Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2021/22

[Martin Sleziak]

10. týždeň (26.11.)
Závislosť nezávislosť, báza, riadková ekvivalencia.
Riešili sme niektoré úlohy z 08baza.pdf a 09rtm.pdf.
Ako zistiť či dané vektory tvoria bázu resp. či sú lineárne nezávislé (úloha 2.1 v 08baza). Videli sme riešenie cez sústavu aj pomocou riadkových úprav.
Ako zistiť či vektor patrí do lineárneho obalu daných vektorov (úloha 4 v 09rtm). Videli sme riešenie cez sústavu aj pomocou riadkových úprav.
Pritom sme sa porozprávali o tom ako sa dá urobiť (aspoň čiastočná) skúška správnosti pri úprave na redukovaný stupňovitý tvar: viewtopic.php?t=531
Pozreli sme sa na lineárnu nezávislosť funkcií $\mathbb R\to\mathbb R$ (úloha 1.5 v 08baza).
A ešte sme riešili ako doplniť dané vektory na bázu celého priestoru $(\mathbb Z_5)^4$ (úloha 2 v 09rtm). Pripomeniem, že doplniť vektory na bázu sa dá (v konečno-rozmernom priestore) vtedy, ak pracujeme s lineárne nezávislými vektormi. (Toto sa dá odvodiť zo Steinitzovej vety.)

Pridám ešte aj linku kde je vymenovaných viacero vecí, ktoré sa dajú riešiť pomocou riadkových úprav resp. pomocou úpravy na redukovaný stupňovitý tvar: viewtopic.php?t=540 (Niektoré z nich sme sa ešte neučili - konkrétne veci začínajúce v tom zozname od matice zobrazenia.)

[Martin Sleziak]

11. týždeň (3.12.)
Počítali sme príklady z 09rtm.pdf a 10lzob.pdf.

Hodnosť s parametrom. Pozreli sme sa na výpočet hodnosti matice v závislosti od parametra. Konkrétne sme to vyrátali pre jednu maticu z príkladu 8. (Pritom som spomenul, že transponovaná matica má rovnakú hodnosť ako pôvodná matica, t.j. $h(A)=h(A^T)$; dôkaz tohto faktu bude na prednáške neskôr.)
Riešenia zopár úloh na hodnosť s parametrom sa dajú nájsť aj tu na fóre:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190

Súčin matíc
Zopakovali sme, ako sa počíta súčin matíc. Potom sme urobili úlohy 2.1 a 2.2 z časti o súčine matíc. (Tam sme spomenuli súvis medzi násobením matíc a elementárnymi riadkovými/stĺpcovými operáciami. Povedali sme si aj niečo o tom, že na súčin matíc sa dá pozerať ako na to, že robím niečo s riadkami matice; ak násobím $AB$, tak vlastne robím lineárne kombinácie riadkov z $B$ a koeficienty si prečítam z matice $A$.) T.j. násobenie maticou zľava zodpovedá tomu, že robíme lineárne kombinácie riadkov pravej matice. (A dá sa na to pozerať aj obrátene - pravá matica určuje koeficienty pomocou ktorých urobíme lineárne kombinácie stĺpcov ľavej matice.)

Matica zobrazenia.
Ešte sme sa pozreli na výpočet matice zobrazenia - úloha 3.2. Nejaké príklady, kde bolo úlohou nájsť maticu zobrazenia, sú vyriešené tu:
viewtopic.php?t=549
viewtopic.php?t=815
viewtopic.php?t=996
viewtopic.php?t=1619
Presne ten príklad, ktorý sme riešili na dnešnom cvičení, sa dá nájsť kompletne vyriešený tu: https://msleziak.com/vyuka/2020/alg/text/alg.pdf (úloha 5.3.1).
Pozreli sme sa aj na úlohu 3.4, kde bolo treba vypočítať počet všetkých/injektívnych/surjektívnych lineárnych zobrazení.
Povedali sme si, že ak existuje injektívne lineárne zobrazenie $f\colon V\to W$, tak musí platiť $\dim(V)\le\dim(W)$. Pre surjektívne lineárne zobrazenie zasa máme $\dim(V)\ge\dim(W)$. (Súvisí to s tým, že obrazy bázových vektorov sú v prípade injektívneho zobrazenia lineárne nezávislé a v prípade surjektívneho zobrazenie generujú koobor.)

