msleziak.com

11. týždeň (29.11.):
Hodnosť s parametrom. Pozreli sme sa na výpočet hodnosti matice v závislosti od parametra- aj keď príklad takého typu sme stihli začať a povedať si niečo k riešeniu, ale nedokončili sme ho. (Pri výpočte hodnosti s parametrom môže pomôcť aj to, že transponovaná matica má rovnakú hodnosť ako pôvodná matica, t.j. $h(A)=h(A^T)$; dôkaz tohto faktu bude na prednáške neskôr.)
Riešenia zopár úloh na hodnosť s parametrom sa dajú nájsť aj tu na fóre:
viewtopic.php?t=782 (Túto sme robili dnes.)
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190

Pozreli sme sa na príklady z 10lzob.pdf súvisiace so súčinom matíc a s maticou zobrazenia.

Súčin matíc
Zopakovali sme, ako sa počíta súčin matíc. Potom sme urobili úlohy 2.1 a 2.2 z časti o súčine matíc. (Tam sme spomenuli súvis medzi násobením matíc a elementárnymi riadkovými/stĺpcovými operáciami. Povedali sme si aj niečo o tom, že na súčin matíc sa dá pozerať ako na to, že robím niečo s riadkami matice; ak násobím $AB$, tak vlastne robím lineárne kombinácie riadkov z $B$ a koeficienty si prečítam z matice $A$.) T.j. násobenie maticou zľava zodpovedá tomu, že robíme lineárne kombinácie riadkov pravej matice. (A dá sa na to pozerať aj obrátene - pravá matica určuje koeficienty pomocou ktorých urobíme lineárne kombinácie stĺpcov ľavej matice.)

Matica zobrazenia.
Ešte sme sa pozreli na výpočet matice zobrazenia - úloha 3.2. Nejaké príklady, kde bolo úlohou nájsť maticu zobrazenia, sú vyriešené tu:
viewtopic.php?t=549
viewtopic.php?t=815
viewtopic.php?t=996
viewtopic.php?t=1619
Presne ten príklad, ktorý sme riešili na dnešnom cvičení, sa dá nájsť kompletne vyriešený tu: https://msleziak.com/vyuka/2023/alg/alg.pdf (úloha 5.3.1).

Vektorový priestor nad $\mathbb Q$.
Pozreli sme sa aj na to, že $1,\sqrt[3]2,\sqrt[3]4$ je báza v $\mathbb Q(\sqrt[3]2)=\{a+b\sqrt[3]2+\sqrt[3]4; a,b,c\in\mathbb Q\}$, ak túto množinu berieme ako vektorový priestor nad $\mathbb Q$. A tiež na to, že toto vieme využiť na zdôvodnenie existencie inverzných prvkov v $\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ vzhľadom na násobenie. (Základná idea bola, že pre ľubovoľné $\alpha\in\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ sú $1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3$ v tomto priestore lineárne závislé. Je to príklad 2.8* z 08baza.pdf.)
Je to teda ukážka toho, že nejaké veci o lineárnej závislosti (nad poľom $\mathbb Q$) by nám mohli pri dôkaze existencie inverzného prvku a teda pri overovaní, že $\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ je pole.
Zhruba to isté, čo sme robili na cviku je v prvej časti tohto postu: viewtopic.php?t=349

Video z dnešného cvika nájdete v MS Teams - všetci, ktorí ste na 1-MAT-191 zapísaní by ste tam mali mať prístup.

12. týždeň (6.12.)
Počítali sme príklady z 10lzob.pdf.

Inverzná matica. Ukázali sme si, ako hľadať inverznú maticu (úloha 5.1). Videli sme, že pri výpočte inverznej matice sa dá skúška urobiť aj uprostred výpočtu: viewtopic.php?t=531

Jadro a obraz. Pozreli sme sa na úlohu ako vypočítať pre danú maticu jadro a obraz príslušného lineárneho zobrazenia - úloha 4.1. Úloha takéhoto typu je na fóre vypočítané napríklad tu: viewtopic.php?t=795
Pritom sme pripomenuli, že pre lineárne zobrazenie $f\colon V\to W$ platí $\dim(\operatorname{Ker} f)+\dim(\operatorname{Im} f)=\dim(V)$.

