Výberové cviko (1-MAT-192) LS 2021/22

[Martin Sleziak]

Sem budem písať, čo sme stihli na jednotlivých cvičeniach. (Môže byť užitočné, ak sa k tomu chcete vrátiť alebo ak ste chýbali na cviku.)

Tento topic by som chcel používať iba na tento účel. Takže ak budete mať otázky k niečomu, čo bolo na cviku, tak skúste v inom topicu. (Buď založiť nový alebo v nejakom už existujúcom, ak nájdete taký, kde sa vaša otázka hodí.)

Určite to nebude tak, že by som vždy robil na cvičeniach úplne presne rovnaké príklady, ako po minulé roky. Ak vás zaujíma, čo sa robilo v minulosti:
viewtopic.php?t=1645
viewtopic.php?t=1496 a viewtopic.php?t=1524
viewtopic.php?t=1402
viewtopic.php?t=1204
viewtopic.php?t=1027
viewtopic.php?t=840
viewtopic.php?t=593

[Martin Sleziak]

1. týždeň (18.2.)
Tak ako sme sa dohodli, dnes boli iba nepovinné konzultácie - nabudúce už naozaj začnú cvičenia.
Trochu sme sa rozprávali o výpočte inverznej matice pomocou adjungovanej matice.

Tiež sme sa rozprávali o tom, že až na znamienko je determinant plocha rovnobežníka resp. objem rovnobežnostena. A že sa to dá nejako zmysluplne rozšíriť na situáciu v $n$-rozmernom priestore.
Chvíľu sme strávili aj s tým, že prečo vlastne nám tam niekedy treba opačné znamienko, ak chceme, aby veci "fungovali tak ako majú". Pritom som spomenul to, že determinant je multilineárne a alternujúce zobrazenie. (Tieto dva pojmy sa vyskytujú aj v bonusovej úlohe v PÚ 2.)

Keď je reč o geometrickom význame determinantu, tak pridám linku na toto video: The determinant | Essence of linear algebra, chapter 6 - playlist, v ktorom sa dá nájsť, som spomínal aj inde: viewtopic.php?t=1476
Niečo ku geometrickému významu determinantu na fóre: viewtopic.php?t=555 a viewtopic.php?t=1621

[Martin Sleziak]

2. týždeň (25.2.)
Determinanty
Riešili sme úlohy z 11deter.pdf.

Ukázali sme si výpočet determinantu pre maticu $4\times4$. (Naozaj do konca sme to dorátali iba pomocou riadkových úprav. Ale snažil som sa aspoň v princípe ukázať, ako fungujú jednotlivé postupy a aj to, že ich môžeme kombinovať. T.j. vieme používať riadkové a stĺpcové úpravy. Videli sme, ako pre Laplaceovom rozvoji vychádzajú znamienka a determinanty podmatíc. A tiež to, že niekedy môžeme využiť aj multilinearitu - napríklad sa to môže hodiť pri maticiach, ktoré vyšli z Laplaceovho rozvoja.)

Príklad 5 - použitie determinantu v súvislosti s nájdením hodnosti matice v závislosti od parametra. Pripomeniem, že viacero príkladov na hodnosť s parametrom je vypočítaných na fóre:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190

Príklad 17 - výpočet determinantu $n\times n$ (rekurzívne). Tento príklad je vyriešený aj tu: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak ... iesdet.pdf

Polynóm $x^3+y^3+z^3-3xyz$ sme vedeli prepísať ako determinant a na základe toho rozložiť. Pridám nejaké linky:
* Factorize the polynomial $x^3+y^3+z^3-3xyz$ (Mathematics Stack Exchange)
* Desmond MacHale: My Favourite Polynomial, The Mathematical Gazette, Vol. 75, No. 472 (Jun., 1991), pp. 157-165. https://www.jstor.org/stable/3620243 https://doi.org/10.2307/3620243
* Niečo o poli $\mathbb Q(\sqrt[3]2)$: viewtopic.php?t=349

Cvičenie bolo hybridne - v Teams sa dá nájsť video. A tiež linka na Whiteboard - ktorý tam nájdete aj vo formáte SVG, PNG, PDF.
Tu je linka na SharePoint.

