Cvičenia ZS 2024/25 1INF4

[Martin Sleziak]

10. cvičenie: (6.12.)
Pripomeniem, že na stránke prednášajúceho pribudla du07, ktorá sa odovzdáva na budúcom cviku.
Keďže dnes prebiehala výuka online, cvičenie bolo v MS Teams.
Veci, ktoré som písal, sa dajú nájsť tu: https://msleziak.com/vyuka/2024/alg1cvika/20241206.pdf

Najprv sme zopakovali ako je definovaný súčin.
Vyskúšali sme si ho na úlohe 2.1, kde sme pre konkrétne matice $2\times2$ vypočítali $(A+B)^2$ a niektoré príbuzné výrazy. Pri tom sme pripomenuli, že súčin matíc vo všeobecnosti nie je komutatívny. A tiež sme si uvedomili, že pre ľubovoľné štvorcové matice platí $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$.
Pri úlohe 2.2 sme si vyskúšali na konkrétnych príkladoch to, že pomocou násobenia vhodnou maticou sa dajú vyjadriť elementárne riadkové operácie. Tiež sme tu spomenuli, že násobenie maticou $A$ zľava znamená, že robím lineárne kombinácie riadkov matice $B$, pričom koeficienty si prečítam v riadkoch matice $A$.
Na jednom konkrétnom príklade sme si ukázali, ako hľadať inverznú maticu.
Pri výpočte inverznej matice sme si ukázali, že tu sa dá urobiť skúška správnosti aj uprostred výpočtu (nie iba na konci): viewtopic.php?t=531
Potom sme sa pozreli na to, že pre súčin matíc platí $V_{AB}\subseteq V_B$ (úloha 2.8). Na konkrétnych príkladoch sme si ukázali, že ostatné inklúzie spomenuté v tejto úlohe nemusia vo všeobecnosti platiť.
Tiež sme si rozmysleli, že dostávame $h(AB)\le h(B)$. A ak $A$ je regulárna matica, tak máme $h(AB)=h(B)$. Pridám k tomuto aj linku: viewtopic.php?t=1416

Explicitne spomeniem, že do 09inv.pdf som ako hviezdičkovú úlohu dal jeden príklad, kde sa vám hodí vedieť nejaké veci o spočítateľných množinách (resp. o kardinalite) - takže to, či ho budete vedieť riešiť, závisí od toho, či ste tieto veci na iných predmetoch už prebrali. Ide o zdôvodnenie, že $\mathbb R$ je nekonečnorozmerný vektorový priestor nad $\mathbb Q$. (V 06baza.pdf je iné zdôvodnenie tohto faktu - tiež ako hviezdičková úloha.)

[Martin Sleziak]

11. cvičenie: (13.12.)
Tabuľku s bodmi som dal aj do tímu v MS Teams (je medzi súbormi v kanáli cvičenia). Relevantné sú body, ktoré sú zapísané v AISe - ale tu máte napríklad body za písomku rozpísané detailnejšie (po príkladoch).
Pripomeniem, že na stránke prednášajúceho je du08.pdf. A tiež to, že budúci týždeň je druhá písomka.

Počítali sme príklady z 09inv.pdf a 10sust.pdf.

Maticová rovnica $AX=B$. Pozreli sme sa na úlohu ako pre zadané $A$, $B$ hľadať maticu takú, že $AX=B$ (úloha 5.7). Opäť, niečo k úlohe tohto typu sa dá nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=812 a viewtopic.php?t=1619
Videli sme, že ak existuje inverzná matica, tak riešenie môžeme dostať ako $X=A^{-1}B$. Ale pozreli sme sa aj na to, ako takéto niečo riešiť, ak $A$ nie je regulárna. (Konkrétne sme sa pozreli na časť d) z úlohy 1.6. Tam matica A nie je regulárna, ale riešenie existuje.)

Sústavy rovníc.
Vyriešili sme poslednú sústavu z úlohy 1.4. (Úmyselne som vybral takú sústavu, kde vyšlo viacero parametrov.)
Na tomto príklade sme si ukázali aj to, ako súvisia riešenia tejto sústavy s riešeniami zodpovedajúcej homogénnej sústavy. Spomenuli sme si aj vzťah $d(S)=n-h(A)$.
Súčasne sme ale porozprávali aj o tom, že sa môže stať, že nedostaneme žiadne riešenie alebo práve jedno riešenie.
Okrem toho sme sa trochu porozprávali aj o tom, ako sa dá robiť skúška správnosti: viewtopic.php?t=522

Súčet a prienik podpriestorov. Pre dané priestory nájsť dimenziu a bázu $S+T$ a $S\cap T$. Konkrétne sme sa pozreli na úlohu 2.4c.
(Nie všetky časti sme stihli dopočítať - ale povedali sme si, ako by sa dali rátať.)
Nejaké príklady takéhoto typu sa dajú nájsť na fóre: viewtopic.php?t=816 a viewtopic.php?t=120

Nájsť sústavu k danému podpriestoru.
Vlastne ako súčasť riešenia predošlej úlohy sme použil aj niečo takéto: Pre daný podpriestor $S$ nájsť sústavu takú, aby množina riešení bola rovná $S$. (Takéto príklady sú v úlohe 2.1.)

[Martin Sleziak]

12. cvičenie: (20.12.)
Determinanty
Počítali sme príklady z 12det.pdf.
Na stránke k cvičeniam je aj odkaz ne nejaký stručný prehľad základných faktov o determinantoch.
Zopakoval som, ako sa počíta determinant $2\times2$, $3\times 3$.
Pripomenul som: Ako sa mení determinant pri riadkových úpravách. Laplaceov rozvoj.
Na matici $4\times4$ sme si vyskúšali výpočet determinantu pomocou riadkových úprav a aj pomocou Laplaceovho rozvoja. (Prípadne kombináciou týchto postupov.) Konkrétne sme vyrátali druhú maticu z úlohy 1.
Úloha 3 - výpočet determinantu $n\times n$ (rekurzívne). Tento príklad je vyriešený aj tu: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak ... iesdet.pdf
Úloha 11, ktorá je vlastne odvodením Cramerovho pravidla: viewtopic.php?t=1497
Keďže sme pri odvodení používali vzťah $\det(AB)=\det(A)\det(B)$, tak som spomenul, ako sa naň dá pozerať geometricky.
Niečo o geometrickom význame determinantu: viewtopic.php?t=1621 a viewtopic.php?t=555
Keď je reč o geometrickom význame determinantu, tak spomeniem toto pekné video: The determinant | Essence of linear algebra, chapter 6
Youtube kanál: 3Blue1Brown (Wikipédia: 3Blue1Brown) má veľa zaujímavých videí z rôznych oblastí matematiky, v súvislosti s týmto predmetom vás môže zaujímať playlist Essence of linear algebra.
Viaceré veci, ktoré sme preberali, sú tam pekne vizualizované - môže vám to pomôcť získať lepšiu geometrickú predstavu o týchto témach.