomôcť, ak nájdeme nejakú vlastnosť, ktorú jedna z daných grúp má a druhá nemá. (A súčasne je to vlastnosť, ktorá sa prenáša izomorfizmom resp. surjektívnym homomorfizmom.)
Konkrétne nám pomohli napríklad komutatívnosť, kardinalita, rády prvkov, riešiteľnosť takejto rovnice: $(\forall b\in G)(\exists a\in G) a*a=b$ (t.j. niečo ako "grupová odmocnina").
Na konci sme sa ešte stihli pozrieť na úlohu 7, t.j. na otázku, kedy je $x\mapsto x^{-1}$ homomorfizmus resp. izomorfizmus. Dostali sme sa takto k opačnej grupe: viewtopic.php?t=1727 (T.j. "rovnaká" operácia len s "vymeneným poradím".)

Pri niektorých úlohách sme využívali kardinalitu, špeciálne to že $\aleph_0<2^{\aleph_0}$. Padla otázka, či platí $\aleph_1=2^{\aleph_0}$. Odpoveď je, že takéto tvrdenie sa nedá ani dokázať ani vyvrátiť. Niečo viac o tomto probléme (ktorému sa zvykne hovoriť hypotéza kontinua) vrátane nejakých odkazov na literatúru som napísal tu: viewtopic.php?t=1223

4. týždeň (8.3.)
Pozreli sme sa na niektoré príklady z 03permrad.pdf.
Rád prvku.
Úloha 4: Rovnosť $a^k=e$ platí p.v.k. $k$ je násobok rádu.
Úloha 1: Čo sa stane s rádom prvku pri zobrazení izomorfizmom, homomorfizmom.
Úloha 3: Tieto dvojice prvkov majú rovnaký rád: $ab$, $ba$; $abc$, $bca$; $b$, $aba^{-1}$.
Úloha 2: $f_a(x)=axa^{-1}$ je izomorfizmus $G\to G$. (Takéto izomorfizmy sa volajú vnútorné automorfizmy.)
Permutácie. Pozreli sme sa na to ako nájsť rozklad permutácie na disjunktné cykly, rád permutácie, paritu permutácie. (Niektoré z vecí, ktoré sme používali, dokážeme až na najbližšej prednáške.)
Pripomenuli sme si, ako sa skladajú permutácie.
Na konci sme si vyskúšali, ako môžeme nejaký cyklus napísať ako zloženie dvojcyklov (transpozícií).

5. týždeň (15.3.)
Prešli sme nejaké príklady z https://msleziak.com/vyuka/2021/alg2/cv ... ozklad.pdf
Relácie ekvivalencie.
Zopakovali sme definíciu relácie ekvivalencie a tiež to, ako súvisia relácie ekvivalencie s rozkladmi.
Pozreli sme sa na príklady relácií ekvivalencie - konkrétne 3g, 3k, 3j.
* Relácia na $\mathbb R$ určená ako $(x,y)\in\mathbb R$ $\Leftrightarrow$ $x^2=y^2$.
* Relácia na $\mathbb R$ určená ako $(x,y)\in\mathbb R$ $\Leftrightarrow$ $x-y\in\mathbb Q$.
* Relácia na $\mathbb Z$ určená ako $(x,y)\in\mathbb R$ $\Leftrightarrow$ $3\mid x+2y$.
Potom sme si ukázali, že všeobecne pre ľubovoľnú grupu $G$ a podgrupu $H$ nám podmienka $ab^{-1}\in H$ dá reláciu ekvivalencie. Tiež sme si všimli, že pre dva z príkladov, ktoré sme robili, hneď vidno, že ich vieme dostať pre vhodnú voľbu $G$ a $H$. (Môžete sa zamyslieť nad tým, či sa takto dá dostať aj ten prvý príklad.) Okrem toho sme si povedali, ako súvisí táto relácia s rovnosťou (pravých) tried $Ha=Hb$.
Rozklad grupy podľa podgrupy. Na niekoľkých konkrétnych príkladoch sme sa pozreli na to ako vyzerá rozklad grupy podľa podgrupy: $G=(\mathbb Z_6,\oplus)$, $H=2\mathbb Z_3$; $G=(\mathbb Z,+)$, $H=3\mathbb Z$.

Cvičenie bolo online. Cez teams sa dá dostať k nahrávke a aj k tomu, čo bolo napísane na Whiteboarde. Pridám aj linku na SharePoint.

6. týždeň (22.3.)
Dohodli sme sa, že na budúci týždeň je písomka: viewtopic.php?t=1787

Dnes to boli zväčša príklady z https://msleziak.com/vyuka/2021/alg2/cvika/05normal.pdf
Lagrangeova veta.
Ukázali sme, že každá štvorprvková grupa je izomorfná so $\mathbb Z_4$ alebo s $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$. (Toto je dokázané aj v texte k prednáške.)
Rozklad grupy, podľa podgrupy. Ešte raz sme sa pozreli na rozklad $(\mathbb R^2,+)$ podľa $H=\{(t,t); t\in\mathbb R\}$. (Ten sme videli už aj na prednáške.)
Konkrétne sme si rozmysleli to, že ho môžeme zapísať ako $G/H=\{(x,0)+H; x\in\mathbb R\}$. A že pri tomto zápise sme vlastne dostali zoznam, v ktorom je každá trieda zapísaná práve raz.
Normálne podgrupy.
Pre grupu $S_3$ sme našli všetky podgrupy. Našli sme jednu trojprvkovú podgrupu a tri dvojprvkové podgrupy.
Potom sme skontrolovali, že trojprvková podgrupa je normálna. Ale dvojprvkové podgrupy nie sú normálne. (Tento príklad je urobený aj v texte - na konci časti o normálnych podgrupách.)

