1. týždeň (18.2.)
Na
stránke k cvičeniam je prvá úloha na odovzdávanie:
https://msleziak.com/vyuka/2024/lag2/ulohy01.pdf
Pripomeniem, že budúci utorok sa budú dať prezentovať PÚ. (V stredu namiesto cvika bude prednáška.)
Keďže pred cvikom bola iba jedna prednáška (dnešná), spomenuli sme niektoré veci, ktoré na prednáške ešte len budú.
Konkrétne sme spomenuli:
* $\det(A)=\det(A^T)$
* Matica je regulárna p.v.k. $\det(A)\ne0$.
* Ako menia hodnotu determinantu elementárne riadkové (stĺpcové) operácie.
* Determinant hornej trojuholníkovej matice je súčin prvkov na diagonále.
* Geometrický význam (plocha, objem; resp. koľkokrát zväčšuje zodpovedajúce lineárne zobrazenie plochu či objem).
* Determinant súčinu matíc je súčin determinantov: $\det(AB)=\det(A)\det(B)$.
Determinanty
Počítali sme najmä príklady z
11deter.pdf. (Na stránke k cvičeniam je aj súbor obsahujúci prehľad základných faktov o determinantoch.)
Pripomenuli sme definíciu determinantu (t.j. jeho vyjadrenie ako súčet cez permutácie) a tiež sme si ukázali ako z tejto definície dostaneme vzorec pre determinant matice $2\times2$ a pre determinant matice $3\times3$, t.j.
Sarrusovo pravidlo.
Pre matice väčších rozmerov sa dajú použiť elementárne riadkové (stĺpcové) operácie alebo Laplaceov rozvoj; prípadne kombináciou týchto dvoch metód.
Vyskúšali sme si výpočet jedného determinantu z úlohy 1 v 11deter.pdf pomocou ERO. (Na budúcom cvičení určite vyskúšame niečo, kde sa bude dať použiť Laplaceov rozvoj.)
Úloha 6 z 11deter.pdf: Vypočítali sme determinant matice obsahujúcej parameter. Povedali sme si, že na základe toho vieme pre niektoré hodnoty parametra povedať, že matica má plnú hodnosť.)
použitie determinantu v súvislosti s nájdením hodnosti matice v závislosti od parametra. Pripomeniem, že viacero príkladov na hodnosť s parametrom je vypočítaných na fóre:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190
Úloha 11 z 11deter.pdf: Pomocou súčinu vhodných matíc sme odvodili
Fibonacciho identitu $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$.
Matice takéhoto špeciálneho tvaru nejako súvisia aj s komplexnými číslami:
viewtopic.php?t=571
Matica $\begin{pmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$ má determinant rovný 1 - pričom sme si rozmysleli aj to, čo znamená tento fakt geometricky. (Plocha štvorca určeného danými vektormi. Rotácia nemení plochu.)
Úloha 4* z 11deter.pdf, t.j. iné odvodenie
Cramerovho pravidla. Dá sa nájsť aj tu:
viewtopic.php?t=1497
Podobný princíp (že pri výpočtoch/dôkazoch týkajúcich sa determinantov môže byť užitočné, ak sa matica dá nejako prepísať ako súčin jednoduchších matíc) môže byť užitočný aj pri iných príkladoch či dôkazoch. Spomeniem determinant blokovej matice, ktorý časom budeme aj na nejaké veci používať, viac o ňom je tu:
viewtopic.php?t=918
$$
\det\begin{pmatrix}
A & B \\
0 & D
\end{pmatrix}=
\det\begin{pmatrix}
A & 0 \\
C & D
\end{pmatrix}=\det(A) \cdot \det(D)
$$
(Keď to budeme v druhej časti semestra potrebovať, tak to znovu pripomeniem - a snáď niekedy na cviku si nájdeme čas tento fakt aj dokázať.)