EDIT: Keďže už máte za sebou PU1 a PU2, tak pridám aj nejaké linky týkajúce sa príkladov odtiaľ:
* Why determinant of a 2 by 2 matrix is the area of a parallelogram? - túto linku som spomínal aj tu: viewtopic.php?t=555
* Matica $\begin{pmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$ nejako súvisí aj s komplexnými číslami: viewtopic.php?t=571
* Súčin horných trojuholníkových matíc: viewtopic.php?t=1006 Trochu to súvisí aj s otázkou, ako by vyzerala inverzná matica k hornej trojuholníkovej: viewtopic.php?t=1007 viewtopic.php?t=1008 viewtopic.php?t=1009

Vo viac úlohách sa vyskytli tieto grupy matíc:

• General linear group
• Special linear group
• Modular group

[Martin Sleziak]

3. týždeň (2.3.)
Determinanty
Je to úloha 6 z 00deter.pdf.
Ukázali sme, ako sa dá vypočítať determinant blokovej matice, ak bloky pod diagonálou sú nulové: viewtopic.php?t=918
$$
\det\begin{pmatrix}
A & B \\
0 & D
\end{pmatrix}=
\det\begin{pmatrix}
A & 0 \\
C & D
\end{pmatrix}=\det(A) \cdot \det(D)
$$
Pri odvodení nám pomohlo to, že sme si rozmysleli, ako sa násobia blokové matice.

Skalárne súčiny
Tu sa dajú nájsť pozbierané viaceré prepočítané príklady na veci súvisiace s témami z tejto kapitoly: viewtopic.php?t=993

Zopakovali sme definíciu skalárneho súčinu a pozreli sme sa na overenie, či nejaký predpis predstavuje skalárny súčin - to je prvá úloha v 12skal.pdf. (Podobné veci, ako sme robili tu, budeme detailnejšie preberať keď sa budeme učiť o kvadratických formách. V príkladoch, ktoré budeme robiť teraz, budeme zväčša používať $\mathbb R^n$ so štandardným skalárnym súčinom.)

Zobrali sme priestor z úlohy 9f a vypočítali sme bázu a dimenziu $S^\bot$. Súčasne sme si povedali, ako to súvisí s úlohou nájsť pre daný podpriestor sústavu rovníc. A pripomenuli sme si vzťah $(S^\bot)^\bot=S$ (ktorý platí v konečnorozmerných priestoroch).

Pre ten istý priestor sme si vyskúšali ako nájsť ortogonálnu bázu. Ukázali sme si postup cez Gram-Schmidtov proces aj pomocou riešenia sústav.
Pri GS-procese sme si uvedomili, že:
* Môže byť užitočné upraviť najprv na RTM - okrem iného zistíme, či pôvodne zadané vektory tvoria bázu. (Ak by ju netvorili, tak by sme si to všimli aj pri GS-procese, lebo by nám vyšiel nulový vektor. Ale takto si ušetríme robotu.)
* Pomôže začať s jednoduchšou bázou - napríklad s tou, ktorú sme dostali z RTM (veľa núl - jednoduchšie výpočty) alebo tiež ak máme nejakú bázu, kde už sú nejaké vektory na seba kolmé.
Spomeniem ale, že niekedy je treba GS-proces naozaj pustiť na konkrétne vektory a nemôžeme si vyberať bázu. Napríklad sa vo vyšších ročníkoch stretnete s QR-rozkladom matice, tam sa dá využiť práve GS-proces.
Pri postupe cez sústavy sme si všimli, že hľadanie sústavy, ktorej riešením je daný podpriestor, veľmi úzko súvisí s hľadaním $S^\bot$. (Ak pracujeme so štandardným skalárnym súčinom.)
Nejaké príklady na nájdenie ortogonálnej (ortonomálnej) bázy na fóre: viewtopic.php?t=604 a viewtopic.php?t=852

Cvičenie bolo hybridne - v Teams sa dá nájsť video. A tiež linka na Whiteboard - ktorý tam nájdete aj vo formáte SVG, PNG, PDF.
Tu je linka na SharePoint.