V MS Teams sa dajú nájsť súbory s tým, čo sme písali.

[Martin Sleziak]

12. týždeň (10.12.)
Počítali sme príklady z 10lzob.pdf.

Jadro a obraz. Pozreli sme sa na úlohu ako vypočítať pre danú maticu jadro a obraz príslušného lineárneho zobrazenia - úloha 4.1. Úloha takéhoto typu je na fóre vypočítané napríklad tu: viewtopic.php?t=795
Pritom sme pripomenuli, že pre lineárne zobrazenie $f\colon V\to W$ platí $\dim(\operatorname{Ker} f)+\dim(\operatorname{Im} f)=\dim(V)$.

Inverzná matica. Ukázali sme si, ako hľadať inverznú maticu (úloha 5.1). Videli sme, že pri výpočte inverznej matice sa dá skúška urobiť aj uprostred výpočtu: viewtopic.php?t=531

Ešte sme sa pozreli na úlohu ako pre zadané $A$, $B$ hľadať maticu takú, že $AX=B$ (úloha 5.7). Opäť, niečo k úlohe tohto typu sa dá nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=812 a viewtopic.php?t=1619
Spomenuli sme, že platí $h(AB)\le h(A)$ a aj $h(AB)\le h(B)$. A tiež sme videli, že ak existuje inverzná matica, tak riešenie môžeme dostať ako $X=A^{-1}B$.

Vyrátali sme jeden príklad na výpočet inverznej matice pre maticu obsahujúca parameter (úloha 5.5): viewtopic.php?t=1020
Tu sme videli postup, pri ktorom sme inverznú maticu dostali z rovnosti $A^2+bA+cI=0$ pre vhodné koeficienty $b$, $c$; t.j. vlastne na základe toho, že nejaký polynomický výraz po "dosadení" matice $A$ dáva nulu. Tak som na tomto mieste spomenul, že budúci semester budeme vidieť Cayley-Hamiltonovu vetu, z ktorej vyplýva, že pre maticu rozmerov $n\times n$ existuje polynóm stupňa nanajvýš $n$, ktorý ju vynuluje. (S tým, čo ste sa naučili tento semester, by ste mali byť schopný zdôvodniť, že určite existuje taký polynóm stupňa nanajvýš $n^2$.)

Cez MS Teams by ste sa mali dostať k tomu čo sme na cviku písali (je tam linka na whiteboard, SVG, PNG, PDF).
Tu je linka na Sharepoint a linka na whiteboard.

[Martin Sleziak]

13. týždeň (17.12.)
Počítali sme príklady z 10lzob.pdf.

Nájsť sústavu k danému podpriestoru. Riešili sme úlohu nájsť pre daný podpriestor $S$ sústavu takú, aby množina riešení bola rovná $S$. Urobili sme obe časti úlohy 6.2.
Viacero príkladov tohoto typu je vypočítaných aj na fóre: viewtopic.php?t=1482 a viewtopic.php?t=412

Súčet a prienik podpriestorov. Pre dané priestory nájsť dimenziu a bázu $S+T$ a $S\cap T$. Stihli sme časti a, c z úlohy 6.3. (Po cviku som dopísal opravu chybného výpočtu v 6.3c).
Nejaké príklady takéhoto typu sa dajú nájsť na fóre: viewtopic.php?t=816 a viewtopic.php?t=120
Okrem toho sme videli kontrapríklad ukazujúci, že pre tri podpriestory nefunguje vzorec podobný na Grassmannovu formulu.
MathOverflow: Examples of common false beliefs in mathematics

Cez MS Teams by ste sa mali dostať k tomu čo sme na cviku písali (je tam linka na whiteboard, SVG, PNG, PDF).
Tu je linka na Sharepoint a linka na whiteboard.