Matica zobrazenia. Pozreli sme sa aj na úlohu 3.4, kde bolo treba vypočítať počet všetkých/injektívnych/surjektívnych lineárnych zobrazení. (Stihli sme z tohto príkladu časť a.)
Povedali sme si, že ak existuje injektívne lineárne zobrazenie $f\colon V\to W$, tak musí platiť $\dim(V)\le\dim(W)$. Pre surjektívne lineárne zobrazenie zasa máme $\dim(V)\ge\dim(W)$. (Súvisí to s tým, že obrazy bázových vektorov sú v prípade injektívneho zobrazenia lineárne nezávislé a v prípade surjektívneho zobrazenie generujú koobor.)

Lineárne zobrazenia. Ešte sme sa vrátili k tomu, ako overovať, či je dané zobrazenie lineárne. Vlastne sme prepočítali staršiu prednáškovú úlohu - kde bolo bolo treba overiť, že derivácia je lineárne zobrazenie $\mathbb R[t]\to\mathbb R[t]$.

Video z dnešného cvika nájdete v MS Teams - všetci, ktorí ste na 1-MAT-191 zapísaní by ste tam mali mať prístup.

13. týždeň (13.12.):
Počítali sme príklady z 10lzob.pdf.

Nájsť sústavu k danému podpriestoru. Riešili sme úlohu nájsť pre daný podpriestor $S$ sústavu takú, aby množina riešení bola rovná $S$. (Úloha 6.2.)
Viacero príkladov tohto typu je vypočítaných aj na fóre: viewtopic.php?t=1482 a viewtopic.php?t=412
To, že vieme z redukovaného tvaru vyčítať sústavu, je ďalšia možnosť, ktorá nám pomôže robiť (čiastočnú) skúšku správnosti pri úprave na RTM.

Súčet a prienik podpriestorov. Pre dané priestory nájsť dimenziu a bázu $S+T$ a $S\cap T$. Pozreli sme sa na časť a z úlohy 6.3.
Nejaké príklady takéhoto typu sa dajú nájsť na fóre: viewtopic.php?t=816 a viewtopic.php?t=120
Okrem toho som spomenul, že sa dá nájsť kontrapríklad ukazujúci, že pre tri podpriestory nefunguje vzorec podobný na Grassmannovu formulu.
MathOverflow: Examples of common false beliefs in mathematics

Inverzná matica. Vyrátali sme jeden príklad na výpočet inverznej matice pre maticu obsahujúca parameter (úloha 5.5): viewtopic.php?t=1020 - konkrétne pre maticu $
A=\begin{pmatrix}
a & 1 & 1 & 1 \\
1 & a & 1 & 1 \\
1 & 1 & a & 1 \\
1 & 1 & 1 & a \\
\end{pmatrix}
$.
Tu sme videli postup, pri ktorom sme inverznú maticu dostali z rovnosti $A^2+bA+cI=0$ pre vhodné koeficienty $b$, $c$; t.j. vlastne na základe toho, že nejaký polynomický výraz po "dosadení" matice $A$ dáva nulu. V súvislosti s tým na tomto mieste spomenul, že budúci semester budeme vidieť Cayley-Hamiltonovu vetu, z ktorej vyplýva, že pre maticu rozmerov $n\times n$ existuje polynóm stupňa nanajvýš $n$, ktorý ju vynuluje. (S tým, čo ste sa naučili tento semester, by ste mali byť schopný zdôvodniť, že určite existuje taký polynóm stupňa nanajvýš $n^2$.)

Video z dnešného cvika nájdete v MS Teams - všetci, ktorí ste na 1-MAT-191 zapísaní by ste tam mali mať prístup.