[Martin Sleziak]

4. týždeň (9.3.)
Na začiatku sme ešte hovorili nejaké organizačné veci:
* d.ú.: Dohodli sme sa, že veci môžu fungovať tak ako doteraz. (Odovzdávať buď papierovo alebo mailom. Nejaký feedback mailom a na fóre, prípadne v teams.)
* konzultácie: viewtopic.php?t=1776

Opäť pripomeniem, že viacero typov úloh z tejto kapitoly nájdete vyriešených na fóre: viewtopic.php?t=993 (Konkrétne sú tam aj nejaké úlohy na nájdenie matice projekcie.)

Matica ortogonálnej projekcie
Pozreli sme sa na viacero spôsobov, ako vypočítať maticu kolmej projekcie. (Pre istotu zdôrazním, že tu všetko robíme pri štandardnom skalárnom súčine.)
Trochu sme sa rozprávali o tom, že projekcia na jednorozmerný podpriestor sa dá napísať ako $\vec u^T\vec u$, ak $\vec u$ je vektor, ktorý generuje $S$ a má jednotkovú dĺžku.
Potom sme sa pozreli na príklad, kde bol zadaný podpriestor $S\subseteq\mathbb R^4$ taký, že $\dim(S)=3$. Teda v tomto príklade je priestor $S^\bot$ jednorozmerný. Teda by sme veľmi ľahko vedeli nájsť maticu projekcie na $S^\bot$, označme ju $P'$. Maticu projekcie na $S$ by sme potom vedeli dostať ako $P=I-P'$. (Rozmysleli sme si teda súčasne aký je vzťah medzi projekciou na $S$ a projekciou na $S^\bot$.)
Teda vidíme, že prípady $\dim(S)=1$ a $\dim(S^\bot)=n-1$ sú pomerne jednoduché.

Pripomenuli sme si nejaké veci, ktoré vždy platia pre maticu ortogonálnej projekcie pri štandardnom skalárnom súčine.

• $P$ je symetrická
• Platí $P^2=P$
• Stopa tejto matice sa rovná dimenzii podpriestoru, na ktorý premietam.

Niektoré z týchto vecí (symetrickosť, stopa) sú také, že sa dajú overiť veľmi ľahko. (A ak nevychádzajú, tak viem, že niekde vo výpočte mám chybu.)
Úplnú skúšku správnosti by som vedel urobiť tak, že skontrolujem rovnosti $\vec xP=\vec x$ pre $\vec x$ z nejakej bázy podpriestoru $S$ a $\vec xP=\vec 0$ pre $\vec x$ z nejakej bázy podpriestoru $S^\bot$.

Pozreli sme sa ešte na taký príklad $S\subseteq\mathbb R^4$, kde $\dim(S)=2$. (T.j. nedá sa použiť to, čo sme spomenuli doteraz - pre podpriestory s dimenziou resp. kodimenziou rovnou 1.)
Konkrétne to bol podpriestor $S=[(2,1,0,1),(1,-1,3,-1)]$.
Najprv sme našli bázu $S^\bot$.
Jeden možný postup je využiť to, že $\vec xP=\vec x$ platí pre všetky $\vec x\in S$ a $\vec xP=\vec 0$ platí pre ľubovoľné $\vec x\in S^\bot$. Vďaka tomu vieme nájsť maticu $P$ spôsobom, akým sme sa naučili hľadať maticu zobrazenia, ak poznáme obrazy vektorov z nejakej bázy.
Ako inú možnosť sme vyskúšali nájsť ortonormálnu bázu $S$. (A súčasne sme si pripomenuli dva spôsoby, ktoré sme videli pre hľadanie ortonormálnej bázy: Gramm-Schmidt, sústavy.)
Ak sme mali ortonormálnu bázu, tak z nej sme vedeli vyjadriť maticu projekcie ako $P=\vec u_1^T \vec u_1 + \vec u_2^T \vec u_2$. Resp. všeobecne, ak by sme mali $\dim(S)=k$ a našli by sme nejakú ortonormálnu bázu $\vec u_1,\vec u_2,\dots,\vec u_k$, tak máme
$$P=\vec u_1^T \vec u_1 + \vec u_2^T \vec u_2 + \dots + \vec u_k^T \vec u_k,$$
t.j. projekcia na $S$ sa dá takto nasčítať z projekcií na vhodné jednorozmerné podpriestory. (Aj sme si na obrázku ukázali, že takéto niečo by určite nemohlo fungovať, ak by $\vec u_1$, $\vec u_2$ neboli na seba kolmé.)