7. týždeň (29.3.): Písali sme písomku.

8. týždeň (5.4)

Normálne podgrupy. Ak $[G:H]=2$, tak $H$ je normálna podgrupa. Navyše, pre všetky $x\in G$ platí $x^2\in H$. (Ako dôsledok dostávame, že $A_n$ je normálna podgrupa $S_n$. Ako nepovinnú d.ú. som nechal rozmyslieť si, či viete nájsť homomorfizmus z $S_n$ do $\mathbb Z_2$, ktorého jadro je práve $A_n$. To je iná možnosť, ako zdôvodniť, že ide o faktorovú grupu.)

Faktorové podgrupy.
Vlastne sme videli viaceré príklady, ktoré sú vyriešené aj tu: https://msleziak.com/vyuka/2020/lag/faktorove.pdf
Vždy sme sa snažili ukázať, že $G/H\cong G'$; pričom sme sa to snažili urobiť aj priamo z definície faktorovej grupy a aj pomocou vety o izomorfizme.
Takéto niečo sme spravili pre:
$G=(\mathbb Z,+)$, $H=n\mathbb Z=\{nk; k\in\mathbb Z\}$
$G=(\mathbb R\times \mathbb R,+)$, $H=\{(x,y); 2x=3y\}$
$G=(\mathbb C\setminus\{0\},\cdot)$, $H=S=\{x\in\mathbb C; |x|=1\}$
Teda sme vlastne prešli prvé tri časti z úlohy 4 v 06faktor.pdf.

9. týždeň (12.4)

Pozreli sme sa na niektoré úlohy z 07okruhy.pdf.

• Úloha 3: $\{(r,r); r\in R\}$ je podokruh v $R\times R$ a je izomorfný s $R$. (Pritom sme opäť pripomenuli, čo vlastne znamená izomorfizmus.)
• Úloha 4: Sú zobrazenia $A\mapsto \det(A)$, $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\mapsto a$, $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\mapsto a+d$ okruhové homomorfizmy?
• Úloha 9: Binomická veta platí v komutatívnych okruhoch s jednotkou.
• Úloha 8: Ak máme okruh taký, že $a^2=a$ pre ľubovoľné $a$, tak tento okruh musí byť komutatívny. Sú to tzv. boolovské okruhy
• Úloha 7: $(\mathcal P(X),\triangle,\cap)$ ako príklad boolovského okruhu. (Z tejto úlohy sme stihla viac-menej iba začiatok.)

19.4. bolo dekanské voľno.

11. týždeň (26.4)
V súvislosti s d.ú. sme sa pozreli na to, že podokruh podľa nemá delitele nuly.
Ideály a faktorové okruhy.
Pozreli sme sa na niektoré úlohy z 07okruhy.pdf.
Úloha 11 - ak mám ideály vnorené do seba, tak $\bigcup\limits_{k=0}^\infty I_k$ je tiež ideál
Úloha 12 - hlavný ideál $(a)=\{ax; x\in R\}$
Ukázali sme si, že $\mathbb Z_{12}/(4)\cong\mathbb Z_3$. (T.j. podobná problém ako úloha 13, akurát sme si zobrali menší okruh; takže sme vedeii jednotlivé triedy aj vypísať.)
Úloha 14 - ideály $I_1+I_2$ a $I_1\cdot I_2$
Úloha 10 - $M_p=\{f\in F^A; f(p)=0\}$ je maximálny ideál v $F^A$ viewtopic.php?t=444

12. týždeň (3.5)
Polynómy
Ukázali sme si vetu o racionálnych koreňoch polynómu s celočíselnými koeficientami. (úloha 5).
Počítali sme príklady z 08polyn.pdf.
Povedali sme si, ako funguje Hornerova schéma a že pomocou nej vieme zistiť či $c$ je koreň ale vieme súčasne vydeliť polynómom tvaru $x-c$.
Nájdenie racionálnych koreňov - úloha 6d. Ukázali sme si, že v tomto prípade netreba skúšať záporné čísla. Povedali sme si, že ak v priebehu výpočtu dostaneme zlomky, tak už nemusíme počítať ďalej - určite to nie je koreň. A tiež sme videli to, že keď sme našli nejaký koreň, tak už sme mohli pracovať s novým polynómom - a možno sme dostali menej kandidátov na korene.
Euklidov algoritmus. Ukázali sme si ho najprv pre $\mathbb Z$. Povedali sme si, ako súvisí s hľadaním inverzného prvku v $\mathbb Z_p$. A ukázali sme si zápis do tabuľky: viewtopic.php?t=1346
Prešli sme podobný príklad pre polynómy - konkrétne úlohu 7b. (Tu sme zbadali, že $1$ je koreň a $x-1$ sa dá vyňať z oboch polynómov - to nám zjednodušilo výpočty.)
Aj tu sme si spomenuli, že ak jeden z polynómov je ireducibilný, tak to súvisí s hľadaním inverzov v poli $F[x]/(p(x))$; takéto niečo budeme vidieť na nasledujúcej prednáške.
Ďalšie veci o koreňoch. Ak má reálny polynóm nejaký komplexný koreň, tak aj komplexne združené číslo je koreňom. Pomocou toho sme vedeli vyriešiť úlohu 6.
Spomenuli sme základnú vetu algebry - každý nekonštantný polynóm nad $\mathbb C$ má koreň. Teda ireducibilné polynómy v $\mathbb C[x]$ majú stupeň 1. Vieme z toho dostať, že ireducibilné polynómy v $\mathbb R[x]$ majú stupeň najviac dva. (Ale ako sme už videli na prednáške, nad $\mathbb Q[x]$ môžeme mať ireducibilné polynómy vyšších stupňov.