Ortogonálny doplnok
Ukázali sme, že $S^{\bot\bot\bot}=S^\bot$ platí v ľubovoľnom euklidovskom vektorovom priestore.
Pre konečnorozmerné priestory sme ukázali $(S\cap T)^\bot=S^\bot+T^\bot$.

Pripomenuli sme, že rovnosť $S^{\bot\bot}=S$ ste na prednáške dokázali pre podpriestory konečnorozmerného priestoru. Dajú sa nájsť príklady ukazujúce, že vo všeobecnosti to neplatí.
Konkrétne ak by sme si zobrali priestor $V=\ell_2$, tak tam vieme nájsť podpriestor taký, že $S^{\bot\bot}\ne S$ a $S\oplus S^\bot\ne V$: viewtopic.php?t=1654
(Tento príklad používa súčet nekonečného radu - čo je vec, ktorú ste ešte na analýze zatiaľ nepreberali. Ale niektorí z vás to možno už poznáte - alebo sa k tomu môžete neskôr vrátiť. Navyše, ako si prečítate v topicu na ktorý som dal linku, presne takéto veci ešte v nejako kontexte stretnete vo vyšších ročníkoch.)

Cvičenie bolo hybridne - v Teams sa dá nájsť video. A tiež linka na Whiteboard - ktorý tam nájdete aj vo formáte SVG, PNG, PDF.
Tu je linka na SharePoint.

[Martin Sleziak]

5. týždeň (16.3.)
Nejaké príklady z 01afin.pdf.
Úlohy 1.2 a 1.3 - kde ste pre nejaké podpriestory v $(\mathbb R^3,\mathbb R^3)$ skontrolovali, že spĺňajú jednu resp. druhú definíciu afinného priestoru. To isté pre 1.4 - tam šlo o priestor pozostávajúci z polynómov.
Úlohy 3.1 a-d: Tu bolo vidieť ako zadanie afinného súradnicového systému nám vlastne dá afinný izomorfimus (určený tak, že každému bodu priradíme súradnice).
Úloha 2.1 (inverzné zobrazenia k afinnému izomorfizmu).
Úloha 2.3 (afinné zobrazenie jednoznačne určené obrazom počiatku a bázy).
Stručne k úlohe 3.4 - barycentrický súradnicový systém a barycentrické súradnice. (K tejto téme sa pravdepodobne ešte vrátime nabudúce.)

[Martin Sleziak]

6. týždeň (23.3.)$\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}$
Nejaké zbierky úloh k afinným veciam sú spomenuté tu: viewtopic.php?t=1537
Riešené úlohy na fóre z tejto časti semestra: viewtopic.php?t=1509

Barycentrické kombinácie
Stále sme sa pozerali na veci z 01afin.pdf.

Pozreli sme sa na úlohu zistiť či body tvoria barycentrickú súradnicovú sústavu a nájsť vyjadrenie nejakého bodu v tvare barycentrickej kombinácii. Linky na úlohy podobného typu:
viewtopic.php?t=621
viewtopic.php?t=858
viewtopic.php?t=1081
viewtopic.php?t=1231
Na tomto príklade sme videli aj to, že dve ekvivalentné podmienky pre b.s.s. spolu úzko súvisia - pri riešení sústavy nám v stĺpcoch vyšli vektory $\overrightarrow{A_0A_1}, \overrightarrow{A_0A_2},\overrightarrow{A_0A_3},\overrightarrow{A_0A_4}$. Niečo podobné som sa snažil ukázať na tomto príklade: viewtopic.php?p=4730#p4730

Porozprávali sme sa aj trochu o nejakej intuícii súvisiacej s barycentrickými kombináciami. (Barycentrické kombinácie dvoch bodov dávajú úsečku resp. priamku. Barycentrické kombinácie troch bodov nám dajú trojuholník, rovinu - podľa toho, či sa pozeráme iba na nezáporné koeficienty alebo na všetky koeficienty. Koeficienty hovoria niečo o pomer dĺžok resp. o pomere plôch.)

Úloha o vyjadrení kolinearity pomocou determinantu (úloha 3.6): viewtopic.php?t=1243 (A tiež sme si rozmysleli, že to nejako súvisí s barycentrickými súradnicovými sústavami.)

Pozreli sme sa aj na úlohu 3.6: Pre ťažisko trojuholníka máme $\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TB}+\overrightarrow{TC}=\vec0$. (Pri tejto úlohe sme pripomenuli aj definíciu barycentrickej kombinácie v ľubovoľnom afinnom priestore.)
A potom sme si rozmysleli aj $$\abs{AX}^2+\abs{BX}^2+\abs{CX}^2=\abs{AT}^2+\abs{BT}^2+\abs{CT}^2+3\abs{XT}^2.$$
Z tejto nerovnosti vidíme, že súčet štvorcov vzdialeností od vrcholov trojuholníka je minimálny práve v ťažisku trojuholníka. (A pri jej odvodení sme vlastne zopakovali odvodenie kosínovej vety.)

Cvičenie bolo hybridne - v Teams sa dá nájsť video. A tiež linka na Whiteboard - ktorý tam nájdete aj vo formáte SVG, PNG, PDF.
Tu je linka na SharePoint.

[Martin Sleziak]

7. týždeň (30.3.)$\newcommand{\body}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\vektory}[1]{{#1}}
\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}$
Vzájomné polohy
Počítali sme príklady z 02vzaj.pdf týkajúce sa vzájomných polôh. Pritom sme vlastne súčasne často používali prechod medzi všeobecným a parametrickým vyjadrením.
Na začiatku sme pripomenuli definície rovnobežných, rôznobežných a mimobežných afinných priestorov. V definíciách vystupujú nejaké podmienky pre bodovú a vektorový zložku afinného priestoru, tak sme sa rozprávali chvíľu aj o nich.

Spoiler:

Spomenuli sme napríklad:

• Afinný priestor je v podstate len posunutý vektorový priestor, niekedy použijem aj označenie $\body B=A+\vektory V$. Z bodovej zložky viem ľahko dostať vektorovú, aj obrátene, ak mám nejaký bod a poznám $\vektory V$, tak viem vyčítať celé $\body B$.
• Z podmienky $\body B_\alpha\subseteq\body B_\beta$ vyplýva $\vektory V_\alpha\subseteq\vektory V_\beta$. Ak priestory majú aspoň jeden spoločný bod, t.j. ak $\body B_\alpha\cap\body B_\beta\ne\emptyset$, tak aj obrátene z $\vektory V_\alpha\subseteq\vektory V_\beta$ dostaneme $\body B_\alpha\subseteq\body B_\beta$.
• Ak je prienik $\body B_\alpha\cap\body B_\beta$ neprázdny, tak je to afinný podpriestor a jeho vektorová zložka je $\vektory V_\alpha\cap\vektory V_\beta$.
• Spomínali sme to preto, že ak sme nejakým spôsobom vypočítali $\body B_\alpha\cap\body B_\beta$, tak presne tie isté výpočty môžeme použiť pri výpočte $\vektory V_\alpha\cap\vektory V_\beta$; vlastne iba "zahodíme" nehomogénnu časť.

Pozreli sme sa na úlohu 2.1a, kde sme mali dve roviny v $\mathbb R^4$ zadané parametricky. (Prienik tu vyšiel jeden bod. Ukázali sme si viacero možností ako tento prienik vypočítať.
Rozmysleli sme si potom, že vieme vymyslieť príklad podpriestorov, ktoré nie sú ani rovnobežné, ani mimobežné, ani rôznobežné.
A potom sme ešte vypočítali príklad 2.7 - kde to vyšlo presne takto. (V tomto príklade sme videli to, o čom sme hovorili na začiatku - aj keď nám vyšlo $\body B_\alpha\cap\body B_\beta=\emptyset$, stále sme niektoré výpočty, ktoré sme urobili pri hľadaní prieniku bodových zložiek, použiť aj pri hľadaní prieniku $\vektory V_\alpha\cap\vektory V_\beta$.)

Niečo k vzájomným polohám sa dá nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=859
Nejaké dve videá z vlani - sú tam prepočítané úlohy 2.8 a 1.2d - sa dajú nájsť na Google Drive aj a v MS Stream
https://web.microsoftstream.com/video/f ... f1d76718be
https://web.microsoftstream.com/video/5 ... 2b1a206d98

Barycentrické kombinácie
Trochu som sa vrátil k definícii barycentrických kombinácií.
V Korbaš-Gyürki (Definícia 11.8) je barycentrická kombinácia definovaná tak, že pre koeficienty $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ také, že $\lambda_1+\dots+\lambda_n=1$ bod $$X=\lambda_1A_1+\dots+\lambda_nA_n$$ definujeme tak, že si zvolíme ľubovoľný bod $O$ a potom $X$ definujeme ako bod jednoznačne určený podmienkou
$$X-O=\vekt{OX}=\lambda_1\vekt{OA_1}+\lambda_2\vekt{OA_2}+\dots+\vekt{OA_n}.\tag{*}$$
Práve podmienka, že súčet koeficientov je jedna nám zaručí, že výsledný bod $X$ nezávisí od toho, čo si zvolím za $O$.

Táto definícia je "bez počítania v súradniciach" a teda sa dá použiť pre hocijaký afinný priestor.
Na prednáške ste definovali barycentrické kombinácie iba v podpriestoroch $(\mathbb R^n,\mathbb R^n)$.
Môžete si skúsiť rozmyslieť prinajmenšom to, že v takomto prípade naozaj bod určený rovnosťou $(*)$ vyjde rovnako bez ohľadu na to, ako si zvolím $O$. V zelenej knihe to je dokázané tesne za definíciou 11.8 (všeobecne - pre ľubovoľný afinný priestor).

[Martin Sleziak]

8. týždeň (6.4.)
Dnes sme sa venovali úlohám týkajúcim sa vzdialeností afinných podpriestorov z 04vzdial.pdf.

Pozreli sme sa najprv na prvé dve úlohy. To sú výsledky, ktoré sa nám bude hodiť často pri výpočtoch vzdialeností.

• Namiesto rátania vzdialenosti môžeme jednoducho vyrátať dĺžku priemetu vektora $\overrightarrow{A_1A_2}$ do $V^\bot$, kde $V=V_1+V_2$. ($A_1$ je nejaký bod prvého podpriestoru, $V_1$ jeho vektorová zložka; podobne $A_2$, $V_2$ pre druhý podpriestor.)
• Veľmi podobná vec je v úlohe 1.2 - hľadanie vzdialenosti dvoch afinných podpriestorov môžeme previesť na hľadanie vzdialenosti dvoch rovnobežných podpriestorov resp na hľadanie vzdialenosti bodu od podpriestoru. Konkrétne ide o vzdialenosť bodu $A_1$ od podpriestoru $A_2+V$ resp. vzdialenosť rovnobežných podpriestorov $A_1+V$ a $A_2+V$.

Popritom sme si rozmysleli takú vec, že ak máme afinné priestory, ktoré sú v takom vzťahu, že $\alpha_1\subseteq\beta_1$ a $\alpha_2\subseteq\beta_2$, tak pre ich vzdialenosti platí $d(\alpha_1,\alpha_2)\ge d(\beta_1,\beta_2)$. (Vyšlo to vlastne priamo z definície a z vlastností infima.

Prepočítali sme viacero úloh na vzdialenosti:

• Úloha 1.3a - vzdialenosť bodu od priamky. Tu sme si povedali aj niečo o tom, že vlastne túto vzdialenosť vieme nájsť ako minimum kvadratickej funkcie. (A všeobecne sa na výpočet vzdialenosti dá pozerať ako na úlohu nájsť minimum nejakej funkcie - aj keď to bude zvyčajne zložitejšie ako v tomto prípade, kde sme mali iba jeden parameter, t.j. jednu premennú.) Vzdialenosť bodu od priamky je vypočítaná aj tu: viewtopic.php?t=623 (Aj keď tam je zadaný iný bod a iný priamka ako tie, s ktorými sme počítali my.)
• Úloha 1.4a - vzdialenosť dvoch priamok. (To sme vlastne previedli na hľadanie kolmej projekcie vektora.)
• Úloha 1.10a - vzdialenosť priamky a roviny. (Mimobežné - previedli sme to na úlohu hľadať vzdialenosť bodu od nadroviny.) Túto úlohu sme už nestihli naozaj dopočítať - ale povedali sme si, ako by sa rátala. Riešenie sa dá nájsť aj tu na fóre: viewtopic.php?t=633

Viacero úloh na vzdialenosti sa dá nájsť vyriešených na fóre - viacero liniek je pozbieraných v tomto topicu: viewtopic.php?t=1509

Cvičenie bolo hybridne - v Teams sa dá nájsť video.
Písal som na tabuľu, nie na Whiteboard - čiže nejaký súbor s vecami čo sme písali na dnešnom cviku nie je. Ale pridám linku na súbor s "tabuľou" z minulého roka z cvičenia, na ktorom sme robili takúto tému: https://msleziak.com/vyuka/2021/lag2/20210409.pdf
(Napríklad je tam ten obrázok, ktorý sme nakreslili pri úlohe 1.2.)

[Martin Sleziak]

9. týždeň (13.4.)

Metóda najmenších štvorcov
Pozreli sme sa na dva typy úloh týkajúce sa metódy najmenších štvorcov - približné riešenie sústavy, aproximácia lineárnou funkciou.
Robil som presne tie úlohy, ktoré sú vyriešené aj na fóre: viewtopic.php?t=1429 a viewtopic.php?t=1433
Aj keď viac ako o konkrétnych výpočtoch sme sa rozprávali o tom, čo vlastne rátame a prečo to funguje.
Ukázali sme si aj taký výpočet, kde sme previedli hľadanie približného riešenia sústavy $AX=B$ na novú sústavu tvaru $A^TAX=A^TB$. A tiež sme videli to, že tú istú sústavu sme dostali hľadaním minima cez parciálne derivácie

Stručne som hovoril niečo aj o hľadaní extrémov cez parciálne derivácie: viewtopic.php?t=1428
Toto je vec, ktorú na matematickej analýze budete mať v druhom ročníku - ale aspoň nutná podmienka (nulové parciálne derivácie) je asi dosť jednoduchá; snáď sa jej dá rozumieť aj s tým, čo viete teraz. (Spomeniem, že koncom semestra sa naučíme niečo o kladne definitných kvadratických formách - to je niečo, čo by súviselo s postačujúcou podmienkou pre extrémy viac premenných.)

Cvičenie bolo hybridne - v Teams sa dá nájsť video.